Soluciones del 2020 AMC 12B | LIVE by Po-Shen Loh

1.

¿Cuál es el valor, en su forma más simple, de la siguiente expresión?

$\begin{aligned} &\sqrt{1} + \sqrt{1+3} + \sqrt{1+3+5} \\ &\quad {}+ \sqrt{1+3+5+7} \end{aligned}$

What is the value in simplest form of the following expression?

$\begin{aligned} &\sqrt{1} + \sqrt{1+3} + \sqrt{1+3+5} \\ &\quad {}+ \sqrt{1+3+5+7} \end{aligned}$

$5$

$4 + \sqrt{7} + \sqrt{10}$

$10$

$15$

$4 + 3\sqrt{3} + 2\sqrt{5} + \sqrt{7}$

Conceptos:suma de los primeros n números impares cuadrado perfecto radical

Nivel de dificultad: 890

Pista pequeña:

La suma de los primeros $k$ números impares es $k^2$ .

The sum of the first $k$ odd numbers is $k^2$

Pista grande:

Cada término se simplifica a $\sqrt{1},$ $\sqrt{4},$ $\sqrt{9},$ y $\sqrt{16}$ .

Each term simplifies to $\sqrt{1},$ $\sqrt{4},$ $\sqrt{9},$ and $\sqrt{16}$

Solución:

La suma de los primeros $k$ números impares es igual a $k^2,$ así que cada radicando es un cuadrado perfecto: $\begin{aligned} &\sqrt{1} + \sqrt{4} + \sqrt{9} + \sqrt{16} \\ &= 1 + 2 + 3 + 4 = 10. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The sum of the first $k$ odd numbers equals $k^2,$ so each radicand is a perfect square: $\begin{aligned} &\sqrt{1} + \sqrt{4} + \sqrt{9} + \sqrt{16} \\ &= 1 + 2 + 3 + 4 = 10. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

2.

¿Cuál es el valor de la siguiente expresión?

$\frac{100^2 - 7^2}{70^2 - 11^2} \cdot \frac{(70 - 11)(70 + 11)}{(100 - 7)(100 + 7)}$

What is the value of the following expression?

$\frac{100^2 - 7^2}{70^2 - 11^2} \cdot \frac{(70 - 11)(70 + 11)}{(100 - 7)(100 + 7)}$

$1$

$\dfrac{9951}{9950}$

$\dfrac{4780}{4779}$

$\dfrac{108}{107}$

$\dfrac{81}{80}$

Conceptos:diferencia de cuadrados

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Diferencia de cuadrados: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ .

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

Pista grande:

Factoriza $100^2 - 7^2$ y $70^2 - 11^2$ , luego busca los factores que se cancelan.

Factor $100^2 - 7^2$ and $70^2 - 11^2$ , then look for cancellation

Solución:

Usando la diferencia de cuadrados, $100^2 - 7^2 = (100 - 7)(100 + 7)$ y $70^2 - 11^2 = (70 - 11)(70 + 11).$ La expresión se convierte en $\begin{aligned} &\frac{(100 - 7)(100 + 7)}{(70 - 11)(70 + 11)} \\ &\quad {}\cdot \frac{(70 - 11)(70 + 11)}{(100 - 7)(100 + 7)} = 1. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Using the difference of squares, $100^2 - 7^2 = (100 - 7)(100 + 7)$ and $70^2 - 11^2 = (70 - 11)(70 + 11).$ The expression becomes $\begin{aligned} &\frac{(100 - 7)(100 + 7)}{(70 - 11)(70 + 11)} \\ &\quad {}\cdot \frac{(70 - 11)(70 + 11)}{(100 - 7)(100 + 7)} = 1. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is A.

3.

La razón de $w$ a $x$ es $4 : 3,$ la razón de $y$ a $z$ es $3 : 2,$ y la razón de $z$ a $x$ es $1 : 6.$ ¿Cuál es la razón de $w$ a $y$ ?

The ratio of $w$ to $x$ is $4 : 3,$ the ratio of $y$ to $z$ is $3 : 2,$ and the ratio of $z$ to $x$ is $1 : 6.$ What is the ratio of $w$ to $y?$

$4 : 3$

$3 : 2$

$8 : 3$

$4 : 1$

$16 : 3$

Conceptos:razón y proporción

Nivel de dificultad: 1130

Pista pequeña:

Elige un valor conveniente como $x = 6$ y calcula $w, z,$ y luego $y$ .

Pick a convenient value such as $x = 6$ and work out $w, z,$ then $y$

Pista grande:

A partir de $z : x = 1 : 6,$ toma $z = 1, x = 6;$ entonces $w = \tfrac43 x$ y $y = \tfrac32 z$ .

From $z : x = 1 : 6,$ take $z = 1, x = 6;$ then $w = \tfrac43 x$ and $y = \tfrac32 z$

Solución:

Sea $x = 6.$ A partir de $z : x = 1 : 6,$ obtenemos $z = 1.$ A partir de $w : x = 4 : 3,$ obtenemos $w = \tfrac43 \cdot 6 = 8.$ A partir de $y : z = 3 : 2,$ obtenemos $y = \tfrac32 \cdot 1 = \tfrac32.$

Por lo tanto, $w : y = 8 : \tfrac32 = 16 : 3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $x = 6.$ From $z : x = 1 : 6,$ we get $z = 1.$ From $w : x = 4 : 3,$ we get $w = \tfrac43 \cdot 6 = 8.$ From $y : z = 3 : 2,$ we get $y = \tfrac32 \cdot 1 = \tfrac32.$

Therefore $w : y = 8 : \tfrac32 = 16 : 3.$

Thus, the correct answer is E.

4.

Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son $a^\circ$ y $b^\circ,$ donde $a \gt b$ y tanto $a$ como $b$ son números primos. ¿Cuál es el menor valor posible de $b$ ?

The acute angles of a right triangle are $a^\circ$ and $b^\circ,$ where $a \gt b$ and both $a$ and $b$ are prime numbers. What is the least possible value of $b?$

$2$

$3$

$5$

$7$

$11$

Conceptos:primo suma de ángulos

Nivel de dificultad: 1220

Pista pequeña:

Los ángulos agudos satisfacen $a + b = 90$ .

The acute angles satisfy $a + b = 90$

Pista grande:

Prueba los primos más pequeños para $b$ y verifica si $90 - b$ también es primo.

Try the smallest primes for $b$ and check whether $90 - b$ is also prime

Solución:

Como los ángulos son complementarios, $a + b = 90.$ Para minimizar $b,$ prueba primos pequeños y exige que $90 - b$ también sea primo.

Para $b = 2, 3, 5,$ el valor $90 - b = 88, 87, 85$ no es primo. Para $b = 7,$ obtenemos $90 - 7 = 83,$ que es primo. Así que el menor valor posible es $b = 7.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since the angles are complementary, $a + b = 90.$ To minimize $b,$ try small primes and require $90 - b$ to be prime as well.

For $b = 2, 3, 5,$ the value $90 - b = 88, 87, 85$ is not prime. For $b = 7,$ we get $90 - 7 = 83,$ which is prime. So the least possible value is $b = 7.$

Thus, the correct answer is D.

5.

Los equipos $A$ y $B$ juegan en una liga de baloncesto donde cada partido resulta en una victoria para un equipo y una derrota para el otro. El equipo $A$ ha ganado $\tfrac23$ de sus partidos y el equipo $B$ ha ganado $\tfrac58$ de los suyos. Además, el equipo $B$ ha ganado $7$ partidos más y perdido $7$ partidos más que el equipo $A.$ ¿Cuántos partidos ha jugado el equipo $A$ ?

Teams $A$ and $B$ are playing in a basketball league where each game results in a win for one team and a loss for the other team. Team $A$ has won $\tfrac23$ of its games and team $B$ has won $\tfrac58$ of its games. Also, team $B$ has won $7$ more games and lost $7$ more games than team $A.$ How many games has team $A$ played?

$21$

$27$

$42$

$48$

$63$

Conceptos:sistema de ecuaciones fracción

Nivel de dificultad: 1290

Pista pequeña:

Supón que $A$ juega $a$ partidos y $B$ juega $b$ partidos, luego escribe las condiciones de victorias y derrotas.

Let $A$ play $a$ games and $B$ play $b$ games, then write both the win and loss conditions

Pista grande:

Victorias: $\tfrac58 b = \tfrac23 a + 7;$ derrotas: $\tfrac38 b = \tfrac13 a + 7$ .

Wins: $\tfrac58 b = \tfrac23 a + 7;$ losses: $\tfrac38 b = \tfrac13 a + 7$

Solución:

Sea $a$ el número de partidos que jugó el equipo $A$ y $b$ el número que jugó el equipo $B$ . El equipo $A$ gana $\tfrac23 a$ y pierde $\tfrac13 a;$ el equipo $B$ gana $\tfrac58 b$ y pierde $\tfrac38 b.$ Las condiciones dan $\tfrac58 b = \tfrac23 a + 7$ y $\tfrac38 b = \tfrac13 a + 7.$

Restando las ecuaciones se obtiene $\tfrac14 b = \tfrac13 a,$ así que $b = \tfrac43 a.$ Sustituyendo en la ecuación de derrotas: $\tfrac38 \cdot \tfrac43 a = \tfrac13 a + 7,$ es decir $\tfrac12 a = \tfrac13 a + 7,$ de modo que $\tfrac16 a = 7$ y $a = 42.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $a$ be the number of games team $A$ played and $b$ the number team $B$ played. Team $A$ wins $\tfrac23 a$ and loses $\tfrac13 a;$ team $B$ wins $\tfrac58 b$ and loses $\tfrac38 b.$ The conditions give $\tfrac58 b = \tfrac23 a + 7$ and $\tfrac38 b = \tfrac13 a + 7.$

Subtracting the equations gives $\tfrac14 b = \tfrac13 a,$ so $b = \tfrac43 a.$ Substituting into the loss equation: $\tfrac38 \cdot \tfrac43 a = \tfrac13 a + 7,$ i.e. $\tfrac12 a = \tfrac13 a + 7,$ so $\tfrac16 a = 7$ and $a = 42.$

Thus, the correct answer is C.

6.

Para todos los enteros $n \ge 9,$ el valor de

$\frac{(n + 2)! - (n + 1)!}{n!}$

¿es siempre cuál de las siguientes opciones?

For all integers $n \ge 9,$ the value of

$\frac{(n + 2)! - (n + 1)!}{n!}$

is always which of the following?

un múltiplo de $4$

a multiple of $4$

un múltiplo de $10$

a multiple of $10$

un número primo

a prime number

un cuadrado perfecto

a perfect square

un cubo perfecto

a perfect cube

Conceptos:factorial factorización cuadrado perfecto

Nivel de dificultad: 1270

Pista pequeña:

Factoriza $(n + 1)!$ del numerador.

Factor $(n + 1)!$ out of the numerator

Pista grande:

$(n + 2)! - (n + 1)!$ $= (n + 1)!\,\big[(n + 2) - 1\big]$ $= (n + 1)!\,(n + 1)$ .

$(n + 2)! - (n + 1)!$ $= (n + 1)!\,\big[(n + 2) - 1\big]$ $= (n + 1)!\,(n + 1)$

Solución:

Factoriza $(n + 1)!$ del numerador: $\begin{gathered} (n + 2)! - (n + 1)! \\ {}= (n + 1)!\,\big[(n + 2) - 1\big] \\ {}= (n + 1)!\,(n + 1). \end{gathered}$

Al dividir entre $n!$ queda $\dfrac{(n + 1)!\,(n + 1)}{n!}$ $= (n + 1)(n + 1)$ $= (n + 1)^2,$ que siempre es un cuadrado perfecto.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Factor $(n + 1)!$ from the numerator: $\begin{gathered} (n + 2)! - (n + 1)! \\ {}= (n + 1)!\,\big[(n + 2) - 1\big] \\ {}= (n + 1)!\,(n + 1). \end{gathered}$

Dividing by $n!$ leaves $\dfrac{(n + 1)!\,(n + 1)}{n!}$ $= (n + 1)(n + 1)$ $= (n + 1)^2,$ which is always a perfect square.

Thus, the correct answer is D.

7.

Dos rectas del plano de coordenadas $xy$ , ninguna horizontal ni vertical, se intersecan formando un ángulo de $45^\circ$ . Una recta tiene pendiente igual a $6$ veces la pendiente de la otra. ¿Cuál es el mayor valor posible del producto de las pendientes de las dos rectas?

Two nonhorizontal, non-vertical lines in the $xy$ -coordinate plane intersect to form a $45^\circ$ angle. One line has slope equal to $6$ times the slope of the other line. What is the greatest possible value of the product of the slopes of the two lines?

$\dfrac16$

$\dfrac23$

$\dfrac32$

$3$

$6$

Conceptos:pendiente cuadrática optimización

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

La tangente del ángulo entre rectas de pendientes $m_1, m_2$ es $\left|\dfrac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}\right|$ .

The tangent of the angle between lines of slopes $m_1, m_2$ is $\left|\dfrac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}\right|$

Pista grande:

Con pendientes $m$ y $6m,$ plantea $\left|\dfrac{5m}{1 + 6m^2}\right| = 1$ y maximiza $6m^2$ .

With slopes $m$ and $6m,$ set $\left|\dfrac{5m}{1 + 6m^2}\right| = 1$ and maximize $6m^2$

Solución:

Sean las pendientes $m$ y $6m.$ El ángulo entre las rectas cumple $\left|\frac{6m - m}{1 + 6m^2}\right| = \tan 45^\circ = 1,$ así que $5m = \pm(1 + 6m^2),$ lo que da $6m^2 - 5m + 1 = 0$ o $6m^2 + 5m + 1 = 0.$

La primera da $m = \tfrac12$ o $m = \tfrac13;$ la segunda da los opuestos de estos. El producto de las pendientes es $6m^2,$ que es máximo cuando $m = \tfrac12,$ dando $6 \cdot \tfrac14 = \tfrac32.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the slopes be $m$ and $6m.$ The angle between the lines satisfies $\left|\frac{6m - m}{1 + 6m^2}\right| = \tan 45^\circ = 1,$ so $5m = \pm(1 + 6m^2),$ giving $6m^2 - 5m + 1 = 0$ or $6m^2 + 5m + 1 = 0.$

The first yields $m = \tfrac12$ or $m = \tfrac13;$ the second yields the negatives of these. The product of the slopes is $6m^2,$ which is largest when $m = \tfrac12,$ giving $6 \cdot \tfrac14 = \tfrac32.$

Thus, the correct answer is C.

8.

¿Cuántos pares ordenados de enteros $(x, y)$ satisfacen la ecuación

$x^{2020} + y^2 = 2y?$

How many ordered pairs of integers $(x, y)$ satisfy the equation

$x^{2020} + y^2 = 2y?$

$1$

$2$

$3$

$4$

Infinitos

infinitely many

Conceptos:completar el cuadrado Ecuación diofántica acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

Completa el cuadrado en $y:$ $x^{2020} + (y - 1)^2 = 1$ .

Complete the square in $y:$ $x^{2020} + (y - 1)^2 = 1$

Pista grande:

Como $x^{2020} \ge 0$ y $(y - 1)^2 \ge 0,$ solo $x \in \{-1, 0, 1\}$ puede funcionar.

Since $x^{2020} \ge 0$ and $(y - 1)^2 \ge 0,$ only $x \in \{-1, 0, 1\}$ can work

Solución:

Completar el cuadrado da $x^{2020} + (y - 1)^2 = 1.$ Ambos términos son no negativos, así que $x^{2020} \le 1,$ lo que obliga a $x \in \{-1, 0, 1\}.$

Si $x = 0,$ entonces $(y - 1)^2 = 1,$ lo que da $y = 0$ o $y = 2.$ Si $x = \pm 1,$ entonces $x^{2020} = 1,$ así que $(y - 1)^2 = 0$ y $y = 1.$ Las soluciones son $(0, 0), (0, 2), (1, 1),$ y $(-1, 1)$ : cuatro en total.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Completing the square gives $x^{2020} + (y - 1)^2 = 1.$ Both terms are nonnegative, so $x^{2020} \le 1,$ forcing $x \in \{-1, 0, 1\}.$

If $x = 0,$ then $(y - 1)^2 = 1,$ giving $y = 0$ or $y = 2.$ If $x = \pm 1,$ then $x^{2020} = 1,$ so $(y - 1)^2 = 0$ and $y = 1.$ The solutions are $(0, 0), (0, 2), (1, 1),$ and $(-1, 1)$ — four in all.

Thus, the correct answer is D.

9.

Un sector de tres cuartos de un círculo de radio $4$ pulgadas, junto con su interior, se puede enrollar para formar la superficie lateral de un cono circular recto pegando a lo largo de los dos radios mostrados. ¿Cuál es el volumen del cono en pulgadas cúbicas?

A three-quarter sector of a circle of radius $4$ inches together with its interior can be rolled up to form the lateral surface of a right circular cone by taping together along the two radii shown. What is the volume of the cone in cubic inches?

$3\pi \sqrt{5}$

$4\pi \sqrt{3}$

$3\pi \sqrt{7}$

$6\pi \sqrt{3}$

$6\pi \sqrt{7}$

Conceptos:cono volumen Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1470

Pista pequeña:

La longitud del arco del sector se convierte en la circunferencia de la base del cono.

The arc length of the sector becomes the circumference of the cone’s base

Pista grande:

El radio del sector $4$ se convierte en la generatriz; halla el radio de la base y luego la altura del cono.

The sector radius $4$ becomes the slant height; find the base radius, then the cone’s height

Solución:

La longitud del arco del sector es $\tfrac34 \cdot 2\pi \cdot 4 = 6\pi,$ que se convierte en la circunferencia de la base: $2\pi r = 6\pi,$ así que $r = 3.$

La generatriz es el radio del sector $4,$ así que la altura es $h = \sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{7}.$ El volumen es $\frac13 \pi r^2 h = \frac13 \pi \cdot 9 \cdot \sqrt{7} = 3\pi\sqrt{7}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The sector’s arc length is $\tfrac34 \cdot 2\pi \cdot 4 = 6\pi,$ which becomes the base circumference: $2\pi r = 6\pi,$ so $r = 3.$

The slant height is the sector radius $4,$ so the height is $h = \sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{7}.$ The volume is $\frac13 \pi r^2 h = \frac13 \pi \cdot 9 \cdot \sqrt{7} = 3\pi\sqrt{7}.$

Thus, the correct answer is C.

10.

En el cuadrado unitario $ABCD,$ la circunferencia inscrita $\omega$ corta a $\overline{CD}$ en $M,$ y $\overline{AM}$ corta a $\omega$ en un punto $P$ distinto de $M.$ ¿Cuánto vale $AP$ ?

In unit square $ABCD,$ the inscribed circle $\omega$ intersects $\overline{CD}$ at $M,$ and $\overline{AM}$ intersects $\omega$ at a point $P$ different from $M.$ What is $AP?$

$\dfrac{\sqrt{5}}{12}$

$\dfrac{\sqrt{5}}{10}$

$\dfrac{\sqrt{5}}{9}$

$\dfrac{\sqrt{5}}{8}$

$\dfrac{2\sqrt{5}}{15}$

Conceptos:geometría analítica círculo potencia de un punto

Nivel de dificultad: 1560

Pista pequeña:

Coloca $A = (0, 0),$ de modo que la circunferencia tiene centro $\left(\tfrac12, \tfrac12\right)$ y $M = \left(\tfrac12, 1\right)$ .

Place $A = (0, 0),$ so the circle has center $\left(\tfrac12, \tfrac12\right)$ and $M = \left(\tfrac12, 1\right)$

Pista grande:

Sustituye la recta $AM$ en la ecuación de la circunferencia; las dos raíces dan $M$ y $P$ .

Substitute the line $AM$ into the circle’s equation; the two roots give $M$ and $P$

Solución:

Sea $A = (0, 0),$ $B = (1, 0),$ $C = (1, 1),$ $D = (0, 1).$ La circunferencia inscrita tiene centro $\left(\tfrac12, \tfrac12\right)$ y radio $\tfrac12,$ y toca $\overline{CD}$ en $M = \left(\tfrac12, 1\right).$

La recta $AM$ es $y = 2x.$ Sustituyendo en $\left(x - \tfrac12\right)^2 + \left(y - \tfrac12\right)^2 = \tfrac14$ se obtiene $20x^2 - 12x + 1 = 0,$ con raíces $x = \tfrac12$ (punto $M$ ) y $x = \tfrac{1}{10}$ (punto $P$ ).

Así que $P = \left(\tfrac{1}{10}, \tfrac15\right)$ y $AP = \sqrt{\left(\tfrac{1}{10}\right)^2 + \left(\tfrac15\right)^2} = \frac{\sqrt5}{10}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $A = (0, 0),$ $B = (1, 0),$ $C = (1, 1),$ $D = (0, 1).$ The inscribed circle has center $\left(\tfrac12, \tfrac12\right)$ and radius $\tfrac12,$ touching $\overline{CD}$ at $M = \left(\tfrac12, 1\right).$

Line $AM$ is $y = 2x.$ Substituting into $\left(x - \tfrac12\right)^2 + \left(y - \tfrac12\right)^2 = \tfrac14$ gives $20x^2 - 12x + 1 = 0,$ with roots $x = \tfrac12$ (point $M$ ) and $x = \tfrac{1}{10}$ (point $P$ ).

So $P = \left(\tfrac{1}{10}, \tfrac15\right)$ and $AP = \sqrt{\left(\tfrac{1}{10}\right)^2 + \left(\tfrac15\right)^2} = \frac{\sqrt5}{10}.$

Thus, the correct answer is B.

11.

Como se muestra en la figura de abajo, seis semicírculos están en el interior de un hexágono regular de lado $2$ , de modo que los diámetros de los semicírculos coinciden con los lados del hexágono. ¿Cuál es el área de la región sombreada, dentro del hexágono pero fuera de todos los semicírculos?

As shown in the figure below, six semicircles lie in the interior of a regular hexagon with side length $2$ so that the diameters of the semicircles coincide with the sides of the hexagon. What is the area of the shaded region—inside the hexagon but outside all of the semicircles?

$6\sqrt{3} - 3\pi$

$\dfrac{9\sqrt{3}}{2} - 2\pi$

$\dfrac{3\sqrt{3}}{2} - \dfrac{\pi}{3}$

$3\sqrt{3} - \pi$

$\dfrac{9\sqrt{3}}{2} - \pi$

Conceptos:polígono regular descomposición de áreas inclusión-exclusión

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

El área del hexágono es $\dfrac{3\sqrt3}{2}s^2$ con $s = 2,$ y cada semicírculo tiene radio $1$ .

The hexagon area is $\dfrac{3\sqrt3}{2}s^2$ with $s = 2,$ and each semicircle has radius $1$

Pista grande:

Los semicírculos adyacentes se solapan; resta la unión, teniendo en cuenta las seis lentes de solapamiento.

Adjacent semicircles overlap; subtract the union, accounting for the six overlapping lenses

Solución:

El hexágono tiene área $\tfrac{3\sqrt3}{2}\cdot 2^2 = 6\sqrt3.$ Cada semicírculo tiene radio $1$ y área $\tfrac{\pi}{2},$ sumando $3\pi.$

Los centros de semicírculos adyacentes (puntos medios de los lados) están a distancia $\sqrt3$ , así que cada par adyacente se solapa en una lente de área $2\cos^{-1}\!\left(\tfrac{\sqrt3}{2}\right) - \tfrac{\sqrt3}{2} = \tfrac{\pi}{3} - \tfrac{\sqrt3}{2}.$ Hay seis lentes de este tipo.

La unión de los semicírculos tiene área $3\pi - 6\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt3}{2}\right) = \pi + 3\sqrt3.$ Al restarla del hexágono, se obtiene el área sombreada $6\sqrt3 - (\pi + 3\sqrt3) = 3\sqrt3 - \pi.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The hexagon has area $\tfrac{3\sqrt3}{2}\cdot 2^2 = 6\sqrt3.$ Each semicircle has radius $1$ and area $\tfrac{\pi}{2},$ totaling $3\pi.$

Adjacent semicircle centers (side midpoints) are a distance $\sqrt3$ apart, so each adjacent pair overlaps in a lens of area $2\cos^{-1}\!\left(\tfrac{\sqrt3}{2}\right) - \tfrac{\sqrt3}{2} = \tfrac{\pi}{3} - \tfrac{\sqrt3}{2}.$ There are six such lenses.

The union of the semicircles is $3\pi - 6\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt3}{2}\right) = \pi + 3\sqrt3.$ Subtracting from the hexagon gives the shaded area $6\sqrt3 - (\pi + 3\sqrt3) = 3\sqrt3 - \pi.$

Thus, the correct answer is D.

12.

Sea $\overline{AB}$ un diámetro de una circunferencia de radio $5\sqrt2.$ Sea $\overline{CD}$ una cuerda de la circunferencia que corta a $\overline{AB}$ en un punto $E$ tal que $BE = 2\sqrt5$ y $\angle AEC = 45^\circ.$ ¿Cuánto vale $CE^2 + DE^2$ ?

Let $\overline{AB}$ be a diameter in a circle of radius $5\sqrt2.$ Let $\overline{CD}$ be a chord in the circle that intersects $\overline{AB}$ at a point $E$ such that $BE = 2\sqrt5$ and $\angle AEC = 45^\circ.$ What is $CE^2 + DE^2?$

$96$

$98$

$44\sqrt{5}$

$70\sqrt{2}$

$100$

Conceptos:geometría analítica cuerda Fórmulas de Vieta

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Coloca el centro en el origen con $\overline{AB}$ sobre el eje $x$ y parametriza la cuerda desde $E$ a $45^\circ$ .

Put the center at the origin with $\overline{AB}$ on the $x$ -axis and parametrize the chord from $E$ at $45^\circ$

Pista grande:

Si $t_1, t_2$ son las distancias con signo desde $E$ hasta $C, D,$ entonces $CE^2 + DE^2 = t_1^2 + t_2^2$ .

If $t_1, t_2$ are the signed distances from $E$ to $C, D,$ then $CE^2 + DE^2 = t_1^2 + t_2^2$

Solución:

Coloca el centro en el origen con $\overline{AB}$ sobre el eje $x$ ; el radio es $R = 5\sqrt2,$ así que $R^2 = 50.$ Entonces $E = (x_E, 0)$ con $x_E = R - 2\sqrt5$ (su valor exacto no hace falta).

Parametriza la cuerda como $E + t\left(\tfrac{1}{\sqrt2}, \tfrac{1}{\sqrt2}\right).$ Sustituyendo en $x^2 + y^2 = 50$ se obtiene $t^2 + \sqrt2\,x_E\, t + (x_E^2 - 50) = 0,$ cuyas raíces son las distancias con signo $t_1, t_2$ hasta $C$ y $D.$

Por Vieta, $t_1 + t_2 = -\sqrt2\,x_E$ y $t_1 t_2 = x_E^2 - 50,$ así que $\begin{gathered} CE^2 + DE^2 = t_1^2 + t_2^2 \\ {}= (t_1 + t_2)^2 - 2t_1 t_2 \\ {}= 2x_E^2 - 2(x_E^2 - 50) \\ {}= 100. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Place the center at the origin with $\overline{AB}$ on the $x$ -axis; the radius is $R = 5\sqrt2,$ so $R^2 = 50.$ Then $E = (x_E, 0)$ with $x_E = R - 2\sqrt5$ (its exact value is not needed).

Parametrize the chord as $E + t\left(\tfrac{1}{\sqrt2}, \tfrac{1}{\sqrt2}\right).$ Substituting into $x^2 + y^2 = 50$ gives $t^2 + \sqrt2\,x_E\, t + (x_E^2 - 50) = 0,$ whose roots are the signed distances $t_1, t_2$ to $C$ and $D.$

By Vieta, $t_1 + t_2 = -\sqrt2\,x_E$ and $t_1 t_2 = x_E^2 - 50,$ so $\begin{gathered} CE^2 + DE^2 = t_1^2 + t_2^2 \\ {}= (t_1 + t_2)^2 - 2t_1 t_2 \\ {}= 2x_E^2 - 2(x_E^2 - 50) \\ {}= 100. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is E.

13.

¿Cuál de las siguientes es el valor de $\sqrt{\log_2 6 + \log_3 6}$ ?

Which of the following is the value of $\sqrt{\log_2 6 + \log_3 6}?$

$1$

$\sqrt{\log_5 6}$

$2$

$\sqrt{\log_2 3} + \sqrt{\log_3 2}$

$\sqrt{\log_2 6} + \sqrt{\log_3 6}$

Conceptos:logaritmo manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Escribe $\log_2 6 = 1 + \log_2 3$ y $\log_3 6 = 1 + \log_3 2$ .

Write $\log_2 6 = 1 + \log_2 3$ and $\log_3 6 = 1 + \log_3 2$

Pista grande:

Compara con $\left(\sqrt{\log_2 3} + \sqrt{\log_3 2}\right)^2,$ usando $\log_2 3 \cdot \log_3 2 = 1$ .

Compare with $\left(\sqrt{\log_2 3} + \sqrt{\log_3 2}\right)^2,$ using $\log_2 3 \cdot \log_3 2 = 1$

Solución:

Sea $a = \log_2 3,$ así que $\log_3 2 = \tfrac1a.$ Entonces $\begin{gathered} \log_2 6 + \log_3 6 \\ {}= (1 + \log_2 3) \\ \quad {}+ (1 + \log_3 2) \\ {}= 2 + a + \frac1a. \end{gathered}$

Mientras tanto, $\left(\sqrt{\log_2 3} + \sqrt{\log_3 2}\right)^2$ $= a + \frac1a + 2\sqrt{a \cdot \tfrac1a}$ $= a + \frac1a + 2,$ que es igual a la expresión anterior.

Tomando raíces cuadradas, $\sqrt{\log_2 6 + \log_3 6}$ $= \sqrt{\log_2 3} + \sqrt{\log_3 2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $a = \log_2 3,$ so $\log_3 2 = \tfrac1a.$ Then $\begin{gathered} \log_2 6 + \log_3 6 \\ {}= (1 + \log_2 3) \\ \quad {}+ (1 + \log_3 2) \\ {}= 2 + a + \frac1a. \end{gathered}$

Meanwhile $\left(\sqrt{\log_2 3} + \sqrt{\log_3 2}\right)^2$ $= a + \frac1a + 2\sqrt{a \cdot \tfrac1a}$ $= a + \frac1a + 2,$ which equals the expression above.

Taking square roots, $\sqrt{\log_2 6 + \log_3 6}$ $= \sqrt{\log_2 3} + \sqrt{\log_3 2}.$

Thus, the correct answer is D.

14.

Bela y Jenn juegan al siguiente juego en el intervalo cerrado $[0, n]$ de la recta de los números reales, donde $n$ es un entero fijo mayor que $4.$ Se turnan para jugar, y Bela empieza. En su primer turno, Bela elige cualquier número real del intervalo $[0, n].$ Después, el jugador al que le toca elige un número real que esté a más de una unidad de distancia de todos los números elegidos previamente por cualquiera de los dos. Un jugador que no pueda elegir tal número pierde. Con estrategia óptima, ¿qué jugador ganará el juego?

Bela and Jenn play the following game on the closed interval $[0, n]$ of the real number line, where $n$ is a fixed integer greater than $4.$ They take turns playing, with Bela going first. At his first turn, Bela chooses any real number in the interval $[0, n].$ Thereafter, the player whose turn it is chooses a real number that is more than one unit away from all numbers previously chosen by either player. A player unable to choose such a number loses. Using optimal strategy, which player will win the game?

Bela siempre ganará.

Bela will always win.

Jenn siempre ganará.

Jenn will always win.

Bela ganará si y solo si $n$ es impar.

Bela will win if and only if $n$ is odd.

Jenn ganará si y solo si $n$ es impar.

Jenn will win if and only if $n$ is odd.

Jenn ganará si y solo si $n \gt 8.$

Jenn will win if and only if $n \gt 8.$

Conceptos:juego combinatorio simetría

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Considera qué pasa si Bela juega primero exactamente en el punto medio del intervalo.

Consider what happens if Bela plays exactly at the midpoint of the interval first

Pista grande:

Después de ocupar el centro, Bela puede reflejar cada jugada de Jenn a través del punto medio.

After claiming the center, Bela can mirror each of Jenn’s moves through the midpoint

Solución:

Bela juega primero el punto medio $\tfrac{n}{2}.$ Esta elección hace que la configuración sea simétrica respecto al centro del intervalo.

Después, cada vez que Jenn elige un número $x,$ Bela responde con su imagen reflejada $n - x.$ Como Bela ya eligió $\tfrac n2,$ toda jugada legal de Jenn satisface $\left|x-\tfrac n2\right|>1.$ Por tanto, $|x-(n-x)|=2\left|x-\tfrac n2\right|>2,$ de modo que la respuesta de Bela está suficientemente alejada del nuevo punto de Jenn. Por simetría, también está suficientemente alejada de todos los puntos anteriores. Así, Bela siempre tiene una jugada cuando Jenn la tiene, por lo que Jenn es la primera en quedarse sin movimientos. Bela siempre gana.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Bela first plays the midpoint $\tfrac{n}{2}.$ This choice makes the configuration symmetric about the center of the interval.

Thereafter, whenever Jenn picks a number $x,$ Bela responds with its mirror image $n - x.$ Since Bela has already chosen $\tfrac n2,$ Jenn’s legal move satisfies $\left|x-\tfrac n2\right|>1.$ Therefore $|x-(n-x)|=2\left|x-\tfrac n2\right|>2,$ so Bela’s response is far enough from Jenn’s new point. Symmetry shows that it is also far enough from every earlier point. Thus Bela always has a move whenever Jenn does, so Jenn is the first to be stuck. Bela always wins.

Thus, the correct answer is A.

15.

Hay $10$ personas dispuestas de forma equidistante alrededor de un círculo. Cada persona conoce exactamente a $3$ de las otras $9$ : las $2$ personas que están a su lado, así como la persona directamente al otro lado del círculo. ¿De cuántas maneras pueden las $10$ personas dividirse en $5$ parejas de modo que los dos miembros de cada pareja se conozcan?

There are $10$ people standing equally spaced around a circle. Each person knows exactly $3$ of the other $9$ people: the $2$ people standing next to her or him, as well as the person directly across the circle. How many ways are there for the $10$ people to split up into $5$ pairs so that the members of each pair know each other?

$11$

$12$

$13$

$14$

$15$

Conceptos:teoría de grafos análisis por casos

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Cuenta los emparejamientos perfectos usando aristas que son pares adyacentes (vecinos) o diámetros (opuestos).

Count perfect matchings using edges that are either adjacent (neighbor) pairs or diameters (across)

Pista grande:

Organiza según cuántos pares diámetro se usan; solo pueden ocurrir $0, 1, 3,$ o $5$ de ellos.

Organize by how many diameter pairs are used; only $0, 1, 3,$ or $5$ of them can occur

Solución:

Etiqueta a las personas del $0$ al $9.$ Los emparejamientos permitidos usan aristas de vecinos $(i, i + 1)$ o aristas de diámetro $(i, i + 5).$ Cuenta los emparejamientos perfectos según el número de aristas de diámetro usadas.

Sin diámetros, las diez personas se emparejan en parejas adyacentes de $2$ maneras (todas las aristas “pares” o todas las “impares”). Con exactamente un diámetro, se elige de $5$ maneras; los dos arcos restantes de cuatro personas cada uno se emparejan de forma única, dando $5.$ Con los cinco diámetros se obtiene $1$ emparejamiento.

Si se usa al menos un diámetro, seguir los emparejamientos adyacentes forzados alrededor del círculo muestra que el número de diámetros debe ser impar. Con exactamente tres diámetros, las cuatro personas restantes deben formar dos pares adyacentes opuestos. La posición de uno de esos pares determina el emparejamiento, dando $5$ posibilidades. En total, $2+5+5+1=13.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Label the people $0$ through $9.$ Allowed pairings use neighbor edges $(i, i + 1)$ or diameter edges $(i, i + 5).$ Count perfect matchings by the number of diameter edges used.

Using no diameters, the ten people split into adjacent pairs in $2$ ways (all “even” edges or all “odd” edges). Using exactly one diameter, choose it in $5$ ways; the remaining two arcs of four people each pair up uniquely, giving $5.$ Using all five diameters gives $1$ matching.

If at least one diameter is used, following the forced adjacent pairings around the circle shows that the number of diameters must be odd. With exactly three diameters, the four remaining people must be two opposite adjacent pairs. The position of one such opposite pair determines the matching, giving $5$ possibilities. Hence the total is $2+5+5+1=13.$

Thus, the correct answer is C.

16.

Una urna contiene una bola roja y una bola azul. Cerca hay una caja con bolas rojas y azules adicionales. George realiza la siguiente operación cuatro veces: saca una bola de la urna al azar y luego toma de la caja una bola del mismo color, y devuelve esas dos bolas iguales a la urna. Después de las cuatro iteraciones, la urna contiene seis bolas. ¿Cuál es la probabilidad de que la urna contenga tres bolas de cada color?

An urn contains one red ball and one blue ball. A box of extra red and blue balls lies nearby. George performs the following operation four times: he draws a ball from the urn at random and then takes a ball of the same color from the box and returns those two matching balls to the urn. After the four iterations the urn contains six balls. What is the probability that the urn contains three balls of each color?

$\dfrac16$

$\dfrac15$

$\dfrac14$

$\dfrac13$

$\dfrac12$

Conceptos:probabilidad básica combinaciones

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Llegar a tres de cada color significa que exactamente dos de las cuatro bolas añadidas son rojas.

Reaching three of each color means exactly two of the four added balls are red

Pista grande:

Cualquier orden específico de dos adiciones rojas y dos azules tiene la misma probabilidad, así que el número de bolas rojas es uniforme.

Any specific order of two red and two blue additions has the same probability, so the number of red balls is uniform

Solución:

Para terminar con tres de cada color, exactamente dos de las cuatro bolas añadidas deben ser rojas. Considera cualquier secuencia de extracciones. Cuando la urna tiene $k$ bolas, sacar un color concreto con conteo $c$ tiene probabilidad $\tfrac{c}{k}.$

Cualquier orden con dos adiciones rojas y dos azules da el mismo producto $\tfrac{1\cdot 2\cdot 1\cdot 2}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5},$ y hay $\binom42 = 6$ de esos órdenes, para una probabilidad $\tfrac{6\cdot 4}{120} = \tfrac15.$ (Equivalentemente, el número de bolas rojas después de cuatro pasos es uniforme en $\{1, 2, 3, 4, 5\},$ así que $3$ rojas ocurre con probabilidad $\tfrac15.$ )

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

To end with three of each color, exactly two of the four added balls must be red. Consider any sequence of draws. When the urn holds $k$ balls, drawing a particular color with count $c$ has probability $\tfrac{c}{k}.$

Any ordering with two red and two blue additions gives the same product $\tfrac{1\cdot 2\cdot 1\cdot 2}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5},$ and there are $\binom42 = 6$ such orderings, for probability $\tfrac{6\cdot 4}{120} = \tfrac15.$ (Equivalently, the number of red balls after four steps is uniform on $\{1, 2, 3, 4, 5\},$ so $3$ red occurs with probability $\tfrac15.$ )

Thus, the correct answer is B.

17.

¿Cuántos polinomios de la forma $x^5 + ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx$ $+ 2020,$ donde $a,$ $b,$ $c,$ y $d$ son números reales, tienen la propiedad de que siempre que $r$ es raíz, también lo es $\dfrac{-1 + i\sqrt3}{2}\cdot r$ ? (Nota que $i = \sqrt{-1}.$ )

How many polynomials of the form $x^5 + ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx$ $+ 2020,$ where $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ are real numbers, have the property that whenever $r$ is a root, so is $\dfrac{-1 + i\sqrt3}{2}\cdot r?$ (Note that $i = \sqrt{-1}.$ )

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Conceptos:raíces de la unidad número complejo polinomio

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

$\omega = \dfrac{-1 + i\sqrt3}{2}$ es una raíz cúbica primitiva de la unidad, así que las raíces no nulas vienen en tríos $\{r, \omega r, \omega^2 r\}$ .

$\omega = \dfrac{-1 + i\sqrt3}{2}$ is a primitive cube root of unity, so nonzero roots come in triples $\{r, \omega r, \omega^2 r\}$

Pista grande:

Con cinco raíces, las raíces distintas forman un solo trío con multiplicidades que suman $5;$ los coeficientes reales fuerzan simetría conjugada.

With five roots the distinct roots form one triple with multiplicities summing to $5;$ real coefficients force conjugate symmetry

Solución:

Aquí $\omega = \tfrac{-1 + i\sqrt3}{2}$ es una raíz cúbica primitiva de la unidad. Como $0$ no es raíz, el conjunto de raíces distintas es cerrado bajo la multiplicación por $\omega,$ así que consta de tríos $\{r, \omega r, \omega^2 r\}$ igualmente espaciados en argumento. Cinco raíces no pueden llenar dos de esos tríos, así que hay exactamente un trío, con multiplicidades $m_1, m_2, m_3 \ge 1$ que suman $5.$

Los coeficientes reales exigen que el multiconjunto de raíces sea cerrado bajo conjugación. Esto solo es posible cuando los argumentos del trío son simétricos respecto al eje real, lo que ocurre para las dos configuraciones $\{0^\circ, 120^\circ, 240^\circ\}$ y $\{60^\circ, 180^\circ, 300^\circ\}.$

El producto de las raíces debe ser igual a $-2020.$ En la primera configuración la raíz real es positiva, forzando un producto positivo, lo cual es imposible. En la segunda, la raíz real es negativa y el producto es $-\rho^5;$ tomar $\rho^5 = 2020$ funciona, y los dos patrones de multiplicidad simétricos por conjugación $(1, 3, 1)$ y $(2, 1, 2)$ dan cada uno un polinomio válido. Por lo tanto hay $2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Here $\omega = \tfrac{-1 + i\sqrt3}{2}$ is a primitive cube root of unity. Since $0$ is not a root, the set of distinct roots is closed under multiplication by $\omega,$ so it consists of triples $\{r, \omega r, \omega^2 r\}$ equally spaced in argument. Five roots cannot fill two such triples, so there is exactly one triple, with multiplicities $m_1, m_2, m_3 \ge 1$ summing to $5.$

Real coefficients require the root multiset to be closed under conjugation. This is possible only when the triple’s arguments are symmetric about the real axis, which happens for the two configurations $\{0^\circ, 120^\circ, 240^\circ\}$ and $\{60^\circ, 180^\circ, 300^\circ\}.$

The product of the roots must equal $-2020.$ In the first configuration the real root is positive, forcing a positive product, which is impossible. In the second, the real root is negative and the product is $-\rho^5;$ setting $\rho^5 = 2020$ works, and the two conjugate-symmetric multiplicity patterns $(1, 3, 1)$ and $(2, 1, 2)$ each give a valid polynomial. Hence there are $2.$

Thus, the correct answer is C.

18.

En el cuadrado $ABCD,$ los puntos $E$ y $H$ están sobre $\overline{AB}$ y $\overline{DA},$ respectivamente, de modo que $AE = AH.$ Los puntos $F$ y $G$ están sobre $\overline{BC}$ y $\overline{CD},$ respectivamente, y los puntos $I$ y $J$ están sobre $\overline{EH}$ de modo que $\overline{FI} \perp \overline{EH}$ y $\overline{GJ} \perp \overline{EH}.$ Ve la figura de abajo. El triángulo $AEH,$ el cuadrilátero $BFIE,$ el cuadrilátero $DHJG,$ y el pentágono $FCGJI$ tienen área $1.$ ¿Cuánto vale $FI^2$ ?

In square $ABCD,$ points $E$ and $H$ lie on $\overline{AB}$ and $\overline{DA},$ respectively, so that $AE = AH.$ Points $F$ and $G$ lie on $\overline{BC}$ and $\overline{CD},$ respectively, and points $I$ and $J$ lie on $\overline{EH}$ so that $\overline{FI} \perp \overline{EH}$ and $\overline{GJ} \perp \overline{EH}.$ See the figure below. Triangle $AEH,$ quadrilateral $BFIE,$ quadrilateral $DHJG,$ and pentagon $FCGJI$ each has area $1.$ What is $FI^2?$

$\dfrac73$

$8 - 4\sqrt{2}$

$1 + \sqrt{2}$

$\dfrac74 \sqrt{2}$

$2\sqrt{2}$

Conceptos:geometría analítica descomposición de áreas triángulo rectángulo especial

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Las cuatro regiones cubren el cuadrado, así que su área es $4$ y su lado es $2$ .

The four regions tile the square, so its area is $4$ and its side is $2$

Pista grande:

$\triangle AEH$ es un triángulo rectángulo isósceles de área $1,$ así que $AE = \sqrt2;$ establece coordenadas y usa el área de $BFIE$ .

$\triangle AEH$ is an isosceles right triangle of area $1,$ so $AE = \sqrt2;$ set coordinates and use the area of $BFIE$

Solución:

Las cuatro regiones tienen área total $4,$ así que el cuadrado tiene lado $2.$ Pon $A = (0, 0),$ $B = (2, 0),$ $C = (2, 2),$ $D = (0, 2).$ Como $\triangle AEH$ es un triángulo rectángulo isósceles de área $1,$ obtenemos $AE = AH = \sqrt2,$ así que $E = (\sqrt2, 0)$ y $H = (0, \sqrt2).$ La recta $EH$ es $x + y = \sqrt2.$

Sea $F = (2, t).$ Su distancia perpendicular a la recta $EH$ es $FI = \tfrac{2 + t - \sqrt2}{\sqrt2}.$ Escribe $s=\frac{FI}{\sqrt2}=\tfrac{2+t-\sqrt2}{2};$ entonces el pie de la perpendicular es $I=(2-s,t-s).$ La fórmula del cordón para $B=(2,0),$ $F,$ $I,$ y $E=(\sqrt2,0)$ da $[BFIE]=s^2-(3-2\sqrt2).$ Como esta área es $1,$ se obtiene $s^2=4-2\sqrt2.$

Entonces $FI^2 = 2s^2 = 8 - 4\sqrt2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The four regions have total area $4,$ so the square has side $2.$ Put $A = (0, 0),$ $B = (2, 0),$ $C = (2, 2),$ $D = (0, 2).$ Since $\triangle AEH$ is an isosceles right triangle with area $1,$ we get $AE = AH = \sqrt2,$ so $E = (\sqrt2, 0)$ and $H = (0, \sqrt2).$ Line $EH$ is $x + y = \sqrt2.$

Let $F = (2, t).$ Its perpendicular distance to line $EH$ is $FI = \tfrac{2 + t - \sqrt2}{\sqrt2}.$ Write $s=\frac{FI}{\sqrt2}=\tfrac{2+t-\sqrt2}{2},$ so the foot of the perpendicular is $I=(2-s,t-s).$ The shoelace formula on $B=(2,0),$ $F,$ $I,$ and $E=(\sqrt2,0)$ gives $[BFIE]=s^2-(3-2\sqrt2).$ Since this area is $1,$ we get $s^2=4-2\sqrt2.$

Then $FI^2 = 2s^2 = 8 - 4\sqrt2.$

Thus, the correct answer is B.

19.

El cuadrado $ABCD$ en el plano de coordenadas tiene vértices en los puntos $A(1, 1),$ $B(-1, 1),$ $C(-1, -1),$ y $D(1, -1).$ Considera las siguientes cuatro transformaciones:

$L,$ una rotación de $90^\circ$ en sentido antihorario alrededor del origen;

$R,$ una rotación de $90^\circ$ en sentido horario alrededor del origen;

$H,$ una reflexión respecto al eje $x$ ; y

$V,$ una reflexión respecto al eje $y$ .

Cada una de estas transformaciones mapea el cuadrado sobre sí mismo, pero las posiciones de los vértices etiquetados cambiarán. Por ejemplo, aplicar $R$ y luego $V$ enviaría el vértice $A$ en $(1, 1)$ a $(-1, -1)$ y enviaría el vértice $B$ en $(-1, 1)$ a sí mismo. ¿Cuántas secuencias de $20$ transformaciones elegidas de $\{L, R, H, V\}$ enviarán todos los vértices etiquetados de vuelta a sus posiciones originales? (Por ejemplo, $R,$ $R,$ $V,$ $H$ es una secuencia de $4$ transformaciones que envía los vértices de vuelta a sus posiciones originales.)

Square $ABCD$ in the coordinate plane has vertices at the points $A(1, 1),$ $B(-1, 1),$ $C(-1, -1),$ and $D(1, -1).$ Consider the following four transformations:

$L,$ a rotation of $90^\circ$ counterclockwise around the origin;

$R,$ a rotation of $90^\circ$ clockwise around the origin;

$H,$ a reflection across the $x$ -axis; and

$V,$ a reflection across the $y$ -axis.

Each of these transformations maps the square onto itself, but the positions of the labeled vertices will change. For example, applying $R$ and then $V$ would send the vertex $A$ at $(1, 1)$ to $(-1, -1)$ and would send the vertex $B$ at $(-1, 1)$ to itself. How many sequences of $20$ transformations chosen from $\{L, R, H, V\}$ will send all of the labeled vertices back to their original positions? (For example, $R,$ $R,$ $V,$ $H$ is one sequence of $4$ transformations that will send the vertices back to their original positions.)

$2^{37}$

$3 \cdot 2^{36}$

$2^{38}$

$3 \cdot 2^{37}$

$2^{39}$

Conceptos:transformación análisis por casos

Nivel de dificultad: 2000

Pista pequeña:

Las primeras $19$ transformaciones pueden ser cualquier cosa; la última queda entonces forzada a ser la inversa única.

The first $19$ transformations can be anything; the last one is then forced to be the unique inverse

Pista grande:

El último movimiento forzado debe ser una de las cuatro transformaciones permitidas; halla la probabilidad de que lo sea.

The forced last move must be one of the four allowed transformations; find the probability that it is

Solución:

Etiquetemos los vértices $0,1,2,3$ cíclicamente. Cada transformación permitida tiene la forma $j\mapsto \varepsilon j+\delta\pmod 4,$ donde $\varepsilon\in\{1,-1\}$ y $\delta\in\{1,-1\}.$ Estas cuatro elecciones dan exactamente los dos giros de un cuarto de vuelta y las dos reflexiones indicadas.

Bajo composición, la paridad de $\delta$ cambia en cada paso. Por tanto, una composición de $19$ transformaciones permitidas vuelve a tener $\delta$ impar y es una de las cuatro transformaciones permitidas. Su inversa también está permitida. En consecuencia, cada sucesión de los primeros $19$ movimientos tiene exactamente una opción para el movimiento final, lo que da $4^{19}=2^{38}$ sucesiones exitosas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Label the vertices $0,1,2,3$ cyclically. Each allowed transformation has the form $j\mapsto \varepsilon j+\delta\pmod 4,$ where $\varepsilon\in\{1,-1\}$ and $\delta\in\{1,-1\}.$ These four choices give exactly the two quarter-turns and the two stated reflections.

Under composition, the parity of $\delta$ changes at every move. Thus a composition of $19$ allowed transformations again has odd $\delta,$ and so is one of the four allowed transformations. Its inverse is also allowed. Consequently every sequence of the first $19$ moves has exactly one choice for the final move, giving $4^{19}=2^{38}$ successful sequences.

Thus, the correct answer is C.

20.

Dos cubos diferentes del mismo tamaño se van a pintar, eligiendo el color de cada cara de forma independiente y al azar entre negro o blanco. ¿Cuál es la probabilidad de que, después de pintarlos, los cubos puedan rotarse para verse idénticos?

Two different cubes of the same size are to be painted, with the color of each face being chosen independently and at random to be either black or white. What is the probability that after they are painted, the cubes can be rotated to be identical in appearance?

$\dfrac{9}{64}$

$\dfrac{289}{2048}$

$\dfrac{73}{512}$

$\dfrac{147}{1024}$

$\dfrac{589}{4096}$

Conceptos:Lema de Burnside análisis por casos

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

La probabilidad es $\dfrac{1}{64^2}\sum_{\mathcal O} |\mathcal O|^2$ , donde la suma recorre las clases de equivalencia por rotación $\mathcal O$ de las coloraciones.

The probability equals $\dfrac{1}{64^2}\sum_{\mathcal O} |\mathcal O|^2$ , where the sum is over rotation-equivalence classes $\mathcal O$ of colorings

Pista grande:

Agrupa las coloraciones según el número de caras negras y halla el tamaño de órbita de cada clase (por ejemplo, dos caras negras: opuestas dan tamaño $3,$ adyacentes dan tamaño $12$ ).

Group colorings by number of black faces and find each class’s orbit size (e.g. two black faces: opposite gives size $3,$ adjacent gives size $12$ )

Solución:

Para un primer cubo fijo, el número de segundos cubos que coinciden con él (salvo rotación) es igual al tamaño de su órbita de rotación. Así que la probabilidad buscada es $\tfrac{1}{64^2}\sum_{\mathcal O} |\mathcal O|^2.$

Agrupando por número de caras negras, los tamaños de órbita son: $0$ o $6$ negras $\to 1;$ $1$ o $5$ negras $\to 6;$ $2$ o $4$ negras $\to 3$ (opuestas) y $12$ (adyacentes); $3$ negras $\to 8$ (vértice) y $12$ (banda). Entonces $\begin{gathered} \sum_{\mathcal O} |\mathcal O|^2 \\ {}= 1 + 36 + (9 + 144) \\ \quad {}+ (64 + 144) + (9 + 144) \\ \quad {}+ 36 + 1 = 588. \end{gathered}$

La probabilidad es $\tfrac{588}{4096} = \tfrac{147}{1024}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

For a fixed first cube, the number of second cubes matching it (up to rotation) equals the size of its rotation orbit. So the desired probability is $\tfrac{1}{64^2}\sum_{\mathcal O} |\mathcal O|^2.$

Grouping by black-face count, the orbit sizes are: $0$ or $6$ black $\to 1;$ $1$ or $5$ black $\to 6;$ $2$ or $4$ black $\to 3$ (opposite) and $12$ (adjacent); $3$ black $\to 8$ (corner) and $12$ (band). Then $\begin{gathered} \sum_{\mathcal O} |\mathcal O|^2 \\ {}= 1 + 36 + (9 + 144) \\ \quad {}+ (64 + 144) + (9 + 144) \\ \quad {}+ 36 + 1 = 588. \end{gathered}$

The probability is $\tfrac{588}{4096} = \tfrac{147}{1024}.$

Thus, the correct answer is D.

21.

¿Cuántos enteros positivos $n$ satisfacen

$\frac{n + 1000}{70} = \lfloor \sqrt{n} \rfloor?$

(Recuerda que $\lfloor x \rfloor$ es el mayor entero que no supera a $x.$ )

How many positive integers $n$ satisfy

$\frac{n + 1000}{70} = \lfloor \sqrt{n} \rfloor?$

(Recall that $\lfloor x \rfloor$ is the greatest integer not exceeding $x.$ )

$2$

$4$

$6$

$30$

$32$

Conceptos:funciones piso y techo sustitución desigualdad

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Sea $k = \lfloor \sqrt{n} \rfloor,$ de modo que $n = 70k - 1000$ debe satisfacer $k^2 \le n \lt (k + 1)^2$ .

Let $k = \lfloor \sqrt{n} \rfloor,$ so $n = 70k - 1000$ must satisfy $k^2 \le n \lt (k + 1)^2$

Pista grande:

Esto da $k^2 - 70k + 1000 \le 0$ y $k^2 - 68k + 1001 \gt 0;$ cuenta los enteros $k$ .

This gives $k^2 - 70k + 1000 \le 0$ and $k^2 - 68k + 1001 \gt 0;$ count integer $k$

Solución:

El lado derecho es un entero, así que sea $k = \lfloor \sqrt{n} \rfloor.$ Entonces $n = 70k - 1000,$ y $k = \lfloor \sqrt{n} \rfloor$ requiere $k^2 \le n \lt (k + 1)^2.$

La cota inferior $k^2 \le 70k - 1000$ da $k^2 - 70k + 1000 \le 0,$ es decir $20 \le k \le 50.$ La cota superior $70k - 1000 \lt (k + 1)^2$ da $k^2 - 68k + 1001 \gt 0,$ es decir $k \le 21$ o $k \ge 47.$

Intersecando, $k \in \{20, 21, 47, 48, 49, 50\},$ lo que da $6$ valores de $n.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The right side is an integer, so let $k = \lfloor \sqrt{n} \rfloor.$ Then $n = 70k - 1000,$ and $k = \lfloor \sqrt{n} \rfloor$ requires $k^2 \le n \lt (k + 1)^2.$

The lower bound $k^2 \le 70k - 1000$ gives $k^2 - 70k + 1000 \le 0,$ i.e. $20 \le k \le 50.$ The upper bound $70k - 1000 \lt (k + 1)^2$ gives $k^2 - 68k + 1001 \gt 0,$ i.e. $k \le 21$ or $k \ge 47.$

Intersecting, $k \in \{20, 21, 47, 48, 49, 50\},$ giving $6$ values of $n.$

Thus, the correct answer is C.

22.

¿Cuál es el valor máximo de

$\frac{(2^t - 3t)\,t}{4^t}$

para valores reales de $t$ ?

What is the maximum value of

$\frac{(2^t - 3t)\,t}{4^t}$

for real values of $t?$

$\dfrac{1}{16}$

$\dfrac{1}{15}$

$\dfrac{1}{12}$

$\dfrac{1}{10}$

$\dfrac19$

Conceptos:sustitución cuadrática optimización

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Sea $u = \dfrac{t}{2^t};$ entonces $\dfrac{t^2}{4^t} = u^2$ .

Let $u = \dfrac{t}{2^t};$ then $\dfrac{t^2}{4^t} = u^2$

Pista grande:

La expresión se convierte en $u - 3u^2,$ una parábola hacia abajo en $u$ .

The expression becomes $u - 3u^2,$ a downward parabola in $u$

Solución:

Separa la fracción: $\dfrac{(2^t - 3t)t}{4^t} = \dfrac{t}{2^t} - \dfrac{3t^2}{4^t}.$ Sea $u = \dfrac{t}{2^t},$ así que $\dfrac{t^2}{4^t} = u^2$ y la expresión es $u - 3u^2.$

Esta parábola tiene su máximo en $u = \tfrac16,$ con valor $\tfrac16 - 3\cdot\tfrac1{36} = \tfrac1{12}.$ Como $u = \tfrac{t}{2^t}$ es continua y alcanza el valor $\tfrac16,$ el máximo se alcanza.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Split the fraction: $\dfrac{(2^t - 3t)t}{4^t} = \dfrac{t}{2^t} - \dfrac{3t^2}{4^t}.$ Let $u = \dfrac{t}{2^t},$ so $\dfrac{t^2}{4^t} = u^2$ and the expression is $u - 3u^2.$

This parabola has maximum at $u = \tfrac16,$ with value $\tfrac16 - 3\cdot\tfrac1{36} = \tfrac1{12}.$ Since $u = \tfrac{t}{2^t}$ is continuous and attains the value $\tfrac16,$ the maximum is achieved.

Thus, the correct answer is C.

23.

¿Cuántos enteros $n \ge 2$ tienen la propiedad de que, siempre que $z_1,$ $z_2,$ $\ldots,$ $z_n$ sean números complejos tales que $|z_1| = |z_2| = \cdots = |z_n| = 1$ y $z_1 + z_2 + \cdots + z_n = 0,$ entonces $z_1,$ $z_2,$ $\ldots,$ $z_n$ están igualmente espaciados en la circunferencia unitaria del plano complejo?

How many integers $n \ge 2$ are there such that whenever $z_1,$ $z_2,$ $\ldots,$ $z_n$ are complex numbers such that $|z_1| = |z_2| = \cdots = |z_n| = 1$ and $z_1 + z_2 + \cdots + z_n = 0,$ then the numbers $z_1,$ $z_2,$ $\ldots,$ $z_n$ are equally spaced on the unit circle in the complex plane?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Conceptos:raíces de la unidad número complejo contraejemplo

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Revisa casos pequeños: $n = 2$ fuerza puntos antipodales y $n = 3$ fuerza un triángulo equilátero.

Check small cases: $n = 2$ forces antipodal points and $n = 3$ forces an equilateral triangle

Pista grande:

Para $n \ge 4,$ construye un contraejemplo combinando una configuración balanceada más pequeña con un par antipodal.

For $n \ge 4,$ build a counterexample by combining a smaller balanced configuration with an antipodal pair

Solución:

Para $n = 2,$ $z_1 + z_2 = 0$ fuerza $z_2 = -z_1,$ que está igualmente espaciado. Para $n = 3,$ tres vectores unitarios que suman cero deben formar un triángulo equilátero, así que están igualmente espaciados.

Para todo entero par $n\ge4,$ elige $\frac{n}{2}$ pares antipodales en ángulos genéricos que no formen un $n$ -gono regular. Para todo entero impar $n\ge5,$ elige los vértices de un triángulo equilátero junto con $\frac{n-3}{2}$ pares antipodales genéricos. Cada construcción tiene suma $0$ pero sus puntos no están igualmente espaciados.

Por lo tanto, solo $n = 2$ y $n = 3$ funcionan, dando $2$ valores.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

For $n = 2,$ $z_1 + z_2 = 0$ forces $z_2 = -z_1,$ which is equally spaced. For $n = 3,$ three unit vectors summing to zero must form an equilateral triangle, so they are equally spaced.

For every even $n\ge4,$ choose $\frac{n}{2}$ antipodal pairs at generic angles that do not form a regular $n$ -gon. For every odd $n\ge5,$ choose the vertices of an equilateral triangle together with $\frac{n-3}{2}$ generic antipodal pairs. Each construction has sum $0$ but is not equally spaced.

Hence only $n = 2$ and $n = 3$ work, giving $2$ values.

Thus, the correct answer is B.

24.

Sea $D(n)$ el número de maneras de escribir el entero positivo $n$ como un producto $n = f_1 \cdot f_2 \cdots f_k,$ donde $k \ge 1,$ los $f_i$ son enteros estrictamente mayores que $1,$ y el orden en que se listan los factores importa (es decir, dos representaciones que difieren solo en el orden de los factores se cuentan como distintas). Por ejemplo, el número $6$ se puede escribir como $6,$ $2 \cdot 3,$ y $3 \cdot 2,$ así que $D(6) = 3.$ ¿Cuánto vale $D(96)$ ?

Let $D(n)$ denote the number of ways of writing the positive integer $n$ as a product $n = f_1 \cdot f_2 \cdots f_k,$ where $k \ge 1,$ the $f_i$ are integers strictly greater than $1,$ and the order in which the factors are listed matters (that is, two representations that differ only in the order of the factors are counted as distinct). For example, the number $6$ can be written as $6,$ $2 \cdot 3,$ and $3 \cdot 2,$ so $D(6) = 3.$ What is $D(96)?$

$112$

$128$

$144$

$172$

$184$

Conceptos:conteo recursivo factor

Nivel de dificultad: 2220

Pista pequeña:

Usa la recursión $D(n) = \sum_{d \mid n,\, d \gt 1} D(\frac{n}{d}),$ con $D(1) = 1$ .

Use the recursion $D(n) = \sum_{d \mid n,\, d \gt 1} D(\frac{n}{d}),$ with $D(1) = 1$

Pista grande:

Como $96 = 2^5 \cdot 3,$ calcula $D$ sucesivamente para los divisores $2,$ $3,$ $4,$ $6,$ $8,$ $12,$ $16,$ $24,$ $32,$ $48,$ $96$ .

Since $96 = 2^5 \cdot 3,$ build up $D$ on the divisors $2,$ $3,$ $4,$ $6,$ $8,$ $12,$ $16,$ $24,$ $32,$ $48,$ $96$

Solución:

El primer factor $f_1$ puede ser cualquier divisor $d \gt 1,$ tras lo cual el resto es una factorización ordenada de $\frac{n}{d}.$ Así que $D(n) = \sum_{d \mid n,\, d \gt 1} D(\frac{n}{d}),$ con $D(1) = 1.$

Calculando sobre los divisores de $96 = 2^5\cdot 3:$ $D(2) = D(3) = 1,$ $D(4) = 2,$ $D(6) = 3,$ $D(8) = 4,$ $D(12) = 8,$ $D(16) = 8,$ $D(24) = 20,$ $D(32) = 16,$ $D(48) = 48.$

Finalmente $\begin{gathered} D(96) = D(48) + D(32) \\ {}+ D(24) + D(16) + D(12) \\ {}+ D(8) + D(6) + D(4) \\ {}+ D(3) + D(2) + D(1) \\ = 48 + 16 + 20 + 8 \\ {}+ 8 + 4 + 3 + 2 \\ {}+ 1 + 1 + 1 = 112. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The first factor $f_1$ can be any divisor $d \gt 1,$ after which the rest is an ordered factorization of $\frac{n}{d}.$ So $D(n) = \sum_{d \mid n,\, d \gt 1} D(\frac{n}{d}),$ with $D(1) = 1.$

Computing over the divisors of $96 = 2^5\cdot 3:$ $D(2) = D(3) = 1,$ $D(4) = 2,$ $D(6) = 3,$ $D(8) = 4,$ $D(12) = 8,$ $D(16) = 8,$ $D(24) = 20,$ $D(32) = 16,$ $D(48) = 48.$

Finally $\begin{gathered} D(96) = D(48) + D(32) \\ {}+ D(24) + D(16) + D(12) \\ {}+ D(8) + D(6) + D(4) \\ {}+ D(3) + D(2) + D(1) \\ = 48 + 16 + 20 + 8 \\ {}+ 8 + 4 + 3 + 2 \\ {}+ 1 + 1 + 1 = 112. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is A.

25.

Para cada número real $a$ con $0 \le a \le 1,$ elige $x$ y $y$ de forma independiente y al azar de los intervalos $[0, a]$ y $[0, 1],$ respectivamente, y sea $P(a)$ la probabilidad de que $\sin^2(\pi x) + \sin^2(\pi y) \gt 1.$ ¿Cuál es el valor máximo de $P(a)$ ?

For each real number $a$ with $0 \le a \le 1,$ let numbers $x$ and $y$ be chosen independently at random from the intervals $[0, a]$ and $[0, 1],$ respectively, and let $P(a)$ be the probability that $\sin^2(\pi x) + \sin^2(\pi y) \gt 1.$ What is the maximum value of $P(a)?$

$\dfrac{7}{12}$

$2 - \sqrt{2}$

$\dfrac{1 + \sqrt{2}}{4}$

$\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}$

$\dfrac58$

Conceptos:probabilidad geométrica optimización cálculo

Nivel de dificultad: 2540

Pista pequeña:

La condición es $|\sin \pi x| \gt |\cos \pi y|;$ fijando $x,$ la probabilidad sobre $y$ es una función triangular simple.

The condition is $|\sin \pi x| \gt |\cos \pi y|;$ for fixed $x,$ the probability over $y$ is a simple triangular function

Pista grande:

Expresa $P(a) = \tfrac1a \int_0^a g(x)\,dx$ donde $g$ primero sube y luego baja, y luego maximiza sobre $a$ .

Express $P(a) = \tfrac1a \int_0^a g(x)\,dx$ where $g$ rises then falls, then maximize over $a$

Solución:

Como $\sin^2(\pi y) = 1 - \cos^2(\pi y),$ la condición es $|\sin \pi x| \gt |\cos \pi y|.$ Fijando $x,$ la probabilidad sobre $y \in [0, 1]$ es $g(x) = 2x$ para $0 \le x \le \tfrac12$ y $g(x) = 2 - 2x$ para $\tfrac12 \le x \le 1.$

Entonces $P(a) = \tfrac1a \int_0^a g(x)\,dx.$ Para $a \le \tfrac12,$ $P(a) = a,$ que crece hasta $\tfrac12.$ Para $a \ge \tfrac12,$ $\begin{gathered} P(a) = \frac{2a - a^2 - \tfrac12}{a} \\ {}= 2 - a - \frac{1}{2a}. \end{gathered}$

Igualando la derivada a cero se obtiene $2a^2 = 1,$ así que $a = \tfrac{1}{\sqrt2},$ y $P\!\left(\tfrac{1}{\sqrt2}\right) = 2 - \sqrt2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since $\sin^2(\pi y) = 1 - \cos^2(\pi y),$ the condition is $|\sin \pi x| \gt |\cos \pi y|.$ For fixed $x,$ the probability over $y \in [0, 1]$ is $g(x) = 2x$ for $0 \le x \le \tfrac12$ and $g(x) = 2 - 2x$ for $\tfrac12 \le x \le 1.$

Then $P(a) = \tfrac1a \int_0^a g(x)\,dx.$ For $a \le \tfrac12,$ $P(a) = a,$ increasing to $\tfrac12.$ For $a \ge \tfrac12,$ $\begin{gathered} P(a) = \frac{2a - a^2 - \tfrac12}{a} \\ {}= 2 - a - \frac{1}{2a}. \end{gathered}$

Setting the derivative to zero gives $2a^2 = 1,$ so $a = \tfrac{1}{\sqrt2},$ and $P\!\left(\tfrac{1}{\sqrt2}\right) = 2 - \sqrt2.$

Thus, the correct answer is B.