Logo para LIVE por Po-Shen Loh

LIVE

Español

2014 AMC 12A Problema 24

Intenta el Problema 24 del 2014 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2014 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

24.

Sea f0(x)=x+∣x−100∣f_0(x)=x+|x-100| −∣x+100∣,-|x+100|, y para n≥1,n\ge1, sea fn(x)=∣fn−1(x)∣−1.f_n(x)=|f_{n-1}(x)|-1. ¿Para cuántos valores de xx se cumple f100(x)=0f_{100}(x)=0?

Let f0(x)=x+∣x−100∣f_0(x)=x+|x-100| −∣x+100∣,-|x+100|, and for n≥1,n\ge1, let fn(x)=∣fn−1(x)∣−1.f_n(x)=|f_{n-1}(x)|-1. For how many values of xx is f100(x)=0?f_{100}(x)=0?

299299

300300

301301

302302

303303

Respuesta: C
Conceptos:valor absolutorecursiónconteo de intersecciones
Nivel de dificultad: 2520
Pista pequeña:

Si f0(x)=±kf_0(x)=\pm k para un entero no negativo k,k, entonces fk(x)=0f_k(x)=0 y después los valores se repiten en ciclo 0,−1,0,−1,…0,-1,0,-1,\ldots

If f0(x)=±kf_0(x)=\pm k for a nonnegative integer k,k, then fk(x)=0f_k(x)=0 and afterward the values cycle 0,−1,0,−1,…0,-1,0,-1,\ldots

Pista grande:

Así que f100(x)=0f_{100}(x)=0 requiere f0(x)=2kf_0(x)=2k con −50≤k≤50-50\le k\le50; grafica f0f_0 y cuenta las intersecciones con cada recta y=2ky=2k.

So f100(x)=0f_{100}(x)=0 needs f0(x)=2kf_0(x)=2k with −50≤k≤50-50\le k\le50; graph f0f_0 and count intersections with each line y=2ky=2k

Solución:

Si fn−1(x)=±k,f_{n-1}(x)=\pm k, entonces fn(x)=k−1.f_n(x)=k-1. Así que si f0(x)=±kf_0(x)=\pm k para un entero no negativo k,k, entonces fk(x)=0,f_k(x)=0, tras lo cual la sucesión alterna 0,−1,0,…0,-1,0,\ldots Por lo tanto f100(x)=0f_{100}(x)=0 exactamente cuando f0(x)=2kf_0(x)=2k para algún entero −50≤k≤50.-50\le k\le50.

Ahora f0(x)=x+∣x−100∣f_0(x)=x+|x-100| −∣x+100∣-|x+100| es igual a x+200x+200 para x<−100,x\lt-100, a −x-x para −100≤x<100,-100\le x\lt100, y a x−200x-200 para x≥100.x\ge100. Su gráfica es lineal por tramos con puntos de inflexión (−100,100)(-100,100) y (100,−100).(100,-100).

Una recta y=2ky=2k corta esta gráfica tres veces para −49≤k≤49-49\le k\le49 y dos veces para k=±50.k=\pm50. El total es 99⋅3+2⋅2=301.99\cdot3+2\cdot2=301.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

If fn−1(x)=±k,f_{n-1}(x)=\pm k, then fn(x)=k−1.f_n(x)=k-1. So if f0(x)=±kf_0(x)=\pm k for a nonnegative integer k,k, then fk(x)=0,f_k(x)=0, after which the sequence alternates 0,−1,0,…0,-1,0,\ldots Thus f100(x)=0f_{100}(x)=0 exactly when f0(x)=2kf_0(x)=2k for some integer −50≤k≤50.-50\le k\le50.

Now f0(x)=x+∣x−100∣f_0(x)=x+|x-100| −∣x+100∣-|x+100| equals x+200x+200 for x<−100,x\lt-100, −x-x for −100≤x<100,-100\le x\lt100, and x−200x-200 for x≥100.x\ge100. Its graph is piecewise linear with turning points (−100,100)(-100,100) and (100,−100).(100,-100).

A line y=2ky=2k meets this graph three times for −49≤k≤49-49\le k\le49 and twice for k=±50.k=\pm50. The total is 99⋅3+2⋅2=301.99\cdot3+2\cdot2=301.

Thus, the correct answer is C.

Problema 23#23
Examen completo
Problema 25#25

El Problema 24 en otros años

1950 AMC 12 · 1951 AMC 12 · 1952 AMC 12 · 1953 AMC 12 · 1954 AMC 12 · 1955 AMC 12 · 1956 AMC 12 · 1957 AMC 12 · 1958 AMC 12 · 1959 AMC 12 · 1960 AMC 12 · 1961 AMC 12 · 1962 AMC 12 · 1963 AMC 12 · 1964 AMC 12 · 1965 AMC 12 · 1966 AMC 12 · 1967 AMC 12 · 1968 AMC 12 · 1969 AMC 12 · 1970 AMC 12 · 1971 AMC 12 · 1972 AMC 12 · 1973 AMC 12 · 1974 AMC 12 · 1975 AMC 12 · 1976 AMC 12 · 1977 AMC 12 · 1978 AMC 12 · 1979 AMC 12 · 1980 AMC 12 · 1981 AMC 12 · 1982 AMC 12 · 1983 AMC 12 · 1984 AMC 12 · 1985 AMC 12 · 1986 AMC 12 · 1987 AMC 12 · 1988 AMC 12 · 1989 AMC 12 · 1990 AMC 12 · 1991 AMC 12 · 1992 AMC 12 · 1993 AMC 12 · 1994 AMC 12 · 1995 AMC 12 · 1996 AMC 12 · 1997 AMC 12 · 1998 AMC 12 · 1999 AMC 12 · 2000 AMC 12 · 2001 AMC 12 · 2002 AMC 12A · 2002 AMC 12B · 2003 AMC 12A · 2003 AMC 12B · 2004 AMC 12A · 2004 AMC 12B · 2005 AMC 12A · 2005 AMC 12B · 2006 AMC 12A · 2006 AMC 12B · 2007 AMC 12A · 2007 AMC 12B · 2008 AMC 12A · 2008 AMC 12B · 2009 AMC 12A · 2009 AMC 12B · 2010 AMC 12A · 2010 AMC 12B · 2011 AMC 12A · 2011 AMC 12B · 2012 AMC 12A · 2012 AMC 12B · 2013 AMC 12A · 2013 AMC 12B · 2014 AMC 12B · 2015 AMC 12A · 2015 AMC 12B · 2016 AMC 12A · 2016 AMC 12B · 2017 AMC 12A · 2017 AMC 12B · 2018 AMC 12A · 2018 AMC 12B · 2019 AMC 12A · 2019 AMC 12B · 2020 AMC 12A · 2020 AMC 12B · 2021 AMC 12A Spring · 2021 AMC 12B Spring · 2021 AMC 12A Fall · 2021 AMC 12B Fall · 2022 AMC 12A · 2022 AMC 12B · 2023 AMC 12A · 2023 AMC 12B · 2024 AMC 12A · 2024 AMC 12B · 2025 AMC 12A · 2025 AMC 12B