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2014 AMC 12A Problema 24

Intenta el Problema 24 del 2014 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2014 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

24.

Sea f0(x)=x+∣x−100∣f_0(x)=x+|x-100| −∣x+100∣,-|x+100|, y para n≥1,n\ge1, sea fn(x)=∣fn−1(x)∣−1.f_n(x)=|f_{n-1}(x)|-1. ¿Para cuántos valores de xx se cumple f100(x)=0f_{100}(x)=0?
Let f0(x)=x+∣x−100∣f_0(x)=x+|x-100| −∣x+100∣,-|x+100|, and for n≥1,n\ge1, let fn(x)=∣fn−1(x)∣−1.f_n(x)=|f_{n-1}(x)|-1. For how many values of xx is f100(x)=0?f_{100}(x)=0?
299299
300300
301301
302302
303303
Respuesta: C
Conceptos:valor absolutorecursiónconteo de intersecciones
Nivel de dificultad: 2520
Pista pequeña:
Si f0(x)=±kf_0(x)=\pm k para un entero no negativo k,k, entonces fk(x)=0f_k(x)=0 y después los valores se repiten en ciclo 0,−1,0,−1,…0,-1,0,-1,\ldots
If f0(x)=±kf_0(x)=\pm k for a nonnegative integer k,k, then fk(x)=0f_k(x)=0 and afterward the values cycle 0,−1,0,−1,…0,-1,0,-1,\ldots
Pista grande:
Así que f100(x)=0f_{100}(x)=0 requiere f0(x)=2kf_0(x)=2k con −50≤k≤50-50\le k\le50; grafica f0f_0 y cuenta las intersecciones con cada recta y=2ky=2k.
So f100(x)=0f_{100}(x)=0 needs f0(x)=2kf_0(x)=2k with −50≤k≤50-50\le k\le50; graph f0f_0 and count intersections with each line y=2ky=2k
Solución:
Si fn−1(x)=±k,f_{n-1}(x)=\pm k, entonces fn(x)=k−1.f_n(x)=k-1. Así que si f0(x)=±kf_0(x)=\pm k para un entero no negativo k,k, entonces fk(x)=0,f_k(x)=0, tras lo cual la sucesión alterna 0,−1,0,…0,-1,0,\ldots Por lo tanto f100(x)=0f_{100}(x)=0 exactamente cuando f0(x)=2kf_0(x)=2k para algún entero −50≤k≤50.-50\le k\le50.
Ahora f0(x)=x+∣x−100∣f_0(x)=x+|x-100| −∣x+100∣-|x+100| es igual a x+200x+200 para x<−100,x\lt-100, a −x-x para −100≤x<100,-100\le x\lt100, y a x−200x-200 para x≥100.x\ge100. Su gráfica es lineal por tramos con puntos de inflexión (−100,100)(-100,100) y (100,−100).(100,-100).
Una recta y=2ky=2k corta esta gráfica tres veces para −49≤k≤49-49\le k\le49 y dos veces para k=±50.k=\pm50. El total es 99⋅3+2⋅2=301.99\cdot3+2\cdot2=301.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
If fn−1(x)=±k,f_{n-1}(x)=\pm k, then fn(x)=k−1.f_n(x)=k-1. So if f0(x)=±kf_0(x)=\pm k for a nonnegative integer k,k, then fk(x)=0,f_k(x)=0, after which the sequence alternates 0,−1,0,…0,-1,0,\ldots Thus f100(x)=0f_{100}(x)=0 exactly when f0(x)=2kf_0(x)=2k for some integer −50≤k≤50.-50\le k\le50.
Now f0(x)=x+∣x−100∣f_0(x)=x+|x-100| −∣x+100∣-|x+100| equals x+200x+200 for x<−100,x\lt-100, −x-x for −100≤x<100,-100\le x\lt100, and x−200x-200 for x≥100.x\ge100. Its graph is piecewise linear with turning points (−100,100)(-100,100) and (100,−100).(100,-100).
A line y=2ky=2k meets this graph three times for −49≤k≤49-49\le k\le49 and twice for k=±50.k=\pm50. The total is 99⋅3+2⋅2=301.99\cdot3+2\cdot2=301.
Thus, the correct answer is C.
Problema 23#23
Examen completo
Problema 25#25

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