Question

Sea $f_0(x)=x+|x-100|$ $-|x+100|,$ y para $n\ge1,$ sea $f_n(x)=|f_{n-1}(x)|-1.$ ¿Para cuántos valores de $x$ se cumple $f_{100}(x)=0$ ?

Let $f_0(x)=x+|x-100|$ $-|x+100|,$ and for $n\ge1,$ let $f_n(x)=|f_{n-1}(x)|-1.$ For how many values of $x$ is $f_{100}(x)=0?$

$299$

$300$

$301$

$302$

$303$

Solución:

Si $f_{n-1}(x)=\pm k,$ entonces $f_n(x)=k-1.$ Así que si $f_0(x)=\pm k$ para un entero no negativo $k,$ entonces $f_k(x)=0,$ tras lo cual la sucesión alterna $0,-1,0,\ldots$ Por lo tanto $f_{100}(x)=0$ exactamente cuando $f_0(x)=2k$ para algún entero $-50\le k\le50.$

Ahora $f_0(x)=x+|x-100|$ $-|x+100|$ es igual a $x+200$ para $x\lt-100,$ a $-x$ para $-100\le x\lt100,$ y a $x-200$ para $x\ge100.$ Su gráfica es lineal por tramos con puntos de inflexión $(-100,100)$ y $(100,-100).$

Una recta $y=2k$ corta esta gráfica tres veces para $-49\le k\le49$ y dos veces para $k=\pm50.$ El total es $99\cdot3+2\cdot2=301.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

If $f_{n-1}(x)=\pm k,$ then $f_n(x)=k-1.$ So if $f_0(x)=\pm k$ for a nonnegative integer $k,$ then $f_k(x)=0,$ after which the sequence alternates $0,-1,0,\ldots$ Thus $f_{100}(x)=0$ exactly when $f_0(x)=2k$ for some integer $-50\le k\le50.$

Now $f_0(x)=x+|x-100|$ $-|x+100|$ equals $x+200$ for $x\lt-100,$ $-x$ for $-100\le x\lt100,$ and $x-200$ for $x\ge100.$ Its graph is piecewise linear with turning points $(-100,100)$ and $(100,-100).$

A line $y=2k$ meets this graph three times for $-49\le k\le49$ and twice for $k=\pm50.$ The total is $99\cdot3+2\cdot2=301.$

Thus, the correct answer is C.

2014 AMC 12A Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años