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Soluciones del 2014 AMC 12A

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Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

1.

¿Cuál es el valor de 10⋅(12+15+110)−1?10 \cdot \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{10}\right)^{-1}?
What is 10⋅(12+15+110)−1?10 \cdot \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{10}\right)^{-1}?
33
88
252\dfrac{25}{2}
1703\dfrac{170}{3}
170170
Conceptos:fracciónexponente
Nivel de dificultad: 870
Pista pequeña:
Primero suma las tres fracciones dentro del paréntesis.
Add the three fractions inside the parentheses first
Pista grande:
12+15+110=810\dfrac12+\dfrac15+\dfrac{1}{10}=\dfrac{8}{10}, luego toma el recíproco y multiplica por 1010.
12+15+110=810\dfrac12+\dfrac15+\dfrac{1}{10}=\dfrac{8}{10}, then take the reciprocal and multiply by 1010
Solución:
La suma dentro del paréntesis es 12+15+110=5+2+110=45.\dfrac12+\dfrac15+\dfrac{1}{10}=\dfrac{5+2+1}{10}=\dfrac{4}{5}.
Su recíproco es 54,\dfrac54, así que la expresión es igual a 10⋅54=252.10\cdot\dfrac54=\dfrac{25}{2}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
The sum inside the parentheses is 12+15+110=5+2+110=45.\dfrac12+\dfrac15+\dfrac{1}{10}=\dfrac{5+2+1}{10}=\dfrac{4}{5}.
Its reciprocal is 54,\dfrac54, so the expression equals 10⋅54=252.10\cdot\dfrac54=\dfrac{25}{2}.
Thus, the correct answer is C.

2.

En el teatro los niños entran a mitad de precio. El precio de 55 entradas de adulto y 44 entradas de niño es $24.50.\$24.50. ¿Cuánto costarían 88 entradas de adulto y 66 entradas de niño?
At the theater children get in for half price. The price for 55 adult tickets and 44 child tickets is $24.50.\$24.50. How much would 88 adult tickets and 66 child tickets cost?
$35\$35
$38.50\$38.50
$40\$40
$42\$42
$42.50\$42.50
Conceptos:razón y proporción
Nivel de dificultad: 1020
Pista pequeña:
Una entrada de niño cuesta la mitad de una de adulto, así que mide todo en entradas de adulto.
A child ticket costs half an adult ticket, so measure everything in adult tickets
Pista grande:
5+12⋅4=75+\tfrac12\cdot4=7 entradas de adulto cuestan $24.50\$24.50; halla el costo de 8+12⋅6=118+\tfrac12\cdot6=11 entradas de adulto.
5+12⋅4=75+\tfrac12\cdot4=7 adult tickets cost $24.50\$24.50; find the cost of 8+12⋅6=118+\tfrac12\cdot6=11 adult tickets
Solución:
Como una entrada de niño es la mitad de una de adulto, 55 entradas de adulto y 44 de niño equivalen a 5+12⋅4=75+\tfrac12\cdot4=7 entradas de adulto, así que una entrada de adulto cuesta 24.507=$3.50.\dfrac{24.50}{7}=\$3.50.
La segunda compra equivale a 8+12⋅6=118+\tfrac12\cdot6=11 entradas de adulto, con un costo de 11⋅3.50=$38.50.11\cdot 3.50=\$38.50.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Since a child ticket is half an adult ticket, 55 adult and 44 child tickets equal 5+12⋅4=75+\tfrac12\cdot4=7 adult tickets, so one adult ticket costs 24.507=$3.50.\dfrac{24.50}{7}=\$3.50.
The second purchase equals 8+12⋅6=118+\tfrac12\cdot6=11 adult tickets, costing 11⋅3.50=$38.50.11\cdot 3.50=\$38.50.
Thus, the correct answer is B.

3.

Caminando por Jane Street, Ralph pasó por cuatro casas seguidas, cada una pintada de un color distinto. Pasó por la casa naranja antes que por la roja, y pasó por la casa azul antes que por la amarilla. La casa azul no estaba junto a la amarilla. ¿Cuántos ordenamientos de las casas de colores son posibles?
Walking down Jane Street, Ralph passed four houses in a row, each painted a different color. He passed the orange house before the red house, and he passed the blue house before the yellow house. The blue house was not next to the yellow house. How many orderings of the colored houses are possible?
22
33
44
55
66
Conceptos:arreglos con restriccionesanálisis por casos
Nivel de dificultad: 1200
Pista pequeña:
Divide en casos según si la casa naranja o la azul aparece primero.
Split into cases by whether the orange house or the blue house comes first
Pista grande:
Como la azul y la amarilla no pueden ser adyacentes, al menos una casa debe separarlas.
Because blue and yellow cannot be adjacent, at least one house must separate them
Solución:
Si la naranja aparece primero, entonces la azul y la amarilla no pueden ser adyacentes, lo que obliga al orden naranja, azul, roja, amarilla.
Si la azul aparece primero, la amarilla puede ocupar la tercera o la cuarta posición (nunca la segunda, para evitar la adyacencia), lo que da azul, naranja, amarilla, roja y azul, naranja, roja, amarilla.
Estos son los únicos 33 ordenamientos válidos.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
If orange comes first, then blue and yellow cannot be adjacent, forcing the order orange, blue, red, yellow.
If blue comes first, yellow can be in the third or fourth position (never second, to avoid adjacency), giving blue, orange, yellow, red and blue, orange, red, yellow.
These are the only 33 valid orderings.
Thus, the correct answer is B.

4.

Supongamos que aa vacas dan bb galones de leche en cc días. A este ritmo, ¿cuántos galones de leche darán dd vacas en ee días?
Suppose that aa cows give bb gallons of milk in cc days. At this rate, how many gallons of milk will dd cows give in ee days?
bdeac\dfrac{bde}{ac}
acbde\dfrac{ac}{bde}
abdec\dfrac{abde}{c}
bcdea\dfrac{bcde}{a}
abcde\dfrac{abc}{de}
Conceptos:tasarazón y proporción
Nivel de dificultad: 1200
Pista pequeña:
Halla cuánta leche da una vaca en un día.
Find how much milk one cow gives in one day
Pista grande:
Una vaca da bac\dfrac{b}{ac} galones por día; escala por dd vacas y ee días.
One cow gives bac\dfrac{b}{ac} gallons per day; scale by dd cows and ee days
Solución:
El ritmo es bac\dfrac{b}{ac} galones por vaca por día.
Así que dd vacas en ee días producen bac⋅d⋅e=bdeac\dfrac{b}{ac}\cdot d\cdot e=\dfrac{bde}{ac} galones.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
The rate is bac\dfrac{b}{ac} gallons per cow per day.
So dd cows over ee days produce bac⋅d⋅e=bdeac\dfrac{b}{ac}\cdot d\cdot e=\dfrac{bde}{ac} gallons.
Thus, the correct answer is A.

5.

En una prueba de álgebra, el 10%10\% de los estudiantes obtuvo 7070 puntos, el 35%35\% obtuvo 8080 puntos, el 30%30\% obtuvo 9090 puntos y el resto obtuvo 100100 puntos. ¿Cuál es la diferencia entre la media y la mediana de las puntuaciones de los estudiantes en esta prueba?
On an algebra quiz, 10%10\% of the students scored 7070 points, 35%35\% scored 8080 points, 30%30\% scored 9090 points, and the rest scored 100100 points. What is the difference between the mean and the median of the students’ scores on this quiz?
11
22
33
44
55
Conceptos:mediamediana (datos)porcentaje
Nivel de dificultad: 1270
Pista pequeña:
La mediana es la puntuación del estudiante del medio después de ordenar a todos.
The median is the score of the middle student after ordering everyone
Pista grande:
Calcula la media ponderada 0.10(70)+0.35(80)0.10(70)+0.35(80) +0.30(90)+0.25(100)+0.30(90)+0.25(100) y compárala con la mediana.
Compute the weighted mean 0.10(70)+0.35(80)0.10(70)+0.35(80) +0.30(90)+0.25(100)+0.30(90)+0.25(100) and compare it to the median
Solución:
El 25%25\% restante obtuvo 100.100. Como el 45%45\% obtuvo a lo sumo 8080 y el 75%75\% obtuvo a lo sumo 90,90, la mediana es 90.90.
La media es 0.10(70)+0.35(80)+0.30(90)+0.25(100)=7+28+27+25=87. \begin{aligned} &0.10(70)+0.35(80)\\ &\quad{}+0.30(90)+0.25(100)\\ &\quad{}=7+28+27+25=87. \end{aligned}
La diferencia es 90−87=3.90-87=3.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
The remaining 25%25\% scored 100.100. Since 45%45\% scored at most 8080 and 75%75\% scored at most 90,90, the median is 90.90.
The mean is 0.10(70)+0.35(80)+0.30(90)+0.25(100)=7+28+27+25=87. \begin{aligned} &0.10(70)+0.35(80)\\ &\quad{}+0.30(90)+0.25(100)\\ &\quad{}=7+28+27+25=87. \end{aligned}
The difference is 90−87=3.90-87=3.
Thus, the correct answer is C.

6.

La diferencia entre un número de dos dígitos y el número que se obtiene al invertir sus dígitos es 55 veces la suma de los dígitos de cualquiera de los dos números. ¿Cuál es la suma del número de dos dígitos y su inverso?
The difference between a two-digit number and the number obtained by reversing its digits is 55 times the sum of the digits of either number. What is the sum of the two-digit number and its reverse?
4444
5555
7777
9999
110110
Conceptos:valor posicionaldígitos
Nivel de dificultad: 1270
Pista pequeña:
Escribe el número como 10a+b10a+b y su inverso como 10b+a10b+a.
Write the number as 10a+b10a+b and its reverse as 10b+a10b+a
Pista grande:
La diferencia es 9(a−b)9(a-b), e igualarla a 5(a+b)5(a+b) da 2a=7b2a=7b.
The difference is 9(a−b)9(a-b), and setting it equal to 5(a+b)5(a+b) gives 2a=7b2a=7b
Solución:
Sea 10a+b.10a+b. el número mayor. Entonces, (10a+b)−(10b+a)=9(a−b)=5(a+b), \begin{aligned} &(10a+b)-(10b+a)=9(a-b)\\ &\quad{}=5(a+b), \end{aligned} lo cual se simplifica a 2a=7b.2a=7b.
Los únicos dígitos no nulos que satisfacen esta ecuación son a=7a=7 y b=2,b=2, así que el número es 7272 y su reverso es 27.27.
La suma es 72+27=99.72+27=99.
Así, la respuesta correcta es D.
Let the larger number be 10a+b.10a+b. Then (10a+b)−(10b+a)=9(a−b)=5(a+b), \begin{aligned} &(10a+b)-(10b+a)=9(a-b)\\ &\quad{}=5(a+b), \end{aligned} which simplifies to 2a=7b.2a=7b.
The only nonzero digits satisfying this are a=7a=7 and b=2,b=2, so the number is 7272 and its reverse is 27.27.
Their sum is 72+27=99.72+27=99.
Thus, the correct answer is D.

7.

Los primeros tres términos de una progresión geométrica son 3,\sqrt{3}, 33,\sqrt[3]{3}, y 36.\sqrt[6]{3}. ¿Cuál es el cuarto término?
The first three terms of a geometric progression are 3,\sqrt{3}, 33,\sqrt[3]{3}, and 36.\sqrt[6]{3}. What is the fourth term?
11
37\sqrt[7]{3}
38\sqrt[8]{3}
39\sqrt[9]{3}
310\sqrt[10]{3}
Conceptos:sucesión geométricaexponente
Nivel de dificultad: 1340
Pista pequeña:
Reescribe cada término como una potencia de 33: 312,3^{\frac{1}{2}}, 313,3^{\frac{1}{3}}, 3163^{\frac{1}{6}}.
Rewrite each term as a power of 33: 312,3^{\frac{1}{2}}, 313,3^{\frac{1}{3}}, 3163^{\frac{1}{6}}
Pista grande:
La razón común es 313−12=3−163^{\frac{1}{3}-\frac{1}{2}}=3^{-\frac{1}{6}}; multiplica el tercer término por ella.
The common ratio is 313−12=3−163^{\frac{1}{3}-\frac{1}{2}}=3^{-\frac{1}{6}}; multiply the third term by it
Solución:
Escribiendo los términos como potencias de 3,3, son 312,3^{\frac{1}{2}}, 313,3^{\frac{1}{3}}, 316.3^{\frac{1}{6}}. La razón común es 313312=3−16.\dfrac{3^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{1}{2}}}=3^{-\frac{1}{6}}.
El cuarto término es 316⋅3−16=30=1.3^{\frac{1}{6}}\cdot3^{-\frac{1}{6}}=3^{0}=1.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
Writing the terms as powers of 3,3, they are 312,3^{\frac{1}{2}}, 313,3^{\frac{1}{3}}, 316.3^{\frac{1}{6}}. The common ratio is 313312=3−16.\dfrac{3^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{1}{2}}}=3^{-\frac{1}{6}}.
The fourth term is 316⋅3−16=30=1.3^{\frac{1}{6}}\cdot3^{-\frac{1}{6}}=3^{0}=1.
Thus, the correct answer is A.

8.

Un cliente que piensa comprar un electrodoméstico tiene tres cupones, de los cuales solo puede usar uno:
Cupón 1:1: 10%10\% de descuento sobre el precio de lista si el precio de lista es de al menos $50\$50.
Cupón 2:2: $20\$20 de descuento sobre el precio de lista si el precio de lista es de al menos $100\$100.
Cupón 3:3: 18%18\% de descuento sobre la cantidad en que el precio de lista supera los $100\$100.
¿Para cuál de los siguientes precios de lista ofrecerá el cupón 11 una reducción de precio mayor que la del cupón 22 o la del cupón 33?
A customer who intends to purchase an appliance has three coupons, only one of which may be used:
Coupon 1:1: 10%10\% off the listed price if the listed price is at least $50\$50
Coupon 2:2: $20\$20 off the listed price if the listed price is at least $100\$100
Coupon 3:3: 18%18\% off the amount by which the listed price exceeds $100\$100
For which of the following listed prices will coupon 11 offer a greater price reduction than either coupon 22 or coupon 3?3?
$179.95\$179.95
$199.95\$199.95
$219.95\$219.95
$239.95\$239.95
$259.95\$259.95
Conceptos:desigualdadporcentaje
Nivel de dificultad: 1440
Pista pequeña:
Sea PP el precio de lista y escribe la reducción de cada cupón como una expresión en PP.
Let PP be the listed price and write each coupon’s reduction as an expression in PP
Pista grande:
El cupón 11 supera al cupón 22 cuando P>200P\gt200 y supera al cupón 33 cuando P<225P\lt225.
Coupon 11 beats coupon 22 when P>200P\gt200 and beats coupon 33 when P<225P\lt225
Solución:
Para un precio P>100,P\gt100, las reducciones son P10,\dfrac{P}{10}, 20,20, y 18100(P−100).\dfrac{18}{100}(P-100).
El cupón 11 supera al cupón 22 cuando P10>20,\dfrac{P}{10}\gt20, es decir P>200.P\gt200. El cupón 11 supera al cupón 33 cuando P10>18100(P−100),\dfrac{P}{10}\gt\dfrac{18}{100}(P-100), es decir P<225.P\lt225.
El único precio de lista en (200,225)(200,225) es $219.95.\$219.95.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
For a price P>100,P\gt100, the reductions are P10,\dfrac{P}{10}, 20,20, and 18100(P−100).\dfrac{18}{100}(P-100).
Coupon 11 beats coupon 22 when P10>20,\dfrac{P}{10}\gt20, that is P>200.P\gt200. Coupon 11 beats coupon 33 when P10>18100(P−100),\dfrac{P}{10}\gt\dfrac{18}{100}(P-100), that is P<225.P\lt225.
The only listed price in (200,225)(200,225) is $219.95.\$219.95.
Thus, the correct answer is C.

9.

Cinco enteros positivos consecutivos que comienzan con aa tienen promedio b.b. ¿Cuál es el promedio de 55 enteros consecutivos que comienzan con bb?
Five positive consecutive integers starting with aa have average b.b. What is the average of 55 consecutive integers that start with b?b?
a+3a+3
a+4a+4
a+5a+5
a+6a+6
a+7a+7
Conceptos:mediasucesión aritmética
Nivel de dificultad: 1270
Pista pequeña:
El promedio de enteros consecutivos es el del medio.
The average of consecutive integers is the middle one
Pista grande:
Del primer conjunto b=a+2b=a+2, y el nuevo promedio es b+2b+2.
From the first set b=a+2b=a+2, and the new average is b+2b+2
Solución:
Los enteros a,a+1,a+2,a+3,a+4a,a+1,a+2,a+3,a+4 tienen promedio a+2,a+2, así que b=a+2.b=a+2.
Los enteros que comienzan en bb tienen promedio b+2=(a+2)+2=a+4.b+2=(a+2)+2=a+4.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
The integers a,a+1,a+2,a+3,a+4a,a+1,a+2,a+3,a+4 have average a+2,a+2, so b=a+2.b=a+2.
The integers starting at bb have average b+2=(a+2)+2=a+4.b+2=(a+2)+2=a+4.
Thus, the correct answer is B.

10.

Se construyen tres triángulos isósceles congruentes con sus bases sobre los lados de un triángulo equilátero de lado 1.1. La suma de las áreas de los tres triángulos isósceles es igual al área del triángulo equilátero. ¿Cuál es la longitud de uno de los dos lados congruentes de uno de los triángulos isósceles?
Three congruent isosceles triangles are constructed with their bases on the sides of an equilateral triangle of side length 1.1. The sum of the areas of the three isosceles triangles is the same as the area of the equilateral triangle. What is the length of one of the two congruent sides of one of the isosceles triangles?
34\dfrac{\sqrt3}{4}
33\dfrac{\sqrt3}{3}
23\dfrac{2}{3}
22\dfrac{\sqrt2}{2}
32\dfrac{\sqrt3}{2}
Conceptos:triángulo equiláteroárea del triánguloTeorema de Pitágoras
Nivel de dificultad: 1560
Pista pequeña:
Cada triángulo isósceles tiene base 11; sea hh su altura.
Each isosceles triangle has base 11; let its height be hh
Pista grande:
Tres triángulos de área 12h\tfrac12 h suman 34\tfrac{\sqrt3}{4}; despeja hh, luego usa el teorema de Pitágoras.
Three triangles of area 12h\tfrac12 h sum to 34\tfrac{\sqrt3}{4}; solve for hh, then use the Pythagorean theorem
Solución:
El triángulo equilátero tiene área 34.\dfrac{\sqrt3}{4}. Cada triángulo isósceles tiene base 11 y altura h,h, así que 3⋅12h=34,3\cdot\dfrac12 h=\dfrac{\sqrt3}{4}, lo que da h=36.h=\dfrac{\sqrt3}{6}.
Un lado congruente es la hipotenusa desde el vértice superior hasta un extremo de la base, cuya longitud es (12)2+(36)2=14+112=13=33. \begin{gathered} \sqrt{\left(\dfrac12\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt3}{6}\right)^2}\\ =\sqrt{\dfrac14+\dfrac{1}{12}}\\ =\sqrt{\dfrac13}=\dfrac{\sqrt3}{3}. \end{gathered}
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
The equilateral triangle has area 34.\dfrac{\sqrt3}{4}. Each isosceles triangle has base 11 and height h,h, so 3⋅12h=34,3\cdot\dfrac12 h=\dfrac{\sqrt3}{4}, giving h=36.h=\dfrac{\sqrt3}{6}.
A congruent side is the hypotenuse from the apex to a base endpoint: (12)2+(36)2=14+112=13=33. \begin{gathered} \sqrt{\left(\dfrac12\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt3}{6}\right)^2}\\ =\sqrt{\dfrac14+\dfrac{1}{12}}\\ =\sqrt{\dfrac13}=\dfrac{\sqrt3}{3}. \end{gathered}
Thus, the correct answer is B.

11.

David conduce desde su casa hasta el aeropuerto para tomar un vuelo. Conduce 3535 millas en la primera hora, pero se da cuenta de que llegará 11 hora tarde si continúa a esta velocidad. Aumenta su velocidad en 1515 millas por hora durante el resto del camino al aeropuerto y llega 3030 minutos antes. ¿A cuántas millas está el aeropuerto de su casa?
David drives from his home to the airport to catch a flight. He drives 3535 miles in the first hour, but realizes that he will be 11 hour late if he continues at this speed. He increases his speed by 1515 miles per hour for the rest of the way to the airport and arrives 3030 minutes early. How many miles is the airport from his home?
140140
175175
210210
245245
280280
Conceptos:distancia, velocidad y tiemposistema de ecuaciones
Nivel de dificultad: 1440
Pista pequeña:
Sea tt el tiempo que aún falta después de la primera hora, y escribe la distancia restante de dos maneras.
Let tt be the time still needed after the first hour, and write the remaining distance two ways
Pista grande:
La distancia sobrante dd satisface d=35(t+1)d=35(t+1) y d=50(t−12)d=50\left(t-\tfrac12\right).
The leftover distance dd satisfies d=35(t+1)d=35(t+1) and d=50(t−12)d=50\left(t-\tfrac12\right)
Solución:
Sea dd la distancia restante después de una hora y tt el tiempo que falta hasta el vuelo. A 3535 mph llegaría una hora tarde, así que d=35(t+1).d=35(t+1). A 5050 mph llega media hora antes, así que d=50(t−12).d=50\left(t-\tfrac12\right).
Igualando ambas se obtiene 35t+35=50t−25,35t+35=50t-25, así que t=4t=4 y d=175.d=175.
La distancia total es 175+35=210175+35=210 millas.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Let dd be the remaining distance after one hour and tt the remaining time until the flight. At 3535 mph he would be an hour late, so d=35(t+1).d=35(t+1). At 5050 mph he is half an hour early, so d=50(t−12).d=50\left(t-\tfrac12\right).
Setting these equal gives 35t+35=50t−25,35t+35=50t-25, so t=4t=4 and d=175.d=175.
The total distance is 175+35=210175+35=210 miles.
Thus, the correct answer is C.

12.

Dos círculos se intersecan en los puntos AA y B.B. Los arcos menores ABAB miden 30∘30^\circ en un círculo y 60∘60^\circ en el otro círculo. ¿Cuál es la razón entre el área del círculo mayor y el área del círculo menor?
Two circles intersect at points AA and B.B. The minor arcs ABAB measure 30∘30^\circ on one circle and 60∘60^\circ on the other circle. What is the ratio of the area of the larger circle to the area of the smaller circle?
22
1+31+\sqrt3
33
2+32+\sqrt3
44
Conceptos:cuerdatrigonometríarazón de áreas
Nivel de dificultad: 1630
Pista pequeña:
La cuerda común ABAB es igual a 2Rsin⁡15∘2R\sin15^\circ en un círculo y a 2rsin⁡30∘2r\sin30^\circ en el otro.
The common chord ABAB equals 2Rsin⁡15∘2R\sin15^\circ in one circle and 2rsin⁡30∘2r\sin30^\circ in the other
Pista grande:
La razón de áreas es (Rr)2=14sin⁡215∘\left(\dfrac{R}{r}\right)^2=\dfrac{1}{4\sin^2 15^\circ}, y 4sin⁡215∘=2−34\sin^2 15^\circ=2-\sqrt3.
The area ratio is (Rr)2=14sin⁡215∘\left(\dfrac{R}{r}\right)^2=\dfrac{1}{4\sin^2 15^\circ}, and 4sin⁡215∘=2−34\sin^2 15^\circ=2-\sqrt3
Solución:
Sean los círculos de radios RR (con el arco de 30∘30^\circ) y rr (con el arco de 60∘60^\circ). La cuerda común tiene longitud 2Rsin⁡15∘=2rsin⁡30∘,2R\sin15^\circ=2r\sin30^\circ, así que Rr=sin⁡30∘sin⁡15∘.\dfrac{R}{r}=\dfrac{\sin30^\circ}{\sin15^\circ}.
El ángulo central menor corresponde al radio mayor, así que R>r.R\gt r. La razón de áreas es (Rr)2=14sin⁡215∘=12(1−cos⁡30∘)=12−3=2+3. \begin{gathered} \left(\dfrac{R}{r}\right)^2\\ =\dfrac{1}{4\sin^2 15^\circ}\\ =\dfrac{1}{2(1-\cos30^\circ)}\\ =\dfrac{1}{2-\sqrt3}=2+\sqrt3. \end{gathered}
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Let the circles have radii RR (with the 30∘30^\circ arc) and rr (with the 60∘60^\circ arc). The common chord has length 2Rsin⁡15∘=2rsin⁡30∘,2R\sin15^\circ=2r\sin30^\circ, so Rr=sin⁡30∘sin⁡15∘.\dfrac{R}{r}=\dfrac{\sin30^\circ}{\sin15^\circ}.
The smaller central angle gives the larger radius, so R>r.R\gt r. The area ratio is (Rr)2=14sin⁡215∘=12(1−cos⁡30∘)=12−3=2+3. \begin{gathered} \left(\dfrac{R}{r}\right)^2\\ =\dfrac{1}{4\sin^2 15^\circ}\\ =\dfrac{1}{2(1-\cos30^\circ)}\\ =\dfrac{1}{2-\sqrt3}=2+\sqrt3. \end{gathered}
Thus, the correct answer is D.

13.

Una elegante posada tipo bed and breakfast tiene 55 habitaciones, cada una con una decoración distintiva codificada por colores. Un día llegan 55 amigos a pasar la noche. Esa noche no hay otros huéspedes. Los amigos pueden alojarse en cualquier combinación que deseen, pero con no más de 22 amigos por habitación. ¿De cuántas maneras puede el posadero asignar a los huéspedes a las habitaciones?
A fancy bed and breakfast inn has 55 rooms, each with a distinctive color-coded decor. One day 55 friends arrive to spend the night. There are no other guests that night. The friends can room in any combination they wish, but with no more than 22 friends per room. In how many ways can the innkeeper assign the guests to the rooms?
21002100
22202220
30003000
31203120
31253125
Conceptos:análisis por casoscombinacionesprincipio de multiplicación
Nivel de dificultad: 1660
Pista pequeña:
Divide en casos según las ocupaciones de las habitaciones: todos solos, una pareja o dos parejas.
Split into cases by the room occupancies: all singles, one pair, or two pairs
Pista grande:
Cuenta cada caso como (maneras de formar los grupos) por (maneras de colocar los grupos en habitaciones distintas).
Count each case as (ways to form the groups) times (ways to place the groups into distinct rooms)
Solución:
Todos solos: asigna 55 amigos a 55 habitaciones de 5!=1205!=120 maneras.
Una pareja: elige la pareja de (52)=10\binom52=10 maneras, luego coloca los 44 grupos en las habitaciones de 5⋅4⋅3⋅2=1205\cdot4\cdot3\cdot2=120 maneras, lo que da 10⋅120=1200.10\cdot120=1200.
Dos parejas: elige al amigo que va solo de 55 maneras y divide al resto en dos parejas de 33 maneras (1515 agrupaciones), luego coloca los 33 grupos en las habitaciones de 5⋅4⋅3=605\cdot4\cdot3=60 maneras, lo que da 15⋅60=900.15\cdot60=900.
El total es 120+1200+900=2220.120+1200+900=2220.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
All singles: assign 55 friends to 55 rooms in 5!=1205!=120 ways.
One pair: choose the pair in (52)=10\binom52=10 ways, then place the 44 groups into rooms in 5⋅4⋅3⋅2=1205\cdot4\cdot3\cdot2=120 ways, giving 10⋅120=1200.10\cdot120=1200.
Two pairs: choose the solo friend in 55 ways and split the rest into two pairs in 33 ways (1515 groupings), then place the 33 groups into rooms in 5⋅4⋅3=605\cdot4\cdot3=60 ways, giving 15⋅60=900.15\cdot60=900.
The total is 120+1200+900=2220.120+1200+900=2220.
Thus, the correct answer is B.

14.

Sean a<b<ca\lt b\lt c tres enteros tales que a,a, b,b, cc es una progresión aritmética y a,a, c,c, bb es una progresión geométrica. ¿Cuál es el menor valor posible de cc?
Let a<b<ca\lt b\lt c be three integers such that a,a, b,b, cc is an arithmetic progression and a,a, c,c, bb is a geometric progression. What is the smallest possible value for c?c?
−2-2
11
22
44
66
Conceptos:sucesión aritméticasucesión geométricaEcuación diofántica
Nivel de dificultad: 1630
Pista pequeña:
Sea dd la diferencia común: b=a+db=a+d y c=a+2dc=a+2d.
Let the common difference be dd: b=a+db=a+d and c=a+2dc=a+2d
Pista grande:
Como a,c,ba,c,b es geométrica, c2=abc^2=ab; esto se simplifica a 3a+4d=03a+4d=0.
Since a,c,ba,c,b is geometric, c2=abc^2=ab; this simplifies to 3a+4d=03a+4d=0
Solución:
Sea d=b−a>0d=b-a\gt0, así que b=a+db=a+d y c=a+2dc=a+2d. Como a,c,ba,c,b es geométrica, ca=bc  ⟹  (a+2d)2=a(a+d), \begin{gathered} \dfrac{c}{a}=\dfrac{b}{c}\\ \implies(a+2d)^2=a(a+d), \end{gathered} lo que se simplifica a 3ad+4d2=03ad+4d^2=0, así que 3a+4d=03a+4d=0.
Entonces a=−4ka=-4k y d=3kd=3k para un entero positivo kk, lo que da c=a+2d=2kc=a+2d=2k. El menor valor es c=2c=2 (con a=−4a=-4, b=−1b=-1, c=2c=2).
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Let d=b−a>0,d=b-a\gt0, so b=a+db=a+d and c=a+2d.c=a+2d. Since a,c,ba,c,b is geometric, ca=bc  ⟹  (a+2d)2=a(a+d), \begin{gathered} \dfrac{c}{a}=\dfrac{b}{c}\\ \implies(a+2d)^2=a(a+d), \end{gathered} which simplifies to 3ad+4d2=0,3ad+4d^2=0, so 3a+4d=0.3a+4d=0.
Then a=−4ka=-4k and d=3kd=3k for a positive integer k,k, giving c=a+2d=2k.c=a+2d=2k. The smallest value is c=2c=2 (with a=−4,a=-4, b=−1,b=-1, c=2c=2).
Thus, the correct answer is C.

15.

Un palíndromo de cinco dígitos es un entero positivo con dígitos respectivos abcba,abcba, donde aa no es cero. Sea SS la suma de todos los palíndromos de cinco dígitos. ¿Cuál es la suma de los dígitos de SS?
A five-digit palindrome is a positive integer with respective digits abcba,abcba, where aa is not zero. Let SS be the sum of all five-digit palindromes. What is the sum of the digits of S?S?
99
1818
2727
3636
4545
Conceptos:palíndromovalor posicionalsumatoria
Nivel de dificultad: 1660
Pista pequeña:
Un palíndromo abcba‾\overline{abcba} es igual a 10001a+1010b+100c10001a+1010b+100c.
A palindrome abcba‾\overline{abcba} equals 10001a+1010b+100c10001a+1010b+100c
Pista grande:
Cada aa aparece en 10⋅1010\cdot10 palíndromos, cada bb en 9⋅109\cdot10, cada cc en 9⋅109\cdot10; combínalo con la suma de dígitos 4545.
Each aa appears in 10⋅1010\cdot10 palindromes, each bb in 9⋅109\cdot10, each cc in 9⋅109\cdot10; combine with the digit sum 4545
Solución:
Escribe abcba‾=10001a+1010b+100c.\overline{abcba}=10001a+1010b+100c. Al sumar sobre todos los palíndromos, cada valor de a∈{1,…,9}a\in\{1,\dots,9\} ocurre con 10⋅10=10010\cdot10=100 opciones de b,c,b,c, y cada valor de bb o cc ocurre con 9⋅10=909\cdot10=90 opciones de los otros dos dígitos.
Usando ∑a=∑b=∑c=45,\sum a=\sum b=\sum c=45, S=45(10001⋅100+1010⋅90+100⋅90)=45⋅1,100,000=49,500,000. \begin{gathered} \scriptsize S=45\big(10001\cdot100+1010\cdot90+100\cdot90\big)\\ =45\cdot1{,}100{,}000\\ =49{,}500{,}000. \end{gathered}
La suma de los dígitos de SS es 4+9+5=18.4+9+5=18.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Write abcba‾=10001a+1010b+100c.\overline{abcba}=10001a+1010b+100c. Summing over all palindromes, each value of a∈{1,…,9}a\in\{1,\dots,9\} occurs with 10⋅10=10010\cdot10=100 choices of b,c,b,c, and each value of bb or cc occurs with 9⋅10=909\cdot10=90 choices of the other two digits.
Using ∑a=∑b=∑c=45,\sum a=\sum b=\sum c=45, S=45(10001⋅100+1010⋅90+100⋅90)=45⋅1,100,000=49,500,000. \begin{gathered} \scriptsize S=45\big(10001\cdot100+1010\cdot90+100\cdot90\big)\\ =45\cdot1{,}100{,}000\\ =49{,}500{,}000. \end{gathered}
The sum of the digits of SS is 4+9+5=18.4+9+5=18.
Thus, the correct answer is B.

16.

En el producto (8)(888…8),(8)(888\ldots8), el segundo factor tiene kk dígitos. Ese producto es un entero cuyos dígitos suman 1000.1000. ¿Cuánto vale kk?
The product (8)(888…8),(8)(888\ldots8), where the second factor has kk digits, is an integer whose digits have a sum of 1000.1000. What is k?k?
901901
911911
919919
991991
999999
Conceptos:dígitosreconocimiento de patronescasos pequeños
Nivel de dificultad: 1660
Pista pequeña:
Multiplica casos pequeños: 8⋅8=64,8\cdot8=64, 8⋅88=704,8\cdot88=704, 8⋅888=71048\cdot888=7104.
Multiply small cases: 8⋅8=64,8\cdot8=64, 8⋅88=704,8\cdot88=704, 8⋅888=71048\cdot888=7104
Pista grande:
El producto es 71⋯1⏟k−204,7\underbrace{1\cdots1}_{k-2}04, cuya suma de dígitos es 11+(k−2)11+(k-2).
The product is 71⋯1⏟k−204,7\underbrace{1\cdots1}_{k-2}04, whose digit sum is 11+(k−2)11+(k-2)
Solución:
Al efectuar la multiplicación, 8⋅88…8⏟k=71…1⏟k−204,8\cdot\underbrace{88\ldots8}_{k}=7\underbrace{1\ldots1}_{k-2}04, que tiene k−2k-2 unos.
La suma de dígitos es 7+(k−2)+0+4=k+9.7+(k-2)+0+4=k+9. Al poner k+9=1000k+9=1000 se obtiene k=991.k=991.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
By carrying out the multiplication, 8⋅88…8⏟k=71…1⏟k−204,8\cdot\underbrace{88\ldots8}_{k}=7\underbrace{1\ldots1}_{k-2}04, which has k−2k-2 ones.
The digit sum is 7+(k−2)+0+4=k+9.7+(k-2)+0+4=k+9. Setting k+9=1000k+9=1000 gives k=991.k=991.
Thus, the correct answer is D.

17.

Una caja rectangular de 4×4×h4\times4\times h contiene una esfera de radio 22 y ocho esferas más pequeñas de radio 1.1. Cada una de las esferas pequeñas es tangente a tres caras de la caja, y la esfera mayor es tangente a cada una de las esferas pequeñas. ¿Cuánto vale hh?
A 4×4×h4\times4\times h rectangular box contains a sphere of radius 22 and eight smaller spheres of radius 1.1. The smaller spheres are each tangent to three sides of the box, and the larger sphere is tangent to each of the smaller spheres. What is h?h?
2+272+2\sqrt7
3+253+2\sqrt5
4+274+2\sqrt7
454\sqrt5
474\sqrt7
Conceptos:Geometría 3DesferaTeorema de Pitágoras
Nivel de dificultad: 1800
Pista pequeña:
Los centros de las cuatro esferas pequeñas superiores forman un cuadrado de lado 22, justo debajo del centro de la esfera grande.
The four top small-sphere centers form a square of side 22, directly below the big sphere’s center
Pista grande:
Con una distancia entre centros de 33 (suma de radios) y un desplazamiento horizontal de 2\sqrt2, la separación vertical es 32−22=7\sqrt{3^2-\sqrt2^2}=\sqrt7; luego suma 11 arriba y abajo.
With center distance 33 (sum of radii) and horizontal offset 2\sqrt2, the vertical gap is 32−22=7\sqrt{3^2-\sqrt2^2}=\sqrt7; then add 11 at the top and bottom
Solución:
Coloquemos la caja con una esquina en el origen. Cada esfera pequeña ocupa una esquina y su centro está a 11 unidad de tres caras. Los centros de las cuatro esferas pequeñas superiores forman un cuadrado de lado 2,2, cuyo centro está sobre el eje de la caja; cada vértice de ese cuadrado está a 2\sqrt2 del centro.
El centro de la esfera grande está sobre el eje, a una distancia 2+1=32+1=3 de cada centro pequeño superior. La separación vertical entre ellos es 32−22=7.\sqrt{3^2-\sqrt2^2}=\sqrt7.
El centro grande está a una altura h2\dfrac h2, y los centros pequeños superiores están a una altura h−1,h-1, así que (h−1)−h2=7,(h-1)-\dfrac h2=\sqrt7, de donde h2=1+7\dfrac h2=1+\sqrt7 y h=2+27.h=2+2\sqrt7.
Así, la respuesta correcta es A.
Place the box with a corner at the origin. Each small sphere sits in a corner with center 11 unit from three faces. The four top small-sphere centers form a square of side 2,2, whose center lies on the box axis; a corner of that square is 2\sqrt2 from the center.
The big sphere’s center is on the axis, at distance 2+1=32+1=3 from each top small center. The vertical gap between them is 32−22=7.\sqrt{3^2-\sqrt2^2}=\sqrt7.
The big center is at height h2\dfrac h2 and the top small centers at height h−1,h-1, so (h−1)−h2=7,(h-1)-\dfrac h2=\sqrt7, giving h2=1+7\dfrac h2=1+\sqrt7 and h=2+27.h=2+2\sqrt7.
Thus, the correct answer is A.

18.

El dominio de la función f(x)=log⁡12(log⁡4(log⁡14(log⁡16(log⁡116x))))\tiny f(x)=\log_{\frac{1}{2}}\!\left(\log_4\!\left(\log_{\frac{1}{4}}\!\left(\log_{16}\!\left(\log_{\frac{1}{16}}x\right)\right)\right)\right) es un intervalo de longitud mn\dfrac{m}{n}, donde mm y nn son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale m+nm+n?
The domain of the function f(x)=log⁡12(log⁡4(log⁡14(log⁡16(log⁡116x))))\tiny f(x)=\log_{\frac{1}{2}}\!\left(\log_4\!\left(\log_{\frac{1}{4}}\!\left(\log_{16}\!\left(\log_{\frac{1}{16}}x\right)\right)\right)\right) is an interval of length mn,\dfrac{m}{n}, where mm and nn are relatively prime positive integers. What is m+n?m+n?
1919
3131
271271
319319
511511
Conceptos:logaritmodesigualdad
Nivel de dificultad: 1910
Pista pequeña:
Pela los logaritmos de afuera hacia adentro, exigiendo que cada argumento sea positivo.
Peel the logarithms from the outside in, requiring each argument to be positive
Pista grande:
Recuerda que las bases menores que 11 invierten las desigualdades; traduce cada condición de positividad sucesiva antes de pasar al siguiente logaritmo interior.
Remember that bases below 11 reverse inequalities; translate each successive positivity condition before moving to the next inner logarithm
Solución:
Trabajando desde afuera, ff está definida exactamente cuando log⁡4 ⁣(log⁡14 ⁣(log⁡16 ⁣(log⁡116x)))\log_4\!\left(\log_{\frac{1}{4}}\!\left(\log_{16}\!\left(\log_{\frac{1}{16}}x\right)\right)\right) >0,\gt0, lo que equivale a log⁡14 ⁣(log⁡16 ⁣(log⁡116x))>1.\log_{\frac{1}{4}}\!\left(\log_{16}\!\left(\log_{\frac{1}{16}}x\right)\right)\gt1.
Como la base 14<1,\tfrac14\lt1, esto significa 0<log⁡16 ⁣(log⁡116x)<14,0\lt\log_{16}\!\left(\log_{\frac{1}{16}}x\right)\lt\tfrac14, de donde 1<log⁡116x<1614=2.1\lt\log_{\frac{1}{16}}x\lt16^{\frac{1}{4}}=2.
Como 116<1,\tfrac{1}{16}\lt1, esto se invierte a (116)2<x<(116)1,\left(\tfrac{1}{16}\right)^2\lt x\lt\left(\tfrac{1}{16}\right)^1, es decir 1256<x<116.\tfrac{1}{256}\lt x\lt\tfrac{1}{16}. La longitud es 116−1256=15256,\tfrac{1}{16}-\tfrac{1}{256}=\tfrac{15}{256}, así que m+n=15+256=271.m+n=15+256=271.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Working from the outside, ff is defined exactly when log⁡4 ⁣(log⁡14 ⁣(log⁡16 ⁣(log⁡116x)))\log_4\!\left(\log_{\frac{1}{4}}\!\left(\log_{16}\!\left(\log_{\frac{1}{16}}x\right)\right)\right) >0,\gt0, which is equivalent to log⁡14 ⁣(log⁡16 ⁣(log⁡116x))>1.\log_{\frac{1}{4}}\!\left(\log_{16}\!\left(\log_{\frac{1}{16}}x\right)\right)\gt1.
Since the base 14<1,\tfrac14\lt1, this means 0<log⁡16 ⁣(log⁡116x)<14,0\lt\log_{16}\!\left(\log_{\frac{1}{16}}x\right)\lt\tfrac14, hence 1<log⁡116x<1614=2.1\lt\log_{\frac{1}{16}}x\lt16^{\frac{1}{4}}=2.
As 116<1,\tfrac{1}{16}\lt1, this reverses to (116)2<x<(116)1,\left(\tfrac{1}{16}\right)^2\lt x\lt\left(\tfrac{1}{16}\right)^1, i.e. 1256<x<116.\tfrac{1}{256}\lt x\lt\tfrac{1}{16}. The length is 116−1256=15256,\tfrac{1}{16}-\tfrac{1}{256}=\tfrac{15}{256}, so m+n=15+256=271.m+n=15+256=271.
Thus, the correct answer is C.

19.

Existen exactamente NN números racionales distintos kk tales que ∣k∣<200|k|\lt200, de modo que la ecuación 5x2+kx+12=05x^2+kx+12=0 tiene al menos una solución entera xx. ¿Cuánto vale NN?
There are exactly NN distinct rational numbers kk such that ∣k∣<200|k|\lt200 and 5x2+kx+12=05x^2+kx+12=0 has at least one integer solution for x.x. What is N?N?
66
1212
2424
4848
7878
Conceptos:cuadráticaacotación a casos límite
Nivel de dificultad: 1990
Pista pequeña:
Si xx es una raíz entera, despeja k=−5x2+12xk=-\dfrac{5x^2+12}{x} =−(5x+12x)=-\left(5x+\dfrac{12}{x}\right).
If xx is an integer root, solve for k=−5x2+12xk=-\dfrac{5x^2+12}{x} =−(5x+12x)=-\left(5x+\dfrac{12}{x}\right)
Pista grande:
Exige ∣k∣=5∣x∣+12∣x∣<200|k|=5|x|+\dfrac{12}{|x|}\lt200, y comprueba que los valores de kk resultantes son todos distintos.
Require ∣k∣=5∣x∣+12∣x∣<200|k|=5|x|+\dfrac{12}{|x|}\lt200, and check the resulting values of kk are all distinct
Solución:
Si un entero xx es raíz, entonces k=−(5x+12x),k=-\left(5x+\dfrac{12}{x}\right), así que x≠0.x\ne0. Para x≥2,x\ge2, ∣k∣=5∣x∣+12∣x∣|k|=5|x|+\dfrac{12}{|x|} crece, y ∣x∣=39|x|=39 da ∣k∣≈195.3<200,|k|\approx195.3\lt200, mientras que ∣x∣=40|x|=40 da ∣k∣>200.|k|\gt200.
Así xx recorre ±1,±2,…,±39,\pm1,\pm2,\dots,\pm39, que son 7878 valores. Si dos enteros a≠ba\ne b dieran el mismo k,k, entonces 5a+12a=5b+12b5a+\tfrac{12}{a}=5b+\tfrac{12}{b} obliga a 5ab=12,5ab=12, que no tiene soluciones enteras, así que los 7878 valores de kk son todos distintos.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
If an integer xx is a root, then k=−(5x+12x),k=-\left(5x+\dfrac{12}{x}\right), so x≠0.x\ne0. For x≥2,x\ge2, ∣k∣=5∣x∣+12∣x∣|k|=5|x|+\dfrac{12}{|x|} increases, and ∣x∣=39|x|=39 gives ∣k∣≈195.3<200,|k|\approx195.3\lt200, while ∣x∣=40|x|=40 gives ∣k∣>200.|k|\gt200.
Thus xx ranges over ±1,±2,…,±39,\pm1,\pm2,\dots,\pm39, which is 7878 values. If two integers a≠ba\ne b gave the same k,k, then 5a+12a=5b+12b5a+\tfrac{12}{a}=5b+\tfrac{12}{b} forces 5ab=12,5ab=12, which has no integer solutions, so all 7878 values of kk are distinct.
Thus, the correct answer is E.

20.

En △BAC,\triangle BAC, ∠BAC=40∘,\angle BAC=40^\circ, AB=10,AB=10, y AC=6.AC=6. Los puntos DD y EE están sobre AB‾\overline{AB} y AC‾,\overline{AC}, respectivamente. ¿Cuál es el mínimo valor posible de BE+DE+CDBE+DE+CD?
In △BAC,\triangle BAC, ∠BAC=40∘,\angle BAC=40^\circ, AB=10,AB=10, and AC=6.AC=6. Points DD and EE lie on AB‾\overline{AB} and AC‾,\overline{AC}, respectively. What is the minimum possible value of BE+DE+CD?BE+DE+CD?
63+36\sqrt3+3
272\dfrac{27}{2}
838\sqrt3
1414
33+93\sqrt3+9
Conceptos:reflexión (geometría)ley de los cosenosoptimización
Nivel de dificultad: 2110
Pista pequeña:
Refleja BB sobre la recta ACAC para obtener B′B' y CC sobre la recta ABAB para obtener C′C'
Reflect BB over line ACAC to B′B' and CC over line ABAB to C′C'
Pista grande:
El camino se convierte en B′E+ED+DC′B'E+ED+DC', que se minimiza como el segmento recto B′C′B'C'; usa la ley de cosenos con ∠B′AC′=120∘\angle B'AC'=120^\circ.
The path becomes B′E+ED+DC′B'E+ED+DC', minimized as the straight segment B′C′B'C'; use the Law of Cosines with ∠B′AC′=120∘\angle B'AC'=120^\circ
Solución:
Refleja BB sobre la recta ACAC para obtener B′,B', y refleja CC sobre la recta ABAB para obtener C′.C'. Entonces BE=B′EBE=B'E y CD=C′D,CD=C'D, así que BE+DE+CDBE+DE+CD =B′E+ED+DC′,=B'E+ED+DC', un camino quebrado de B′B' a C′.C'.
Esto se minimiza cuando el camino es el segmento recto B′C′.B'C'. Tenemos AB′=AB=10,AB'=AB=10, AC′=AC=6,AC'=AC=6, y ∠B′AC′=3⋅40∘=120∘.\angle B'AC'=3\cdot40^\circ=120^\circ.
Por la ley de cosenos, B′C′2=102+62−2⋅10⋅6cos⁡120∘=136+60=196, \begin{gathered} B'C'^2=10^2+6^2\\ {}-2\cdot10\cdot6\cos120^\circ\\ =136+60\\ =196, \end{gathered} así que B′C′=14.B'C'=14.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Reflect BB across line ACAC to get B′,B', and reflect CC across line ABAB to get C′.C'. Then BE=B′EBE=B'E and CD=C′D,CD=C'D, so BE+DE+CDBE+DE+CD =B′E+ED+DC′,=B'E+ED+DC', a broken path from B′B' to C′.C'.
This is minimized when the path is the straight segment B′C′.B'C'. We have AB′=AB=10,AB'=AB=10, AC′=AC=6,AC'=AC=6, and ∠B′AC′=3⋅40∘=120∘.\angle B'AC'=3\cdot40^\circ=120^\circ.
By the Law of Cosines, B′C′2=102+62−2⋅10⋅6cos⁡120∘=136+60=196, \begin{gathered} B'C'^2=10^2+6^2\\ {}-2\cdot10\cdot6\cos120^\circ\\ =136+60\\ =196, \end{gathered} so B′C′=14.B'C'=14.
Thus, the correct answer is D.

21.

Para todo número real x,x, sea ⌊x⌋\lfloor x\rfloor el mayor entero que no excede a x,x, y sea f(x)=⌊x⌋(2014 x−⌊x⌋−1).f(x)=\lfloor x\rfloor\left(2014^{\,x-\lfloor x\rfloor}-1\right). El conjunto de todos los números xx tales que 1≤x<20141\le x\lt2014 y f(x)≤1f(x)\le1 es una unión de intervalos disjuntos. ¿Cuál es la suma de las longitudes de esos intervalos?
For every real number x,x, let ⌊x⌋\lfloor x\rfloor denote the greatest integer not exceeding x,x, and let f(x)=⌊x⌋(2014 x−⌊x⌋−1).f(x)=\lfloor x\rfloor\left(2014^{\,x-\lfloor x\rfloor}-1\right). The set of all numbers xx such that 1≤x<20141\le x\lt2014 and f(x)≤1f(x)\le1 is a union of disjoint intervals. What is the sum of the lengths of those intervals?
11
log⁡2015log⁡2014\dfrac{\log2015}{\log2014}
log⁡2014log⁡2013\dfrac{\log2014}{\log2013}
20142013\dfrac{2014}{2013}
2014120142014^{\frac{1}{2014}}
Conceptos:funciones piso y techologaritmotelescópica
Nivel de dificultad: 2170
Pista pequeña:
Escribe x=n+rx=n+r con n=⌊x⌋n=\lfloor x\rfloor y 0≤r<1,0\le r\lt1, así que f(x)=n(2014 r−1)f(x)=n\left(2014^{\,r}-1\right).
Write x=n+rx=n+r with n=⌊x⌋n=\lfloor x\rfloor and 0≤r<1,0\le r\lt1, so f(x)=n(2014 r−1)f(x)=n\left(2014^{\,r}-1\right)
Pista grande:
La condición f(x)≤1f(x)\le1 da 0≤r≤log⁡2014n+1n0\le r\le\log_{2014}\dfrac{n+1}{n}; suma estas longitudes y telescopa.
The condition f(x)≤1f(x)\le1 gives 0≤r≤log⁡2014n+1n0\le r\le\log_{2014}\dfrac{n+1}{n}; sum these lengths and telescope
Solución:
Escribe x=n+rx=n+r con entero nn (1≤n≤20131\le n\le2013) y 0≤r<1.0\le r\lt1. Entonces f(x)=n(2014 r−1),f(x)=n\left(2014^{\,r}-1\right), y f(x)≤1f(x)\le1 se convierte en 2014 r≤1+1n,2014^{\,r}\le1+\dfrac1n, es decir 0≤r≤log⁡2014n+1n.0\le r\le\log_{2014}\dfrac{n+1}{n}.
Cada nn aporta un intervalo de longitud log⁡2014n+1n,\log_{2014}\dfrac{n+1}{n}, así que el total es ∑n=12013log⁡2014n+1n=log⁡2014 ⁣(21⋅32⋯20142013)=log⁡20142014=1. \begin{gathered} \sum_{n=1}^{2013}\log_{2014}\dfrac{n+1}{n}\\ =\log_{2014}\!\left(\dfrac21\cdot\dfrac32\cdots\dfrac{2014}{2013}\right)\\ =\log_{2014}2014=1. \end{gathered}
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
Write x=n+rx=n+r with integer nn (1≤n≤20131\le n\le2013) and 0≤r<1.0\le r\lt1. Then f(x)=n(2014 r−1),f(x)=n\left(2014^{\,r}-1\right), and f(x)≤1f(x)\le1 becomes 2014 r≤1+1n,2014^{\,r}\le1+\dfrac1n, i.e. 0≤r≤log⁡2014n+1n.0\le r\le\log_{2014}\dfrac{n+1}{n}.
Each nn contributes an interval of length log⁡2014n+1n,\log_{2014}\dfrac{n+1}{n}, so the total is ∑n=12013log⁡2014n+1n=log⁡2014 ⁣(21⋅32⋯20142013)=log⁡20142014=1. \begin{gathered} \sum_{n=1}^{2013}\log_{2014}\dfrac{n+1}{n}\\ =\log_{2014}\!\left(\dfrac21\cdot\dfrac32\cdots\dfrac{2014}{2013}\right)\\ =\log_{2014}2014=1. \end{gathered}
Thus, the correct answer is A.

22.

El número 58675^{867} está entre 220132^{2013} y 22014.2^{2014}. ¿Cuántos pares de enteros (m,n)(m,n) hay tales que 1≤m≤20121\le m\le2012 y 5n<2m<2m+2<5n+1?5^n\lt2^m\lt2^{m+2}\lt5^{n+1}?
The number 58675^{867} is between 220132^{2013} and 22014.2^{2014}. How many pairs of integers (m,n)(m,n) are there such that 1≤m≤20121\le m\le2012 and 5n<2m<2m+2<5n+1?5^n\lt2^m\lt2^{m+2}\lt5^{n+1}?
278278
279279
280280
281281
282282
Conceptos:exponentesistema de ecuaciones
Nivel de dificultad: 2270
Pista pequeña:
Entre potencias consecutivas 5n5^n y 5n+15^{n+1} hay dos o tres potencias de 22.
Between consecutive powers 5n5^n and 5n+15^{n+1} there are either two or three powers of 22
Pista grande:
La desigualdad pide tres de esas potencias; si d,td,t cuentan los huecos con dos y con tres potencias, entonces d+t=867d+t=867 y 2d+3t=20132d+3t=2013.
The inequality asks for three such powers; if d,td,t count the two-power and three-power gaps, then d+t=867d+t=867 and 2d+3t=20132d+3t=2013
Solución:
Como 22<5<23,2^2\lt5\lt2^3, cada intervalo (5n,5n+1)(5^n,5^{n+1}) contiene dos o tres potencias de 2.2. La cadena 5n<2m<2m+2<5n+15^n\lt2^m\lt2^{m+2}\lt5^{n+1} se cumple exactamente cuando el intervalo contiene tres potencias consecutivas de 2,2, y entonces hay un único m.m.
Sean dd y tt las cantidades de intervalos (5n,5n+1)(5^n,5^{n+1}) con 0≤n≤8660\le n\le866 que contienen dos y tres potencias de 2,2, respectivamente. Como 22013<5867<220142^{2013}\lt5^{867}\lt2^{2014} hay 20132013 potencias de 22 en total, lo que da d+t=867d+t=867 y 2d+3t=2013.2d+3t=2013.
Resolviendo, t=2013−2⋅867=279.t=2013-2\cdot867=279.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Because 22<5<23,2^2\lt5\lt2^3, each interval (5n,5n+1)(5^n,5^{n+1}) contains either two or three powers of 2.2. The chain 5n<2m<2m+2<5n+15^n\lt2^m\lt2^{m+2}\lt5^{n+1} holds exactly when the interval contains three consecutive powers of 2,2, and then there is a unique such m.m.
Let dd and tt be the numbers of intervals (5n,5n+1)(5^n,5^{n+1}) for 0≤n≤8660\le n\le866 containing two and three powers of 2,2, respectively. Since 22013<5867<220142^{2013}\lt5^{867}\lt2^{2014} there are 20132013 powers of 22 in total, giving d+t=867d+t=867 and 2d+3t=2013.2d+3t=2013.
Solving, t=2013−2⋅867=279.t=2013-2\cdot867=279.
Thus, the correct answer is B.

23.

La fracción 1992=0.bn−1bn−2…b2b1b0‾,\dfrac{1}{99^2}=0.\overline{b_{n-1}b_{n-2}\ldots b_2b_1b_0}, donde nn es la longitud del período de la expansión decimal periódica. ¿Cuál es la suma b0+b1+⋯+bn−1b_0+b_1+\cdots+b_{n-1}?
The fraction 1992=0.bn−1bn−2…b2b1b0‾,\dfrac{1}{99^2}=0.\overline{b_{n-1}b_{n-2}\ldots b_2b_1b_0}, where nn is the length of the period of the repeating decimal expansion. What is the sum b0+b1+⋯+bn−1?b_0+b_1+\cdots+b_{n-1}?
874874
883883
887887
891891
892892
Conceptos:decimal periódicodígitosreconocimiento de patrones
Nivel de dificultad: 2380
Pista pequeña:
Como 1992=19801\dfrac{1}{99^2}=\dfrac{1}{9801}, el bloque periódico satisface 10n−1=9801⋅bn−1…b0‾10^n-1=9801\cdot\overline{b_{n-1}\ldots b_0}.
Since 1992=19801\dfrac{1}{99^2}=\dfrac{1}{9801}, the repeating block satisfies 10n−1=9801⋅bn−1…b0‾10^n-1=9801\cdot\overline{b_{n-1}\ldots b_0}
Pista grande:
Agrupa el decimal periódico en cifras de base 100100 y usa (100−1)−2;(100-1)^{-2}; sigue los acarreos hasta que se repita la primera cifra de base 100100
Group the repeating decimal into base-100100 digits and use (100−1)−2;(100-1)^{-2}; follow the carries until the first base-100100 digit repeats
Solución:
Leyendo el bloque por pares de dígitos (en base 100100), 19801=1992\dfrac{1}{9801}=\dfrac{1}{99^2} se expande como 00,01,02,…,00,01,02,\ldots, pues 1(100−1)2=∑k≥1k⋅100−k.\dfrac{1}{(100-1)^2}=\sum_{k\ge1}k\cdot100^{-k}. Sea aja_j el jj-ésimo dígito en base 100100 del bloque periódico. Al multiplicar el bloque por 99299^2, primero se obtiene a0=99.a_0=99. El acarreo resultante da a1=97,a_1=97, y después ya no hay acarreo, con aj=98−ja_j=98-j sucesivamente para 1≤j≤98.1\le j\le98. El siguiente dígito vuelve a ser 99,99, así que el período es 00,01,02,…,96,97,99,00,01,02,\ldots,96,97,99, omitiendo 9898.
Si aparecieran todos los bloques de 0000 a 9999, la suma de dígitos sería (0+1+⋯+9)⋅20=900.(0+1+\cdots+9)\cdot20=900. Al quitar el 9898 ausente se resta 9+8,9+8, lo que da 900−9−8=883.900-9-8=883.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Reading the block in pairs of digits (base 100100), 19801=1992\dfrac{1}{9801}=\dfrac{1}{99^2} expands as 00,01,02,…,00,01,02,\ldots, since 1(100−1)2=∑k≥1k⋅100−k.\dfrac{1}{(100-1)^2}=\sum_{k\ge1}k\cdot100^{-k}. Let aja_j be the jjth base-100100 digit of the repeating block. Multiplying the block by 99299^2 shows first that a0=99.a_0=99. The resulting carry gives a1=97,a_1=97, after which there is no carry and successively aj=98−ja_j=98-j for 1≤j≤98.1\le j\le98. The next digit is again 99,99, so the period is 00,01,02,…,96,97,99,00,01,02,\ldots,96,97,99, with 9898 omitted.
If the blocks 0000 through 9999 all appeared, the digit sum would be (0+1+⋯+9)⋅20=900.(0+1+\cdots+9)\cdot20=900. Removing the missing 9898 subtracts 9+8,9+8, giving 900−9−8=883.900-9-8=883.
Thus, the correct answer is B.

24.

Sea f0(x)=x+∣x−100∣f_0(x)=x+|x-100| −∣x+100∣,-|x+100|, y para n≥1,n\ge1, sea fn(x)=∣fn−1(x)∣−1.f_n(x)=|f_{n-1}(x)|-1. ¿Para cuántos valores de xx se cumple f100(x)=0f_{100}(x)=0?
Let f0(x)=x+∣x−100∣f_0(x)=x+|x-100| −∣x+100∣,-|x+100|, and for n≥1,n\ge1, let fn(x)=∣fn−1(x)∣−1.f_n(x)=|f_{n-1}(x)|-1. For how many values of xx is f100(x)=0?f_{100}(x)=0?
299299
300300
301301
302302
303303
Conceptos:valor absolutorecursiónconteo de intersecciones
Nivel de dificultad: 2520
Pista pequeña:
Si f0(x)=±kf_0(x)=\pm k para un entero no negativo k,k, entonces fk(x)=0f_k(x)=0 y después los valores se repiten en ciclo 0,−1,0,−1,…0,-1,0,-1,\ldots
If f0(x)=±kf_0(x)=\pm k for a nonnegative integer k,k, then fk(x)=0f_k(x)=0 and afterward the values cycle 0,−1,0,−1,…0,-1,0,-1,\ldots
Pista grande:
Así que f100(x)=0f_{100}(x)=0 requiere f0(x)=2kf_0(x)=2k con −50≤k≤50-50\le k\le50; grafica f0f_0 y cuenta las intersecciones con cada recta y=2ky=2k.
So f100(x)=0f_{100}(x)=0 needs f0(x)=2kf_0(x)=2k with −50≤k≤50-50\le k\le50; graph f0f_0 and count intersections with each line y=2ky=2k
Solución:
Si fn−1(x)=±k,f_{n-1}(x)=\pm k, entonces fn(x)=k−1.f_n(x)=k-1. Así que si f0(x)=±kf_0(x)=\pm k para un entero no negativo k,k, entonces fk(x)=0,f_k(x)=0, tras lo cual la sucesión alterna 0,−1,0,…0,-1,0,\ldots Por lo tanto f100(x)=0f_{100}(x)=0 exactamente cuando f0(x)=2kf_0(x)=2k para algún entero −50≤k≤50.-50\le k\le50.
Ahora f0(x)=x+∣x−100∣f_0(x)=x+|x-100| −∣x+100∣-|x+100| es igual a x+200x+200 para x<−100,x\lt-100, a −x-x para −100≤x<100,-100\le x\lt100, y a x−200x-200 para x≥100.x\ge100. Su gráfica es lineal por tramos con puntos de inflexión (−100,100)(-100,100) y (100,−100).(100,-100).
Una recta y=2ky=2k corta esta gráfica tres veces para −49≤k≤49-49\le k\le49 y dos veces para k=±50.k=\pm50. El total es 99⋅3+2⋅2=301.99\cdot3+2\cdot2=301.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
If fn−1(x)=±k,f_{n-1}(x)=\pm k, then fn(x)=k−1.f_n(x)=k-1. So if f0(x)=±kf_0(x)=\pm k for a nonnegative integer k,k, then fk(x)=0,f_k(x)=0, after which the sequence alternates 0,−1,0,…0,-1,0,\ldots Thus f100(x)=0f_{100}(x)=0 exactly when f0(x)=2kf_0(x)=2k for some integer −50≤k≤50.-50\le k\le50.
Now f0(x)=x+∣x−100∣f_0(x)=x+|x-100| −∣x+100∣-|x+100| equals x+200x+200 for x<−100,x\lt-100, −x-x for −100≤x<100,-100\le x\lt100, and x−200x-200 for x≥100.x\ge100. Its graph is piecewise linear with turning points (−100,100)(-100,100) and (100,−100).(100,-100).
A line y=2ky=2k meets this graph three times for −49≤k≤49-49\le k\le49 and twice for k=±50.k=\pm50. The total is 99⋅3+2⋅2=301.99\cdot3+2\cdot2=301.
Thus, the correct answer is C.

25.

La parábola PP tiene foco (0,0)(0,0) y pasa por los puntos (4,3)(4,3) y (−4,−3).(-4,-3). ¿Para cuántos puntos (x,y)∈P(x,y)\in P con coordenadas enteras se cumple que ∣4x+3y∣≤1000|4x+3y|\le1000?
The parabola PP has focus (0,0)(0,0) and goes through the points (4,3)(4,3) and (−4,−3).(-4,-3). For how many points (x,y)∈P(x,y)\in P with integer coordinates is it true that ∣4x+3y∣≤1000?|4x+3y|\le1000?
3838
4040
4242
4444
4646
Conceptos:parábolapunto reticularEcuación diofántica
Nivel de dificultad: 2650
Pista pequeña:
(0,0)(0,0) es el punto medio de (4,3)(4,3) y (−4,−3),(-4,-3), así que esta cuerda es el lado recto y la directriz es paralela a ella
(0,0)(0,0) is the midpoint of (4,3)(4,3) and (−4,−3),(-4,-3), so this chord is the latus rectum and the directrix is parallel to it
Pista grande:
La directriz es 4y−3x+25=04y-3x+25=0; parametriza los puntos reticulares y reduce ∣4x+3y∣|4x+3y| a ∣50u+25∣≤1000|50u+25|\le1000.
The directrix is 4y−3x+25=04y-3x+25=0; parametrize the lattice points and reduce ∣4x+3y∣|4x+3y| to ∣50u+25∣≤1000|50u+25|\le1000
Solución:
Como (0,0)(0,0) es el punto medio de A=(4,3)A=(4,3) y B=(−4,−3),B=(-4,-3), el segmento ABAB es el lado recto, así que la directriz es paralela a ABAB a distancia 55 del lado opuesto, a saber 4y−3x+25=0.4y-3x+25=0.
Igualando las distancias al foco y a la directriz se obtiene (4x+3y)2(4x+3y)^2 =25(25+2(4y−3x)).=25\big(25+2(4y-3x)\big). Escribir 4x+3y=5s4x+3y=5s obliga a que ss sea múltiplo de 5,5, y s=5ts=5t obliga a que tt sea impar; con t=2u+1t=2u+1 los puntos enteros son x=−6u2+2u+4,y=8u2+14u+3. \begin{aligned} x&=-6u^2+2u+4,\\ y&=8u^2+14u+3. \end{aligned}
Entonces ∣4x+3y∣=∣50u+25∣≤1000|4x+3y|=|50u+25|\le1000 si y solo si ∣2u+1∣≤39,|2u+1|\le39, es decir −20≤u≤19.-20\le u\le19. Eso da 4040 puntos reticulares.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Since (0,0)(0,0) is the midpoint of A=(4,3)A=(4,3) and B=(−4,−3),B=(-4,-3), the segment ABAB is the latus rectum, so the directrix is parallel to ABAB at distance 55 on the far side, namely 4y−3x+25=0.4y-3x+25=0.
Equating distances to focus and directrix gives (4x+3y)2(4x+3y)^2 =25(25+2(4y−3x)).=25\big(25+2(4y-3x)\big). Writing 4x+3y=5s4x+3y=5s forces ss to be a multiple of 5,5, and s=5ts=5t forces tt odd; with t=2u+1t=2u+1 the integer points are x=−6u2+2u+4,y=8u2+14u+3. \begin{aligned} x&=-6u^2+2u+4,\\ y&=8u^2+14u+3. \end{aligned}
Then ∣4x+3y∣=∣50u+25∣≤1000|4x+3y|=|50u+25|\le1000 iff ∣2u+1∣≤39,|2u+1|\le39, i.e. −20≤u≤19.-20\le u\le19. That gives 4040 lattice points.
Thus, the correct answer is B.