Soluciones del 2014 AMC 12A | LIVE by Po-Shen Loh

1.

¿Cuál es el valor de $10 \cdot \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{10}\right)^{-1}?$

What is $10 \cdot \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{10}\right)^{-1}?$

$3$

$8$

$\dfrac{25}{2}$

$\dfrac{170}{3}$

$170$

Conceptos:fracción exponente

Nivel de dificultad: 870

Solución:

La suma dentro del paréntesis es $\dfrac12+\dfrac15+\dfrac{1}{10}=\dfrac{5+2+1}{10}=\dfrac{4}{5}$ .

Su recíproco es $\dfrac54$ , así que la expresión es igual a $10\cdot\dfrac54=\dfrac{25}{2}$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The sum inside the parentheses is $\dfrac12+\dfrac15+\dfrac{1}{10}=\dfrac{5+2+1}{10}=\dfrac{4}{5}.$

Its reciprocal is $\dfrac54,$ so the expression equals $10\cdot\dfrac54=\dfrac{25}{2}.$

Thus, the correct answer is C.

2.

En el teatro los niños entran a mitad de precio. El precio de $5$ entradas de adulto y $4$ entradas de niño es $\$24.50$ . ¿Cuánto costarían $8$ entradas de adulto y $6$ entradas de niño?

At the theater children get in for half price. The price for $5$ adult tickets and $4$ child tickets is $\$24.50.$ How much would $8$ adult tickets and $6$ child tickets cost?

$\$35$

$\$38.50$

$\$40$

$\$42$

$\$42.50$

Conceptos:razón y proporción

Nivel de dificultad: 1020

Solución:

Como una entrada de niño es la mitad de una de adulto, $5$ entradas de adulto y $4$ de niño equivalen a $5+\tfrac12\cdot4=7$ entradas de adulto, así que una entrada de adulto cuesta $\dfrac{24.50}{7}=\$3.50$ .

La segunda compra equivale a $8+\tfrac12\cdot6=11$ entradas de adulto, con un costo de $11\cdot 3.50=\$38.50$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since a child ticket is half an adult ticket, $5$ adult and $4$ child tickets equal $5+\tfrac12\cdot4=7$ adult tickets, so one adult ticket costs $\dfrac{24.50}{7}=\$3.50.$

The second purchase equals $8+\tfrac12\cdot6=11$ adult tickets, costing $11\cdot 3.50=\$38.50.$

Thus, the correct answer is B.

3.

Caminando por Jane Street, Ralph pasó por cuatro casas seguidas, cada una pintada de un color distinto. Pasó por la casa naranja antes que por la roja, y pasó por la casa azul antes que por la amarilla. La casa azul no estaba junto a la amarilla. ¿Cuántos ordenamientos de las casas de colores son posibles?

Walking down Jane Street, Ralph passed four houses in a row, each painted a different color. He passed the orange house before the red house, and he passed the blue house before the yellow house. The blue house was not next to the yellow house. How many orderings of the colored houses are possible?

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

Conceptos:arreglos con restricciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 1200

Solución:

Si la naranja aparece primero, entonces la azul y la amarilla no pueden ser adyacentes, lo que obliga al orden naranja, azul, roja, amarilla.

Si la azul aparece primero, la amarilla puede ocupar la tercera o la cuarta posición (nunca la segunda, para evitar la adyacencia), lo que da azul, naranja, amarilla, roja y azul, naranja, roja, amarilla.

Estos son los únicos $3$ ordenamientos válidos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

If orange comes first, then blue and yellow cannot be adjacent, forcing the order orange, blue, red, yellow.

If blue comes first, yellow can be in the third or fourth position (never second, to avoid adjacency), giving blue, orange, yellow, red and blue, orange, red, yellow.

These are the only $3$ valid orderings.

Thus, the correct answer is B.

4.

Supongamos que $a$ vacas dan $b$ galones de leche en $c$ días. A este ritmo, ¿cuántos galones de leche darán $d$ vacas en $e$ días?

Suppose that $a$ cows give $b$ gallons of milk in $c$ days. At this rate, how many gallons of milk will $d$ cows give in $e$ days?

$\dfrac{bde}{ac}$

$\dfrac{ac}{bde}$

$\dfrac{abde}{c}$

$\dfrac{bcde}{a}$

$\dfrac{abc}{de}$

Conceptos:tasa razón y proporción

Nivel de dificultad: 1200

Solución:

El ritmo es $\dfrac{b}{ac}$ galones por vaca por día.

Así que $d$ vacas en $e$ días producen $\dfrac{b}{ac}\cdot d\cdot e=\dfrac{bde}{ac}$ galones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The rate is $\dfrac{b}{ac}$ gallons per cow per day.

So $d$ cows over $e$ days produce $\dfrac{b}{ac}\cdot d\cdot e=\dfrac{bde}{ac}$ gallons.

Thus, the correct answer is A.

5.

En una prueba de álgebra, el $10\%$ de los estudiantes obtuvo $70$ puntos, el $35\%$ obtuvo $80$ puntos, el $30\%$ obtuvo $90$ puntos y el resto obtuvo $100$ puntos. ¿Cuál es la diferencia entre la media y la mediana de las puntuaciones de los estudiantes en esta prueba?

On an algebra quiz, $10\%$ of the students scored $70$ points, $35\%$ scored $80$ points, $30\%$ scored $90$ points, and the rest scored $100$ points. What is the difference between the mean and the median of the students' scores on this quiz?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Conceptos:media mediana (datos)porcentaje

Nivel de dificultad: 1270

Solución:

El $25\%$ restante obtuvo $100$ . Como el $45\%$ obtuvo a lo sumo $80$ y el $75\%$ obtuvo a lo sumo $90$ , la mediana es $90$ .

La media es $\begin{aligned} &0.10(70)+0.35(80)\\ &\quad{}+0.30(90)+0.25(100)\\ &\quad{}=7+28+27+25=87. \end{aligned}$

La diferencia es $90-87=3$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The remaining $25\%$ scored $100.$ Since $45\%$ scored at most $80$ and $75\%$ scored at most $90,$ the median is $90.$

The mean is $\begin{aligned} &0.10(70)+0.35(80)\\ &\quad{}+0.30(90)+0.25(100)\\ &\quad{}=7+28+27+25=87. \end{aligned}$

The difference is $90-87=3.$

Thus, the correct answer is C.

6.

La diferencia entre un número de dos dígitos y el número que se obtiene al invertir sus dígitos es $5$ veces la suma de los dígitos de cualquiera de los dos números. ¿Cuál es la suma del número de dos dígitos y su inverso?

The difference between a two-digit number and the number obtained by reversing its digits is $5$ times the sum of the digits of either number. What is the sum of the two-digit number and its reverse?

$44$

$55$

$77$

$99$

$110$

Conceptos:valor posicional dígitos

Nivel de dificultad: 1270

Solución:

Sea el número mayor $10a+b$ , entonces $\begin{aligned} &(10a+b)-(10b+a)=9(a-b)\\ &\quad{}=5(a+b), \end{aligned}$ lo que se simplifica a $2a=7b$ .

Los únicos dígitos no nulos que satisfacen esto son $a=7$ y $b=2$ , así que el número es $72$ y su inverso es $27$ .

Su suma es $72+27=99$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let the larger number be $10a+b.$ Then $\begin{aligned} &(10a+b)-(10b+a)=9(a-b)\\ &\quad{}=5(a+b), \end{aligned}$ which simplifies to $2a=7b.$

The only nonzero digits satisfying this are $a=7$ and $b=2,$ so the number is $72$ and its reverse is $27.$

Their sum is $72+27=99.$

Thus, the correct answer is D.

7.

Los primeros tres términos de una progresión geométrica son $\sqrt{3}$ , $\sqrt[3]{3}$ y $\sqrt[6]{3}$ . ¿Cuál es el cuarto término?

The first three terms of a geometric progression are $\sqrt{3},$ $\sqrt[3]{3},$ and $\sqrt[6]{3}.$ What is the fourth term?

$1$

$\sqrt[7]{3}$

$\sqrt[8]{3}$

$\sqrt[9]{3}$

$\sqrt[10]{3}$

Conceptos:sucesión geométrica exponente

Nivel de dificultad: 1340

Solución:

Escribiendo los términos como potencias de $3$ , son $3^{1/2}$ , $3^{1/3}$ , $3^{1/6}$ . La razón común es $\dfrac{3^{1/3}}{3^{1/2}}=3^{-1/6}$ .

El cuarto término es $3^{1/6}\cdot3^{-1/6}=3^{0}=1$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Writing the terms as powers of $3,$ they are $3^{1/2},$ $3^{1/3},$ $3^{1/6}.$ The common ratio is $\dfrac{3^{1/3}}{3^{1/2}}=3^{-1/6}.$

The fourth term is $3^{1/6}\cdot3^{-1/6}=3^{0}=1.$

Thus, the correct answer is A.

8.

Un cliente que piensa comprar un electrodoméstico tiene tres cupones, de los cuales solo puede usar uno:

Cupón 1: $10\%$ de descuento sobre el precio de lista si el precio de lista es de al menos $\$50$ .

Cupón 2: $\$20$ de descuento sobre el precio de lista si el precio de lista es de al menos $\$100$ .

Cupón 3: $18\%$ de descuento sobre la cantidad en que el precio de lista supera los $\$100$ .

¿Para cuál de los siguientes precios de lista ofrecerá el cupón 1 una reducción de precio mayor que la del cupón 2 o la del cupón 3?

A customer who intends to purchase an appliance has three coupons, only one of which may be used:

Coupon 1: $10\%$ off the listed price if the listed price is at least $\$50$

Coupon 2: $\$20$ off the listed price if the listed price is at least $\$100$

Coupon 3: $18\%$ off the amount by which the listed price exceeds $\$100$

For which of the following listed prices will coupon 1 offer a greater price reduction than either coupon 2 or coupon 3?

$\$179.95$

$\$199.95$

$\$219.95$

$\$239.95$

$\$259.95$

Conceptos:desigualdad porcentaje

Nivel de dificultad: 1440

Solución:

Para un precio $P\gt100$ , las reducciones son $\dfrac{P}{10}$ , $20$ y $\dfrac{18}{100}(P-100)$ .

El cupón 1 supera al cupón 2 cuando $\dfrac{P}{10}\gt20$ , es decir $P\gt200$ . El cupón 1 supera al cupón 3 cuando $\dfrac{P}{10}\gt\dfrac{18}{100}(P-100)$ , es decir $P\lt225$ .

El único precio de lista en $(200,225)$ es $\$219.95$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

For a price $P\gt100,$ the reductions are $\dfrac{P}{10},$ $20,$ and $\dfrac{18}{100}(P-100).$

Coupon 1 beats coupon 2 when $\dfrac{P}{10}\gt20,$ that is $P\gt200.$ Coupon 1 beats coupon 3 when $\dfrac{P}{10}\gt\dfrac{18}{100}(P-100),$ that is $P\lt225.$

The only listed price in $(200,225)$ is $\$219.95.$

Thus, the correct answer is C.

9.

Cinco enteros positivos consecutivos que comienzan con $a$ tienen promedio $b$ . ¿Cuál es el promedio de $5$ enteros consecutivos que comienzan con $b$ ?

Five positive consecutive integers starting with $a$ have average $b.$ What is the average of $5$ consecutive integers that start with $b?$

$a+3$

$a+4$

$a+5$

$a+6$

$a+7$

Conceptos:media sucesión aritmética

Nivel de dificultad: 1270

Solución:

Los enteros $a,a+1,a+2,a+3,a+4$ tienen promedio $a+2$ , así que $b=a+2$ .

Los enteros que comienzan en $b$ tienen promedio $b+2=(a+2)+2=a+4$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The integers $a,a+1,a+2,a+3,a+4$ have average $a+2,$ so $b=a+2.$

The integers starting at $b$ have average $b+2=(a+2)+2=a+4.$

Thus, the correct answer is B.

10.

Se construyen tres triángulos isósceles congruentes con sus bases sobre los lados de un triángulo equilátero de lado $1$ . La suma de las áreas de los tres triángulos isósceles es igual al área del triángulo equilátero. ¿Cuál es la longitud de uno de los dos lados congruentes de uno de los triángulos isósceles?

Three congruent isosceles triangles are constructed with their bases on the sides of an equilateral triangle of side length $1.$ The sum of the areas of the three isosceles triangles is the same as the area of the equilateral triangle. What is the length of one of the two congruent sides of one of the isosceles triangles?

$\dfrac{\sqrt3}{4}$

$\dfrac{\sqrt3}{3}$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{\sqrt2}{2}$

$\dfrac{\sqrt3}{2}$

Conceptos:triángulo equilátero área del triángulo Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1560

Solución:

El triángulo equilátero tiene área $\dfrac{\sqrt3}{4}$ . Cada triángulo isósceles tiene base $1$ y altura $h$ , así que $3\cdot\dfrac12 h=\dfrac{\sqrt3}{4}$ , lo que da $h=\dfrac{\sqrt3}{6}$ .

Un lado congruente es la hipotenusa desde el vértice superior hasta un extremo de la base, cuya longitud es $\begin{gathered} \sqrt{\left(\dfrac12\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt3}{6}\right)^2}\\ =\sqrt{\dfrac14+\dfrac{1}{12}}\\ =\sqrt{\dfrac13}=\dfrac{\sqrt3}{3}. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The equilateral triangle has area $\dfrac{\sqrt3}{4}.$ Each isosceles triangle has base $1$ and height $h,$ so $3\cdot\dfrac12 h=\dfrac{\sqrt3}{4},$ giving $h=\dfrac{\sqrt3}{6}.$

A congruent side is the hypotenuse from the apex to a base endpoint: $\begin{gathered} \sqrt{\left(\dfrac12\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt3}{6}\right)^2}\\ =\sqrt{\dfrac14+\dfrac{1}{12}}\\ =\sqrt{\dfrac13}=\dfrac{\sqrt3}{3}. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is B.

11.

David conduce desde su casa hasta el aeropuerto para tomar un vuelo. Conduce $35$ millas en la primera hora, pero se da cuenta de que llegará $1$ hora tarde si continúa a esta velocidad. Aumenta su velocidad en $15$ millas por hora durante el resto del camino al aeropuerto y llega $30$ minutos antes. ¿A cuántas millas está el aeropuerto de su casa?

David drives from his home to the airport to catch a flight. He drives $35$ miles in the first hour, but realizes that he will be $1$ hour late if he continues at this speed. He increases his speed by $15$ miles per hour for the rest of the way to the airport and arrives $30$ minutes early. How many miles is the airport from his home?

$140$

$175$

$210$

$245$

$280$

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1440

Solución:

Sea $d$ la distancia restante después de una hora y $t$ el tiempo que falta hasta el vuelo. A $35$ mph llegaría una hora tarde, así que $d=35(t+1)$ . A $50$ mph llega media hora antes, así que $d=50\left(t-\tfrac12\right)$ .

Igualando ambas se obtiene $35t+35=50t-25$ , así que $t=4$ y $d=175$ .

La distancia total es $175+35=210$ millas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $d$ be the remaining distance after one hour and $t$ the remaining time until the flight. At $35$ mph he would be an hour late, so $d=35(t+1).$ At $50$ mph he is half an hour early, so $d=50\left(t-\tfrac12\right).$

Setting these equal gives $35t+35=50t-25,$ so $t=4$ and $d=175.$

The total distance is $175+35=210$ miles.

Thus, the correct answer is C.

12.

Dos círculos se intersecan en los puntos $A$ y $B$ . Los arcos menores $AB$ miden $30^\circ$ en un círculo y $60^\circ$ en el otro círculo. ¿Cuál es la razón entre el área del círculo mayor y el área del círculo menor?

Two circles intersect at points $A$ and $B.$ The minor arcs $AB$ measure $30^\circ$ on one circle and $60^\circ$ on the other circle. What is the ratio of the area of the larger circle to the area of the smaller circle?

$2$

$1+\sqrt3$

$3$

$2+\sqrt3$

$4$

Conceptos:cuerda trigonometría razón de áreas

Nivel de dificultad: 1630

Solución:

Sean los círculos de radios $R$ (con el arco de $30^\circ$ ) y $r$ (con el arco de $60^\circ$ ). La cuerda común tiene longitud $2R\sin15^\circ=2r\sin30^\circ$ , así que $\dfrac{R}{r}=\dfrac{\sin30^\circ}{\sin15^\circ}$ .

El ángulo central menor corresponde al radio mayor, así que $R\gt r$ . La razón de áreas es $\begin{gathered} \left(\dfrac{R}{r}\right)^2\\ =\dfrac{1}{4\sin^2 15^\circ}\\ =\dfrac{1}{2(1-\cos30^\circ)}\\ =\dfrac{1}{2-\sqrt3}=2+\sqrt3. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let the circles have radii $R$ (with the $30^\circ$ arc) and $r$ (with the $60^\circ$ arc). The common chord has length $2R\sin15^\circ=2r\sin30^\circ,$ so $\dfrac{R}{r}=\dfrac{\sin30^\circ}{\sin15^\circ}.$

The smaller central angle gives the larger radius, so $R\gt r.$ The area ratio is $\begin{gathered} \left(\dfrac{R}{r}\right)^2\\ =\dfrac{1}{4\sin^2 15^\circ}\\ =\dfrac{1}{2(1-\cos30^\circ)}\\ =\dfrac{1}{2-\sqrt3}=2+\sqrt3. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is D.

13.

Una elegante posada tipo bed and breakfast tiene $5$ habitaciones, cada una con una decoración distintiva codificada por colores. Un día llegan $5$ amigos a pasar la noche. Esa noche no hay otros huéspedes. Los amigos pueden alojarse en cualquier combinación que deseen, pero con no más de $2$ amigos por habitación. ¿De cuántas maneras puede el posadero asignar a los huéspedes a las habitaciones?

A fancy bed and breakfast inn has $5$ rooms, each with a distinctive color-coded decor. One day $5$ friends arrive to spend the night. There are no other guests that night. The friends can room in any combination they wish, but with no more than $2$ friends per room. In how many ways can the innkeeper assign the guests to the rooms?

$2100$

$2220$

$3000$

$3120$

$3125$

Conceptos:análisis por casos combinaciones principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 1660

Solución:

Todos solos: asigna $5$ amigos a $5$ habitaciones de $5!=120$ maneras.

Una pareja: elige la pareja de $\binom52=10$ maneras, luego coloca los $4$ grupos en las habitaciones de $5\cdot4\cdot3\cdot2=120$ maneras, lo que da $10\cdot120=1200$ .

Dos parejas: elige al amigo que va solo de $5$ maneras y divide al resto en dos parejas de $3$ maneras ( $15$ agrupaciones), luego coloca los $3$ grupos en las habitaciones de $5\cdot4\cdot3=60$ maneras, lo que da $15\cdot60=900$ .

El total es $120+1200+900=2220$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

All singles: assign $5$ friends to $5$ rooms in $5!=120$ ways.

One pair: choose the pair in $\binom52=10$ ways, then place the $4$ groups into rooms in $5\cdot4\cdot3\cdot2=120$ ways, giving $10\cdot120=1200.$

Two pairs: choose the solo friend in $5$ ways and split the rest into two pairs in $3$ ways ( $15$ groupings), then place the $3$ groups into rooms in $5\cdot4\cdot3=60$ ways, giving $15\cdot60=900.$

The total is $120+1200+900=2220.$

Thus, the correct answer is B.

14.

Sean $a\lt b\lt c$ tres enteros tales que $a,b,c$ es una progresión aritmética y $a,c,b$ es una progresión geométrica. ¿Cuál es el menor valor posible de $c$ ?

Let $a\lt b\lt c$ be three integers such that $a,b,c$ is an arithmetic progression and $a,c,b$ is a geometric progression. What is the smallest possible value for $c?$

$-2$

$1$

$2$

$4$

$6$

Conceptos:sucesión aritmética sucesión geométrica Ecuación diofántica

Nivel de dificultad: 1630

Solución:

Sea $d=b-a\gt0$ , así que $b=a+d$ y $c=a+2d$ . Como $a,c,b$ es geométrica, $\begin{gathered} \dfrac{c}{a}=\dfrac{b}{c}\\ \implies(a+2d)^2=a(a+d), \end{gathered}$ lo que se simplifica a $3ad+4d^2=0$ , así que $3a+4d=0$ .

Entonces $a=-4k$ y $d=3k$ para un entero positivo $k$ , lo que da $c=a+2d=2k$ . El menor valor es $c=2$ (con $a=-4$ , $b=-1$ , $c=2$ ).

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $d=b-a\gt0,$ so $b=a+d$ and $c=a+2d.$ Since $a,c,b$ is geometric, $\begin{gathered} \dfrac{c}{a}=\dfrac{b}{c}\\ \implies(a+2d)^2=a(a+d), \end{gathered}$ which simplifies to $3ad+4d^2=0,$ so $3a+4d=0.$

Then $a=-4k$ and $d=3k$ for a positive integer $k,$ giving $c=a+2d=2k.$ The smallest value is $c=2$ (with $a=-4,$ $b=-1,$ $c=2$ ).

Thus, the correct answer is C.

15.

Un palíndromo de cinco dígitos es un entero positivo con dígitos respectivos $abcba$ , donde $a$ no es cero. Sea $S$ la suma de todos los palíndromos de cinco dígitos. ¿Cuál es la suma de los dígitos de $S$ ?

A five-digit palindrome is a positive integer with respective digits $abcba,$ where $a$ is not zero. Let $S$ be the sum of all five-digit palindromes. What is the sum of the digits of $S?$

$9$

$18$

$27$

$36$

$45$

Conceptos:palíndromo valor posicional sumatoria

Nivel de dificultad: 1660

Solución:

Escribe $\overline{abcba}=10001a+1010b+100c$ . Al sumar sobre todos los palíndromos, cada valor de $a\in\{1,\dots,9\}$ ocurre con $10\cdot10=100$ opciones de $b,c$ , y cada valor de $b$ o $c$ ocurre con $9\cdot10=90$ opciones de los otros dos dígitos.

Usando $\sum a=\sum b=\sum c=45$ , $\begin{gathered} \scriptsize S=45\big(10001\cdot100+1010\cdot90+100\cdot90\big)\\ =45\cdot1{,}100{,}000\\ =49{,}500{,}000. \end{gathered}$

La suma de los dígitos de $S$ es $4+9+5=18$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Write $\overline{abcba}=10001a+1010b+100c.$ Summing over all palindromes, each value of $a\in\{1,\dots,9\}$ occurs with $10\cdot10=100$ choices of $b,c,$ and each value of $b$ or $c$ occurs with $9\cdot10=90$ choices of the other two digits.

Using $\sum a=\sum b=\sum c=45,$ $\begin{gathered} \scriptsize S=45\big(10001\cdot100+1010\cdot90+100\cdot90\big)\\ =45\cdot1{,}100{,}000\\ =49{,}500{,}000. \end{gathered}$

The sum of the digits of $S$ is $4+9+5=18.$

Thus, the correct answer is B.

16.

En el producto $(8)(888\ldots8)$ , el segundo factor tiene $k$ dígitos. Ese producto es un entero cuyos dígitos suman $1000$ . ¿Cuánto vale $k$ ?

The product $(8)(888\ldots8),$ where the second factor has $k$ digits, is an integer whose digits have a sum of $1000.$ What is $k?$

$901$

$911$

$919$

$991$

$999$

Conceptos:dígitos reconocimiento de patrones casos pequeños

Nivel de dificultad: 1660

Solución:

Al efectuar la multiplicación, $8\cdot\underbrace{88\ldots8}_{k}=7\underbrace{1\ldots1}_{k-2}04$ , que tiene $k-2$ unos.

La suma de dígitos es $7+(k-2)+0+4=k+9$ . Al poner $k+9=1000$ se obtiene $k=991$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

By carrying out the multiplication, $8\cdot\underbrace{88\ldots8}_{k}=7\underbrace{1\ldots1}_{k-2}04,$ which has $k-2$ ones.

The digit sum is $7+(k-2)+0+4=k+9.$ Setting $k+9=1000$ gives $k=991.$

Thus, the correct answer is D.

17.

Una caja rectangular de $4\times4\times h$ contiene una esfera de radio $2$ y ocho esferas más pequeñas de radio $1$ . Cada una de las esferas pequeñas es tangente a tres caras de la caja, y la esfera mayor es tangente a cada una de las esferas pequeñas. ¿Cuánto vale $h$ ?

A $4\times4\times h$ rectangular box contains a sphere of radius $2$ and eight smaller spheres of radius $1.$ The smaller spheres are each tangent to three sides of the box, and the larger sphere is tangent to each of the smaller spheres. What is $h?$

$2+2\sqrt7$

$3+2\sqrt5$

$4+2\sqrt7$

$4\sqrt5$

$4\sqrt7$

Conceptos:Geometría 3D esfera Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1800

Solución:

Coloca la caja con una esquina en el origen. Cada esfera pequeña se ubica en una esquina con su centro a $1$ unidad de tres caras. Los centros de las cuatro esferas pequeñas superiores forman un cuadrado de lado $2$ , cuyo centro está sobre el eje de la caja; una esquina de ese cuadrado está a $\sqrt2$ del centro.

El centro de la esfera grande está sobre el eje, a distancia $2+1=3$ de cada centro pequeño superior. La separación vertical entre ellos es $\sqrt{3^2-\sqrt2^2}=\sqrt7$ .

El centro grande está a altura $\dfrac h2$ y los centros pequeños superiores a altura $h-1$ , así que $(h-1)-\dfrac h2=\sqrt7$ . De aquí $\dfrac h2=1+\sqrt7$ y $h=2+2\sqrt7$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Place the box with a corner at the origin. Each small sphere sits in a corner with center $1$ unit from three faces. The four top small-sphere centers form a square of side $2,$ whose center lies on the box axis; a corner of that square is $\sqrt2$ from the center.

The big sphere's center is on the axis, at distance $2+1=3$ from each top small center. The vertical gap between them is $\sqrt{3^2-\sqrt2^2}=\sqrt7.$

The big center is at height $\dfrac h2$ and the top small centers at height $h-1,$ so $(h-1)-\dfrac h2=\sqrt7,$ giving $\dfrac h2=1+\sqrt7$ and $h=2+2\sqrt7.$

Thus, the correct answer is A.

18.

El dominio de la función $\tiny f(x)=\log_{1/2}\!\left(\log_4\!\left(\log_{1/4}\!\left(\log_{16}\!\left(\log_{1/16}x\right)\right)\right)\right)$ es un intervalo de longitud $\dfrac{m}{n}$ , donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale $m+n$ ?

The domain of the function $\tiny f(x)=\log_{1/2}\!\left(\log_4\!\left(\log_{1/4}\!\left(\log_{16}\!\left(\log_{1/16}x\right)\right)\right)\right)$ is an interval of length $\dfrac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. What is $m+n?$

$19$

$31$

$271$

$319$

$511$

Conceptos:logaritmo desigualdad

Nivel de dificultad: 1910

Solución:

Trabajando desde afuera, $f$ está definida exactamente cuando $\log_4\!\left(\log_{1/4}\!\left(\log_{16}\!\left(\log_{1/16}x\right)\right)\right)$ $\gt0,$ lo que equivale a $\log_{1/4}\!\left(\log_{16}\!\left(\log_{1/16}x\right)\right)\gt1.$

Como la base $\tfrac14\lt1,$ esto significa $0\lt\log_{16}\!\left(\log_{1/16}x\right)\lt\tfrac14,$ de donde $1\lt\log_{1/16}x\lt16^{1/4}=2.$

Como $\tfrac{1}{16}\lt1,$ esto se invierte a $\left(\tfrac{1}{16}\right)^2\lt x\lt\left(\tfrac{1}{16}\right)^1,$ es decir $\tfrac{1}{256}\lt x\lt\tfrac{1}{16}.$ La longitud es $\tfrac{1}{16}-\tfrac{1}{256}=\tfrac{15}{256},$ así que $m+n=15+256=271.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Working from the outside, $f$ is defined exactly when $\log_4\!\left(\log_{1/4}\!\left(\log_{16}\!\left(\log_{1/16}x\right)\right)\right)$ $\gt0,$ which is equivalent to $\log_{1/4}\!\left(\log_{16}\!\left(\log_{1/16}x\right)\right)\gt1.$

Since the base $\tfrac14\lt1,$ this means $0\lt\log_{16}\!\left(\log_{1/16}x\right)\lt\tfrac14,$ hence $1\lt\log_{1/16}x\lt16^{1/4}=2.$

As $\tfrac{1}{16}\lt1,$ this reverses to $\left(\tfrac{1}{16}\right)^2\lt x\lt\left(\tfrac{1}{16}\right)^1,$ i.e. $\tfrac{1}{256}\lt x\lt\tfrac{1}{16}.$ The length is $\tfrac{1}{16}-\tfrac{1}{256}=\tfrac{15}{256},$ so $m+n=15+256=271.$

Thus, the correct answer is C.

19.

Existen exactamente $N$ números racionales distintos $k$ tales que $|k|\lt200$ , de modo que la ecuación $5x^2+kx+12=0$ tiene al menos una solución entera $x$ . ¿Cuánto vale $N$ ?

There are exactly $N$ distinct rational numbers $k$ such that $|k|\lt200$ and $5x^2+kx+12=0$ has at least one integer solution for $x.$ What is $N?$

$6$

$12$

$24$

$48$

$78$

Conceptos:cuadrática acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1990

Solución:

Si un entero $x$ es raíz, entonces $k=-\left(5x+\dfrac{12}{x}\right),$ así que $x\ne0.$ Para $x\ge2,$ $|k|=5|x|+\dfrac{12}{|x|}$ crece, y $|x|=39$ da $|k|\approx195.3\lt200,$ mientras que $|x|=40$ da $|k|\gt200.$

Así $x$ recorre $\pm1,\pm2,\dots,\pm39,$ que son $78$ valores. Si dos enteros $a\ne b$ dieran el mismo $k,$ entonces $5a+\tfrac{12}{a}=5b+\tfrac{12}{b}$ obliga a $5ab=12,$ que no tiene soluciones enteras, así que los $78$ valores de $k$ son todos distintos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

If an integer $x$ is a root, then $k=-\left(5x+\dfrac{12}{x}\right),$ so $x\ne0.$ For $x\ge2,$ $|k|=5|x|+\dfrac{12}{|x|}$ increases, and $|x|=39$ gives $|k|\approx195.3\lt200,$ while $|x|=40$ gives $|k|\gt200.$

Thus $x$ ranges over $\pm1,\pm2,\dots,\pm39,$ which is $78$ values. If two integers $a\ne b$ gave the same $k,$ then $5a+\tfrac{12}{a}=5b+\tfrac{12}{b}$ forces $5ab=12,$ which has no integer solutions, so all $78$ values of $k$ are distinct.

Thus, the correct answer is E.

20.

En $\triangle BAC,$ $\angle BAC=40^\circ,$ $AB=10,$ y $AC=6.$ Los puntos $D$ y $E$ están sobre $\overline{AB}$ y $\overline{AC},$ respectivamente. ¿Cuál es el mínimo valor posible de $BE+DE+CD$ ?

In $\triangle BAC,$ $\angle BAC=40^\circ,$ $AB=10,$ and $AC=6.$ Points $D$ and $E$ lie on $\overline{AB}$ and $\overline{AC},$ respectively. What is the minimum possible value of $BE+DE+CD?$

$6\sqrt3+3$

$\dfrac{27}{2}$

$8\sqrt3$

$14$

$3\sqrt3+9$

Conceptos:reflexión (geometría)ley de los cosenos optimización

Nivel de dificultad: 2110

Solución:

Refleja $B$ sobre la recta $AC$ para obtener $B',$ y refleja $C$ sobre la recta $AB$ para obtener $C'.$ Entonces $BE=B'E$ y $CD=C'D,$ así que $BE+DE+CD$ $=B'E+ED+DC',$ un camino quebrado de $B'$ a $C'.$

Esto se minimiza cuando el camino es el segmento recto $B'C'.$ Tenemos $AB'=AB=10,$ $AC'=AC=6,$ y $\angle B'AC'=3\cdot40^\circ=120^\circ.$

Por la ley de cosenos, $\begin{gathered} B'C'^2=10^2+6^2\\ {}-2\cdot10\cdot6\cos120^\circ\\ =136+60\\ =196, \end{gathered}$ así que $B'C'=14.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Reflect $B$ across line $AC$ to get $B',$ and reflect $C$ across line $AB$ to get $C'.$ Then $BE=B'E$ and $CD=C'D,$ so $BE+DE+CD$ $=B'E+ED+DC',$ a broken path from $B'$ to $C'.$

This is minimized when the path is the straight segment $B'C'.$ We have $AB'=AB=10,$ $AC'=AC=6,$ and $\angle B'AC'=3\cdot40^\circ=120^\circ.$

By the Law of Cosines, $\begin{gathered} B'C'^2=10^2+6^2\\ {}-2\cdot10\cdot6\cos120^\circ\\ =136+60\\ =196, \end{gathered}$ so $B'C'=14.$

Thus, the correct answer is D.

21.

Para todo número real $x,$ sea $\lfloor x\rfloor$ el mayor entero que no excede a $x,$ y sea $f(x)=\lfloor x\rfloor\left(2014^{\,x-\lfloor x\rfloor}-1\right).$ El conjunto de todos los números $x$ tales que $1\le x\lt2014$ y $f(x)\le1$ es una unión de intervalos disjuntos. ¿Cuál es la suma de las longitudes de esos intervalos?

For every real number $x,$ let $\lfloor x\rfloor$ denote the greatest integer not exceeding $x,$ and let $f(x)=\lfloor x\rfloor\left(2014^{\,x-\lfloor x\rfloor}-1\right).$ The set of all numbers $x$ such that $1\le x\lt2014$ and $f(x)\le1$ is a union of disjoint intervals. What is the sum of the lengths of those intervals?

$1$

$\dfrac{\log2015}{\log2014}$

$\dfrac{\log2014}{\log2013}$

$\dfrac{2014}{2013}$

$2014^{1/2014}$

Conceptos:funciones piso y techo logaritmo telescópica

Nivel de dificultad: 2170

Solución:

Escribe $x=n+r$ con entero $n$ ( $1\le n\le2013$ ) y $0\le r\lt1.$ Entonces $f(x)=n\left(2014^{\,r}-1\right),$ y $f(x)\le1$ se convierte en $2014^{\,r}\le1+\dfrac1n,$ es decir $0\le r\le\log_{2014}\dfrac{n+1}{n}.$

Cada $n$ aporta un intervalo de longitud $\log_{2014}\dfrac{n+1}{n},$ así que el total es $\begin{gathered} \sum_{n=1}^{2013}\log_{2014}\dfrac{n+1}{n}\\ =\log_{2014}\!\left(\dfrac21\cdot\dfrac32\cdots\dfrac{2014}{2013}\right)\\ =\log_{2014}2014=1. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Write $x=n+r$ with integer $n$ ( $1\le n\le2013$ ) and $0\le r\lt1.$ Then $f(x)=n\left(2014^{\,r}-1\right),$ and $f(x)\le1$ becomes $2014^{\,r}\le1+\dfrac1n,$ i.e. $0\le r\le\log_{2014}\dfrac{n+1}{n}.$

Each $n$ contributes an interval of length $\log_{2014}\dfrac{n+1}{n},$ so the total is $\begin{gathered} \sum_{n=1}^{2013}\log_{2014}\dfrac{n+1}{n}\\ =\log_{2014}\!\left(\dfrac21\cdot\dfrac32\cdots\dfrac{2014}{2013}\right)\\ =\log_{2014}2014=1. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is A.

22.

El número $5^{867}$ está entre $2^{2013}$ y $2^{2014}.$ ¿Cuántos pares de enteros $(m,n)$ hay tales que $1\le m\le2012$ y $5^n\lt2^m\lt2^{m+2}\lt5^{n+1}?$

The number $5^{867}$ is between $2^{2013}$ and $2^{2014}.$ How many pairs of integers $(m,n)$ are there such that $1\le m\le2012$ and $5^n\lt2^m\lt2^{m+2}\lt5^{n+1}?$

$278$

$279$

$280$

$281$

$282$

Conceptos:exponente sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 2270

Solución:

Como $2^2\lt5\lt2^3,$ cada intervalo $(5^n,5^{n+1})$ contiene dos o tres potencias de $2.$ La cadena $5^n\lt2^m\lt2^{m+2}\lt5^{n+1}$ se cumple exactamente cuando el intervalo contiene tres potencias consecutivas de $2,$ y entonces hay un único $m.$

Sean $d$ y $t$ las cantidades de intervalos $(5^n,5^{n+1})$ con $0\le n\le866$ que contienen dos y tres potencias de $2,$ respectivamente. Como $2^{2013}\lt5^{867}\lt2^{2014}$ hay $2013$ potencias de $2$ en total, lo que da $d+t=867$ y $2d+3t=2013.$

Resolviendo, $t=2013-2\cdot867=279.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Because $2^2\lt5\lt2^3,$ each interval $(5^n,5^{n+1})$ contains either two or three powers of $2.$ The chain $5^n\lt2^m\lt2^{m+2}\lt5^{n+1}$ holds exactly when the interval contains three consecutive powers of $2,$ and then there is a unique such $m.$

Let $d$ and $t$ be the numbers of intervals $(5^n,5^{n+1})$ for $0\le n\le866$ containing two and three powers of $2,$ respectively. Since $2^{2013}\lt5^{867}\lt2^{2014}$ there are $2013$ powers of $2$ in total, giving $d+t=867$ and $2d+3t=2013.$

Solving, $t=2013-2\cdot867=279.$

Thus, the correct answer is B.

23.

La fracción $\dfrac{1}{99^2}=0.\overline{b_{n-1}b_{n-2}\ldots b_2b_1b_0},$ donde $n$ es la longitud del período de la expansión decimal periódica. ¿Cuál es la suma $b_0+b_1+\cdots+b_{n-1}$ ?

The fraction $\dfrac{1}{99^2}=0.\overline{b_{n-1}b_{n-2}\ldots b_2b_1b_0},$ where $n$ is the length of the period of the repeating decimal expansion. What is the sum $b_0+b_1+\cdots+b_{n-1}?$

$874$

$883$

$887$

$891$

$892$

Conceptos:decimal periódico dígitos reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 2380

Solución:

Leyendo el bloque en pares de dígitos (base $100$ ), $\dfrac{1}{9801}=\dfrac{1}{99^2}$ se expande como $00,01,02,\ldots,$ ya que $\dfrac{1}{(100-1)^2}=\sum_{k\ge1}k\cdot100^{-k}.$ El acarreo resulta de modo que cada bloque de dos dígitos $00,01,\ldots,97$ aparece, el bloque $98$ se omite, y $99$ aparece, antes de que el período se repita.

Si los bloques $00$ hasta $99$ aparecieran todos, la suma de dígitos sería $(0+1+\cdots+9)\cdot20=900.$ Al quitar el $98$ que falta se restan $9+8,$ lo que da $900-9-8=883.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Reading the block in pairs of digits (base $100$ ), $\dfrac{1}{9801}=\dfrac{1}{99^2}$ expands as $00,01,02,\ldots,$ since $\dfrac{1}{(100-1)^2}=\sum_{k\ge1}k\cdot100^{-k}.$ Carrying works out so that every two-digit block $00,01,\ldots,97$ appears, the block $98$ is skipped, and $99$ appears, before the period repeats.

If the blocks $00$ through $99$ all appeared, the digit sum would be $(0+1+\cdots+9)\cdot20=900.$ Removing the missing $98$ subtracts $9+8,$ giving $900-9-8=883.$

Thus, the correct answer is B.

24.

Sea $f_0(x)=x+|x-100|$ $-|x+100|,$ y para $n\ge1,$ sea $f_n(x)=|f_{n-1}(x)|-1.$ ¿Para cuántos valores de $x$ se cumple $f_{100}(x)=0$ ?

Let $f_0(x)=x+|x-100|$ $-|x+100|,$ and for $n\ge1,$ let $f_n(x)=|f_{n-1}(x)|-1.$ For how many values of $x$ is $f_{100}(x)=0?$

$299$

$300$

$301$

$302$

$303$

Conceptos:valor absoluto recursión conteo de intersecciones

Nivel de dificultad: 2520

Solución:

Si $f_{n-1}(x)=\pm k,$ entonces $f_n(x)=k-1.$ Así que si $f_0(x)=\pm k$ para un entero no negativo $k,$ entonces $f_k(x)=0,$ tras lo cual la sucesión alterna $0,-1,0,\ldots$ Por lo tanto $f_{100}(x)=0$ exactamente cuando $f_0(x)=2k$ para algún entero $-50\le k\le50.$

Ahora $f_0(x)=x+|x-100|$ $-|x+100|$ es igual a $x+200$ para $x\lt-100,$ a $-x$ para $-100\le x\lt100,$ y a $x-200$ para $x\ge100.$ Su gráfica es lineal por tramos con puntos de inflexión $(-100,100)$ y $(100,-100).$

Una recta $y=2k$ corta esta gráfica tres veces para $-49\le k\le49$ y dos veces para $k=\pm50.$ El total es $99\cdot3+2\cdot2=301.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

If $f_{n-1}(x)=\pm k,$ then $f_n(x)=k-1.$ So if $f_0(x)=\pm k$ for a nonnegative integer $k,$ then $f_k(x)=0,$ after which the sequence alternates $0,-1,0,\ldots$ Thus $f_{100}(x)=0$ exactly when $f_0(x)=2k$ for some integer $-50\le k\le50.$

Now $f_0(x)=x+|x-100|$ $-|x+100|$ equals $x+200$ for $x\lt-100,$ $-x$ for $-100\le x\lt100,$ and $x-200$ for $x\ge100.$ Its graph is piecewise linear with turning points $(-100,100)$ and $(100,-100).$

A line $y=2k$ meets this graph three times for $-49\le k\le49$ and twice for $k=\pm50.$ The total is $99\cdot3+2\cdot2=301.$

Thus, the correct answer is C.

25.

La parábola $P$ tiene foco $(0,0)$ y pasa por los puntos $(4,3)$ y $(-4,-3).$ ¿Para cuántos puntos $(x,y)\in P$ con coordenadas enteras se cumple que $|4x+3y|\le1000$ ?

The parabola $P$ has focus $(0,0)$ and goes through the points $(4,3)$ and $(-4,-3).$ For how many points $(x,y)\in P$ with integer coordinates is it true that $|4x+3y|\le1000?$

$38$

$40$

$42$

$44$

$46$

Conceptos:parábola punto reticular Ecuación diofántica

Nivel de dificultad: 2650

Solución:

Como $(0,0)$ es el punto medio de $A=(4,3)$ y $B=(-4,-3),$ el segmento $AB$ es el lado recto, así que la directriz es paralela a $AB$ a distancia $5$ del lado opuesto, a saber $4y-3x+25=0.$

Igualando las distancias al foco y a la directriz se obtiene $(4x+3y)^2$ $=25\big(25+2(4y-3x)\big).$ Escribir $4x+3y=5s$ obliga a $5\mid s,$ y $s=5t$ obliga a que $t$ sea impar; con $t=2u+1$ los puntos enteros son $\begin{aligned} x&=-6u^2+2u+4,\\ y&=8u^2+14u+3. \end{aligned}$

Entonces $|4x+3y|=|50u+25|\le1000$ si y solo si $|2u+1|\le39,$ es decir $-20\le u\le19.$ Eso da $40$ puntos reticulares.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since $(0,0)$ is the midpoint of $A=(4,3)$ and $B=(-4,-3),$ the segment $AB$ is the latus rectum, so the directrix is parallel to $AB$ at distance $5$ on the far side, namely $4y-3x+25=0.$

Equating distances to focus and directrix gives $(4x+3y)^2$ $=25\big(25+2(4y-3x)\big).$ Writing $4x+3y=5s$ forces $5\mid s,$ and $s=5t$ forces $t$ odd; with $t=2u+1$ the integer points are $\begin{aligned} x&=-6u^2+2u+4,\\ y&=8u^2+14u+3. \end{aligned}$

Then $|4x+3y|=|50u+25|\le1000$ iff $|2u+1|\le39,$ i.e. $-20\le u\le19.$ That gives $40$ lattice points.

Thus, the correct answer is B.