Question

La parábola $P$ tiene foco $(0,0)$ y pasa por los puntos $(4,3)$ y $(-4,-3).$ ¿Para cuántos puntos $(x,y)\in P$ con coordenadas enteras se cumple que $|4x+3y|\le1000$ ?

The parabola $P$ has focus $(0,0)$ and goes through the points $(4,3)$ and $(-4,-3).$ For how many points $(x,y)\in P$ with integer coordinates is it true that $|4x+3y|\le1000?$

$38$

$40$

$42$

$44$

$46$

Respuesta: B

Conceptos:parábola punto reticular Ecuación diofántica

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

$(0,0)$ es el punto medio de $(4,3)$ y $(-4,-3),$ así que esta cuerda es el lado recto y la directriz es paralela a ella

$(0,0)$ is the midpoint of $(4,3)$ and $(-4,-3),$ so this chord is the latus rectum and the directrix is parallel to it

Pista grande:

La directriz es $4y-3x+25=0$ ; parametriza los puntos reticulares y reduce $|4x+3y|$ a $|50u+25|\le1000$ .

The directrix is $4y-3x+25=0$ ; parametrize the lattice points and reduce $|4x+3y|$ to $|50u+25|\le1000$

Solución:

Como $(0,0)$ es el punto medio de $A=(4,3)$ y $B=(-4,-3),$ el segmento $AB$ es el lado recto, así que la directriz es paralela a $AB$ a distancia $5$ del lado opuesto, a saber $4y-3x+25=0.$

Igualando las distancias al foco y a la directriz se obtiene $(4x+3y)^2$ $=25\big(25+2(4y-3x)\big).$ Escribir $4x+3y=5s$ obliga a que $s$ sea múltiplo de $5,$ y $s=5t$ obliga a que $t$ sea impar; con $t=2u+1$ los puntos enteros son $\begin{aligned} x&=-6u^2+2u+4,\\ y&=8u^2+14u+3. \end{aligned}$

Entonces $|4x+3y|=|50u+25|\le1000$ si y solo si $|2u+1|\le39,$ es decir $-20\le u\le19.$ Eso da $40$ puntos reticulares.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since $(0,0)$ is the midpoint of $A=(4,3)$ and $B=(-4,-3),$ the segment $AB$ is the latus rectum, so the directrix is parallel to $AB$ at distance $5$ on the far side, namely $4y-3x+25=0.$

Equating distances to focus and directrix gives $(4x+3y)^2$ $=25\big(25+2(4y-3x)\big).$ Writing $4x+3y=5s$ forces $s$ to be a multiple of $5,$ and $s=5t$ forces $t$ odd; with $t=2u+1$ the integer points are $\begin{aligned} x&=-6u^2+2u+4,\\ y&=8u^2+14u+3. \end{aligned}$

Then $|4x+3y|=|50u+25|\le1000$ iff $|2u+1|\le39,$ i.e. $-20\le u\le19.$ That gives $40$ lattice points.

Thus, the correct answer is B.

2014 AMC 12A Problema 25

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 25 en otros años