Question

Sea $f(x) = |2\{x\} - 1|$ donde $\{x\}$ denota la parte fraccionaria de $x.$ El número $n$ es el menor entero positivo tal que la ecuación $nf(xf(x)) = x$ tiene al menos $2012$ soluciones reales $x.$ ¿Cuánto vale $n$ ?

Nota: la parte fraccionaria de $x$ es un número real $y = \{x\},$ tal que $0 \le y \lt 1$ y $x - y$ es un entero.

Let $f(x) = |2\{x\} - 1|$ where $\{x\}$ denotes the fractional part of $x.$ The number $n$ is the smallest positive integer such that the equation $nf(xf(x)) = x$ has at least $2012$ real solutions $x.$ What is $n?$

Note: the fractional part of $x$ is a real number $y = \{x\},$ such that $0 \le y \lt 1$ and $x - y$ is an integer.

$30$

$31$

$32$

$62$

$64$

Respuesta: C

Conceptos:funciones piso y techo conteo de intersecciones

Nivel de dificultad: 2720

Pista pequeña:

$f$ es una onda triangular periódica con $0 \le f(x) \le 1,$ así que todas las soluciones están en $[0, n]$

$f$ is a periodic triangular wave with $0 \le f(x) \le 1,$ so all solutions lie in $[0, n]$

Pista grande:

En cada intervalo unitario, la gráfica de $y = f(xf(x))$ oscila un número creciente de veces; el número total de intersecciones con $y = \dfrac{x}{n}$ es $2n^2$

On each unit interval the graph of $y = f(xf(x))$ oscillates a growing number of times; the total number of intersections with $y = \dfrac{x}{n}$ is $2n^2$

Solución:

Como $0 \le f(x) \le 1,$ toda solución está en $[0,n].$ La función $f$ es una onda triangular de período $1.$ Sea $g(x)=xf(x).$ Para cada entero $a\ge1,$ la función $g$ decrece de $a$ a $0$ en $[a,a+\tfrac12),$ mientras que crece de $0$ a $a+1$ en $[a+\tfrac12,a+1).$ El primer intervalo $[0,\tfrac12)$ es excepcional, pero no aporta ninguna intersección con $y=\frac{x}{n}.$

Contando las oscilaciones, en los intervalos $[a, a + \tfrac12)$ y $[a + \tfrac12, a+1)$ la curva $y = f(g(x))$ se encuentra con la recta $y = \tfrac{x}{n}$ un total de $2a$ y $2(a+1)$ veces. Sumando sobre $a = 0, \ldots, n-1$ se obtienen $\sum_{a=0}^{n-1}\bigl(2a + 2(a+1)\bigr) = 2n^2$ soluciones reales.

El menor $n$ con $2n^2 \ge 2012$ es $n = 32,$ ya que $2 \cdot 31^2 = 1922$ y $2 \cdot 32^2 = 2048.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since $0 \le f(x) \le 1,$ every solution lies in $[0,n].$ The function $f$ is a triangular wave of period $1.$ Put $g(x)=xf(x).$ For each integer $a\ge1,$ the function $g$ decreases from $a$ to $0$ on $[a,a+\tfrac12),$ while it increases from $0$ to $a+1$ on $[a+\tfrac12,a+1).$ The first interval $[0,\tfrac12)$ is exceptional, but it contributes no intersection with $y=\frac{x}{n}.$

Counting the oscillations, on the intervals $[a, a + \tfrac12)$ and $[a + \tfrac12, a+1)$ the curve $y = f(g(x))$ meets the line $y = \tfrac{x}{n}$ a total of $2a$ and $2(a+1)$ times. Summing over $a = 0, \ldots, n-1$ gives $\sum_{a=0}^{n-1}\bigl(2a + 2(a+1)\bigr) = 2n^2$ real solutions.

The smallest $n$ with $2n^2 \ge 2012$ is $n = 32,$ since $2 \cdot 31^2 = 1922$ and $2 \cdot 32^2 = 2048.$

Thus, the correct answer is C.

2012 AMC 12A Problema 25

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2720

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 25 en otros años