Question

Sea $f(x) = \sqrt{ax^2 + bx}.$ ¿Para cuántos valores reales de $a$ existe al menos un valor positivo de $b$ para el cual el dominio de $f$ y el rango de $f$ son el mismo conjunto?

Let $f(x) = \sqrt{ax^2 + bx}.$ For how many real values of $a$ is there at least one positive value of $b$ for which the domain of $f$ and the range of $f$ are the same set?

$0$

$1$

$2$

$3$

infinitos

infinitely many

Solución:

Si $a=0,$ entonces $f(x)=\sqrt{bx}$ tiene dominio y rango ambos iguales a $[0,\infty),$ así que $a=0$ funciona.

Si $a\gt0$ , el dominio es $({-}\infty,-b/a]\cup[0,\infty)$ , mientras que el rango es $[0,\infty)$ , así que no existe tal $b$ .

Si $a\lt0,$ el dominio es $[0,-b/a]$ y el rango es $\left[0,\dfrac{b}{2\sqrt{-a}}\right].$ Igualando los extremos derechos se obtiene $-\dfrac ba=\dfrac{b}{2\sqrt{-a}},$ así que $2\sqrt{-a}=-a,$ lo que da $a=-4.$

Por lo tanto, hay $2$ valores de $a,$ y la respuesta correcta es C.

If $a=0,$ then $f(x)=\sqrt{bx}$ has domain and range both $[0,\infty),$ so $a=0$ works.

If $a\gt0$ , the domain is $({-}\infty,-b/a]\cup[0,\infty)$ , while the range is $[0,\infty)$ , so no such $b$ exists.

If $a\lt0,$ the domain is $[0,-b/a]$ and the range is $\left[0,\dfrac{b}{2\sqrt{-a}}\right].$ Equating the right endpoints gives $-\dfrac ba=\dfrac{b}{2\sqrt{-a}},$ so $2\sqrt{-a}=-a,$ giving $a=-4.$

Thus there are $2$ values of $a,$ and the correct answer is C.

2003 AMC 12A Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años