Question

Los círculos $\omega_1,$ $\omega_2,$ y $\omega_3$ tienen cada uno radio $4$ y están colocados en el plano de modo que cada círculo es tangente externamente a los otros dos. Los puntos $P_1,$ $P_2,$ y $P_3$ están sobre $\omega_1,$ $\omega_2,$ y $\omega_3,$ respectivamente, de modo que $P_1P_2=P_2P_3=P_3P_1$ y la recta $P_iP_{i+1}$ es tangente a $\omega_i$ para cada $i=1,2,3,$ donde $P_4=P_1.$ Ver la figura de abajo. El área del $\triangle P_1P_2P_3$ se puede escribir en la forma $\sqrt{a}+\sqrt{b},$ donde $a$ y $b$ son enteros positivos. ¿Cuánto vale $a+b$ ?

Circles $\omega_1,$ $\omega_2,$ and $\omega_3$ each have radius $4$ and are placed in the plane so that each circle is externally tangent to the other two. Points $P_1,$ $P_2,$ and $P_3$ lie on $\omega_1,$ $\omega_2,$ and $\omega_3,$ respectively, so that $P_1P_2=P_2P_3=P_3P_1$ and line $P_iP_{i+1}$ is tangent to $\omega_i$ for each $i=1,2,3,$ where $P_4=P_1.$ See the figure below. The area of $\triangle P_1P_2P_3$ can be written in the form $\sqrt{a}+\sqrt{b},$ where $a$ and $b$ are positive integers. What is $a+b?$

$546$

$548$

$550$

$552$

$554$

Solución:

Sea $O_i$ el centro de $\omega_i,$ y sea $K$ la intersección de las rectas $O_1P_1$ y $O_2P_2.$ Como $\angle P_1P_2P_3=60^\circ,$ el triángulo $P_2KP_1$ es un triángulo $30$ - $60$ - $90^\circ$ . Con $d=P_1K,$ obtenemos $P_2K=2d$ y $P_1P_2=\sqrt3\,d.$

La ley de cosenos en el $\triangle O_1KO_2$ (con $O_1O_2=8$ ) da $\begin{gathered} 8^2=(d+4)^2+(2d-4)^2 \\ {}-2(d+4)(2d-4)\cos60^\circ, \end{gathered}$ que se simplifica a $3d^2-12d-16=0,$ por lo que $d=2+\tfrac23\sqrt{21}.$

Entonces $P_1P_2=\sqrt3\,d=2\sqrt3+2\sqrt7,$ y el área es $\begin{gathered} \dfrac{\sqrt3}{4}\left(2\sqrt3+2\sqrt7\right)^2 \\ =10\sqrt3+6\sqrt7 \\ =\sqrt{300}+\sqrt{252}. \end{gathered}$

Así que $a+b=300+252=552.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $O_i$ be the center of $\omega_i,$ and let $K$ be the intersection of lines $O_1P_1$ and $O_2P_2.$ Because $\angle P_1P_2P_3=60^\circ,$ triangle $P_2KP_1$ is a $30$ - $60$ - $90^\circ$ triangle. With $d=P_1K,$ we get $P_2K=2d$ and $P_1P_2=\sqrt3\,d.$

The Law of Cosines in $\triangle O_1KO_2$ (with $O_1O_2=8$ ) gives $\begin{gathered} 8^2=(d+4)^2+(2d-4)^2 \\ {}-2(d+4)(2d-4)\cos60^\circ, \end{gathered}$ which simplifies to $3d^2-12d-16=0,$ so $d=2+\tfrac23\sqrt{21}.$

Then $P_1P_2=\sqrt3\,d=2\sqrt3+2\sqrt7,$ and the area is $\begin{gathered} \dfrac{\sqrt3}{4}\left(2\sqrt3+2\sqrt7\right)^2 \\ =10\sqrt3+6\sqrt7 \\ =\sqrt{300}+\sqrt{252}. \end{gathered}$

So $a+b=300+252=552.$

Thus, the correct answer is D.

2018 AMC 12B Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años