Question

Un pentágono regular con área $\sqrt{5}+1$ se imprime en papel y se recorta. Los cinco vértices del pentágono se doblan hacia el centro del pentágono, creando un pentágono más pequeño. ¿Cuál es el área del nuevo pentágono?

A regular pentagon with area $\sqrt{5}+1$ is printed on paper and cut out. The five vertices of the pentagon are folded into the center of the pentagon, creating a smaller pentagon. What is the area of the new pentagon?

$4-\sqrt{5}$

$\sqrt{5}-1$

$8-3\sqrt{5}$

$\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$

$\dfrac{2+\sqrt{5}}{3}$

Solución:

Sea el circunradio del pentágono original $R.$ Doblar un vértice hacia el centro crea un pliegue a lo largo de la mediatriz del segmento que va del centro a ese vértice, una recta a distancia $\tfrac{R}{2}$ del centro. Los cinco pliegues delimitan un pentágono regular con apotema $\tfrac{R}{2},$ mientras que el original tiene apotema $R\cos 36^\circ.$ Las áreas escalan como el cuadrado de la apotema, así que la razón es $\frac{(R/2)^2}{(R\cos 36^\circ)^2}=\frac{1}{4\cos^2 36^\circ}.$ Como $\cos 36^\circ=\tfrac{1+\sqrt5}{4},$ esta razón es $\tfrac{4}{(1+\sqrt5)^2}$ $=\tfrac{4}{6+2\sqrt5}$ $=\tfrac{2}{3+\sqrt5}$ $=\tfrac{3-\sqrt5}{2}.$ Multiplicando por el área original $\sqrt5+1$ se obtiene $\tfrac{(3-\sqrt5)(\sqrt5+1)}{2}$ $=\tfrac{2\sqrt5-2}{2}$ $=\sqrt5-1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the original pentagon have circumradius $R.$ Folding a vertex to the center creases along the perpendicular bisector of the segment from the center to that vertex, a line at distance $\tfrac{R}{2}$ from the center. The five creases bound a regular pentagon with apothem $\tfrac{R}{2},$ whereas the original has apothem $R\cos 36^\circ.$ Areas scale as the square of the apothem, so the ratio is $\frac{(R/2)^2}{(R\cos 36^\circ)^2}=\frac{1}{4\cos^2 36^\circ}.$ Since $\cos 36^\circ=\tfrac{1+\sqrt5}{4},$ this ratio is $\tfrac{4}{(1+\sqrt5)^2}$ $=\tfrac{4}{6+2\sqrt5}$ $=\tfrac{2}{3+\sqrt5}$ $=\tfrac{3-\sqrt5}{2}.$ Multiplying by the original area $\sqrt5+1$ gives $\tfrac{(3-\sqrt5)(\sqrt5+1)}{2}$ $=\tfrac{2\sqrt5-2}{2}$ $=\sqrt5-1.$

Thus, the correct answer is B.

2023 AMC 12B Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años