Question

La sucesión $(a_n)$ se define recursivamente por $a_0=1,$ $a_1=\sqrt[19]{2},$ y $a_n=a_{n-1}a_{n-2}^2$ para $n\ge2.$ ¿Cuál es el menor entero positivo $k$ tal que el producto $a_1a_2\cdots a_k$ es un entero?

The sequence $(a_n)$ is defined recursively by $a_0=1,$ $a_1=\sqrt[19]{2},$ and $a_n=a_{n-1}a_{n-2}^2$ for $n\ge2.$ What is the smallest positive integer $k$ such that the product $a_1a_2\cdots a_k$ is an integer?

$17$

$18$

$19$

$20$

$21$

Solución:

Escribe $a_n=2^{b_n/19}.$ La recursión se convierte en $b_0=0,$ $b_1=1,$ $b_n=b_{n-1}+2b_{n-2},$ que se resuelve como $b_n=\tfrac13\bigl(2^n-(-1)^n\bigr).$ El producto $a_1\cdots a_k$ es un entero exactamente cuando $19\mid b_1+\cdots+b_k.$ Para valores impares de $k,$ esta suma es igual a $\tfrac13(2^{k+1}-1),$ que es múltiplo de $19$ exactamente cuando $19\mid2^{k+1}-1,$ es decir, cuando el orden de $2$ módulo $19,$ a saber $18,$ divide a $k+1.$ El menor $k$ impar así es $k+1=18,$ por lo que $k=17.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Write $a_n=2^{b_n/19}.$ The recursion becomes $b_0=0,$ $b_1=1,$ $b_n=b_{n-1}+2b_{n-2},$ solved by $b_n=\tfrac13\bigl(2^n-(-1)^n\bigr).$ The product $a_1\cdots a_k$ is an integer exactly when $19\mid b_1+\cdots+b_k.$ For odd $k,$ this sum equals $\tfrac13(2^{k+1}-1),$ which is a multiple of $19$ exactly when $19\mid2^{k+1}-1,$ i.e. when the order of $2$ modulo $19,$ namely $18,$ divides $k+1.$ The smallest such odd $k$ is $k+1=18,$ so $k=17.$

Thus, the correct answer is A.

2016 AMC 12B Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años