Question

Si $q_1(x)$ y $r_1$ son, respectivamente, el cociente y el residuo al dividir el polinomio $x^8$ entre $x+\frac12,$ y $q_2(x)$ y $r_2$ son, respectivamente, el cociente y el residuo al dividir $q_1(x)$ entre $x+\frac12,$ entonces $r_2$ es igual a

If $q_1(x)$ and $r_1$ are the quotient and remainder, respectively, when the polynomial $x^8$ is divided by $x+\frac12,$ and if $q_2(x)$ and $r_2$ are the quotient and remainder, respectively, when $q_1(x)$ is divided by $x+\frac12,$ then $r_2$ equals

$\frac1{256}$

$-\frac1{16}$

$1$

$-16$

$256$

Respuesta: B

Conceptos:polinomio factorización sustitución

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Sea $a=-\frac12$ y expresa el primer cociente usando $x^8-a^8$

Let $a=-\frac12$ and express the first quotient using $x^8-a^8$

Pista grande:

Aplica el teorema del residuo a $q_1(x)$ en $x=a$

Apply the remainder theorem to $q_1(x)$ at $x=a$

Solución:

Sea $a=-\frac{1}{2}.$ Como el primer residuo es $a^8,$ $\begin{aligned} q_1(x)&=\frac{x^8-a^8}{x-a}\\ &=x^7+ax^6+\cdots+a^7. \end{aligned}$ Por tanto, el segundo residuo es $\begin{aligned} q_1(a)&=8a^7\\ &=8(-\frac{1}{2})^7\\ &=-\frac{1}{16}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $a=-\frac{1}{2}.$ Since the first remainder is $a^8,$ $\begin{aligned} q_1(x)&=\frac{x^8-a^8}{x-a}\\ &=x^7+ax^6+\cdots+a^7. \end{aligned}$ Therefore the second remainder is $\begin{aligned} q_1(a)&=8a^7\\ &=8(-\frac{1}{2})^7\\ &=-\frac{1}{16}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is B.

1979 AMC 12 Problema 25

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 25 en otros años