Soluciones del 1979 AMC 12 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Si el rectángulo $ABCD$ tiene un área de $72$ metros cuadrados y $E$ y $G$ son los puntos medios de los lados $AD$ y $CD,$ respectivamente, entonces el área del rectángulo $DEFG$ , en metros cuadrados, es

If rectangle $ABCD$ has area $72$ square meters and $E$ and $G$ are the midpoints of sides $AD$ and $CD,$ respectively, then the area of rectangle $DEFG$ in square meters is

$8$

$9$

$12$

$18$

$24$

Conceptos:rectángulo punto medio área

Nivel de dificultad: 840

Pista pequeña:

Las dos condiciones de punto medio reducen a la mitad las longitudes de los lados correspondientes

The two midpoint conditions halve the relevant side lengths

Pista grande:

Compara el factor de escala de las áreas de $DEFG$ y $ABCD$

Compare the area scale factor of $DEFG$ with that of $ABCD$

Solución:

Las longitudes de los lados de $DEFG$ son la mitad de las longitudes correspondientes de $ABCD.$ Por lo tanto, su área es $(\frac{1}{2})(\frac{1}{2})=\frac{1}{4}$ de $72,$ es decir, $18.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The side lengths of $DEFG$ are one half the corresponding side lengths of $ABCD.$ Its area is therefore $(\frac{1}{2})(\frac{1}{2})=\frac{1}{4}$ of $72,$ which is $18.$

Therefore, the correct answer is D.

2.

Para todos los números reales no nulos $x$ y $y$ tales que $x-y=xy,$ el valor de $\frac1x-\frac1y$ es

For all nonzero real numbers $x$ and $y$ such that $x-y=xy,$ $\frac1x-\frac1y$ equals

$\frac1{xy}$

$\frac1{x-y}$

$0$

$-1$

$y-x$

Conceptos:fracción manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Combina los dos recíprocos usando el denominador $xy$

Combine the two reciprocals over the denominator $xy$

Pista grande:

Usa la ecuación dada para sustituir $y-x$

Use the given equation to replace $y-x$

Solución:

Tenemos $\begin{aligned} \frac1x-\frac1y&=\frac{y-x}{xy}\\ &=-\frac{x-y}{xy}\\ &=-1, \end{aligned}$ porque $x-y=xy.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

We have $\begin{aligned} \frac1x-\frac1y&=\frac{y-x}{xy}\\ &=-\frac{x-y}{xy}\\ &=-1, \end{aligned}$ because $x-y=xy.$

Therefore, the correct answer is D.

3.

En la figura adjunta, $ABCD$ es un cuadrado, $ABE$ es un triángulo equilátero y el punto $E$ está fuera del cuadrado $ABCD.$ ¿Cuál es la medida de $\angle AED$ en grados?

In the adjoining figure, $ABCD$ is a square, $ABE$ is an equilateral triangle and point $E$ is outside square $ABCD.$ What is the measure of $\angle AED$ in degrees?

$10$

$12.5$

$15$

$20$

$25$

Conceptos:cuadrado (geometría)triángulo equilátero triángulo isósceles persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

Compara $DA,$ $AB,$ y $AE$

Compare $DA,$ $AB,$ and $AE$

Pista grande:

Halla $\angle DAE$ y luego usa los ángulos de la base del triángulo isósceles $\triangle DAE$

Find $\angle DAE$ , then use the base angles of isosceles $\triangle DAE$

Solución:

El cuadrado y el triángulo equilátero dan $DA=AB=AE.$ Además, $\begin{aligned} \angle DAE &=\angle DAB+\angle BAE\\ &=90^\circ+60^\circ\\ &=150^\circ. \end{aligned}$ Así, $\triangle DAE$ es isósceles y cada ángulo de la base mide $\frac{180^\circ-150^\circ}{2}=15^\circ.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The square and equilateral triangle give $DA=AB=AE.$ Also $\begin{aligned} \angle DAE &=\angle DAB+\angle BAE\\ &=90^\circ+60^\circ\\ &=150^\circ. \end{aligned}$ Thus $\triangle DAE$ is isosceles, and each base angle is $\frac{180^\circ-150^\circ}{2}=15^\circ.$

Therefore, the correct answer is C.

4.

Para todo número real $x,$ la expresión $x[x\{x(2-x)-4\}+10]+1$ es igual a

For all real numbers $x,$ $x[x\{x(2-x)-4\}+10]+1$ equals

$-x^4+2x^3+4x^2+10x+1$

$-x^4-2x^3+4x^2+10x+1$

$-x^4-2x^3-4x^2+10x+1$

$-x^4-2x^3-4x^2-10x+1$

$-x^4+2x^3-4x^2+10x+1$

Conceptos:polinomio propiedad distributiva manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

Desarrolla desde los paréntesis más internos hacia afuera

Expand from the innermost parentheses outward

Pista grande:

Lleva la cuenta por separado de los dos factores externos $x$

Track the outer two factors of $x$ separately

Solución:

Al desarrollar desde adentro hacia afuera se obtiene $\begin{aligned} &x[x\{x(2-x)-4\}+10]+1\\ &\quad=x[x(2x-x^2-4)+10]+1\\ &\quad=-x^4+2x^3-4x^2\\ &\qquad+10x+1. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Expanding from the inside gives $\begin{aligned} &x[x\{x(2-x)-4\}+10]+1\\ &\quad=x[x(2x-x^2-4)+10]+1\\ &\quad=-x^4+2x^3-4x^2\\ &\qquad+10x+1. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is E.

5.

Halla la suma de los dígitos del mayor número par de tres cifras (en representación de base diez) que no cambia cuando se intercambian sus cifras de unidades y centenas.

Find the sum of the digits of the largest even three digit number (in base ten representation) which is not changed when its units and hundreds digits are interchanged.

$22$

$23$

$24$

$25$

$26$

Conceptos:dígitos valor posicional paridad

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Las cifras de centenas y unidades deben ser iguales

The hundreds and units digits must be equal

Pista grande:

Maximiza las cifras exteriores iguales bajo la condición de que el número sea par y luego maximiza la cifra de las decenas

Maximize the equal outer digits subject to the number being even, then maximize the tens digit

Solución:

La cifra común de centenas y unidades debe ser par. La mayor cifra no nula posible es $8,$ y la cifra de las decenas puede ser $9.$ Por lo tanto, el mayor número es $898,$ y la suma de sus cifras es $8+9+8=25.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The equal hundreds and units digit must be even. The largest possible nonzero such digit is $8,$ and the tens digit can be $9.$ Thus the largest number is $898,$ whose digit sum is $8+9+8=25.$

Therefore, the correct answer is D.

6.

$\frac32+\frac54+\frac98+\frac{17}{16}$ $+\frac{33}{32}+\frac{65}{64}-7=$

$-\frac1{64}$

$-\frac1{16}$

$0$

$\frac1{16}$

$\frac1{64}$

Conceptos:fracción sucesión geométrica sumatoria

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Escribe cada fracción como $1$ más el recíproco de una potencia de $2$

Write each fraction as $1$ plus a reciprocal power of $2$

Pista grande:

Suma $\frac12+\frac14+\cdots+\frac1{64}$ como una serie geométrica finita

Sum $\frac12+\frac14+\cdots+\frac1{64}$ as a finite geometric series

Solución:

Cada numerador es una unidad mayor que su denominador, así que la expresión es $\begin{aligned} 6+\biggl(&\frac12+\frac14+\frac18\\ &+\frac1{16}+\frac1{32}+\frac1{64}\biggr)-7. \end{aligned}$ La suma geométrica entre paréntesis es $1-\frac{1}{64}=\frac{63}{64}.$ Por lo tanto, el valor es $6+\frac{63}{64}-7=-\frac{1}{64}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Each numerator is one more than its denominator, so the expression is $\begin{aligned} 6+\biggl(&\frac12+\frac14+\frac18\\ &+\frac1{16}+\frac1{32}+\frac1{64}\biggr)-7. \end{aligned}$ The parenthesized geometric sum is $1-\frac{1}{64}=\frac{63}{64}.$ Therefore the value is $6+\frac{63}{64}-7=-\frac{1}{64}.$

Therefore, the correct answer is A.

7.

El cuadrado de un entero se llama cuadrado perfecto. Si $x$ es un cuadrado perfecto, el siguiente cuadrado perfecto mayor es

The square of an integer is called a perfect square. If $x$ is a perfect square, the next larger perfect square is

$x+1$

$x^2+1$

$x^2+2x+1$

$x^2+x$

$x+2\sqrt x+1$

Conceptos:cuadrado perfecto manipulación algebraica reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1100

Pista pequeña:

Escribe $x=n^2$ para algún entero no negativo $n$

Write $x=n^2$ for a nonnegative integer $n$

Pista grande:

Desarrolla el siguiente cuadrado $(n+1)^2$ y sustituye $n$ por $\sqrt x$

Expand the next square $(n+1)^2$ and replace $n$ by $\sqrt x$

Solución:

Sea $x=n^2$ con $n\ge0.$ El siguiente cuadrado perfecto mayor es $\begin{aligned} (n+1)^2&=n^2+2n+1\\ &=x+2\sqrt x+1. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $x=n^2$ with $n\ge0.$ The next larger perfect square is $\begin{aligned} (n+1)^2&=n^2+2n+1\\ &=x+2\sqrt x+1. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is E.

8.

Halla el área de la región más pequeña limitada por las gráficas de $y=|x|$ y $x^2+y^2=4.$

Find the area of the smallest region bounded by the graphs of $y=|x|$ and $x^2+y^2=4.$

$\frac\pi4$

$\frac{3\pi}4$

$\pi$

$\frac{3\pi}2$

$2\pi$

Conceptos:círculo valor absoluto sector circular área del círculo

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Los dos rayos de $y=|x|$ se encuentran en el centro del círculo

The two rays of $y=|x|$ meet at the center of the circle

Pista grande:

Halla el menor ángulo central entre los rayos $y=x$ y $y=-x$

Find the smaller central angle between the rays $y=x$ and $y=-x$

Solución:

Los dos rayos llegan al círculo en las direcciones angulares $45^\circ$ y $135^\circ,$ de modo que la región limitada más pequeña es un sector de $90^\circ$ del círculo de radio $2$ . Su área es $\frac{90^\circ}{360^\circ}\pi(2)^2=\pi.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The two rays meet the circle at angles $45^\circ$ and $135^\circ,$ so the smallest bounded region is a $90^\circ$ sector of the radius- $2$ circle. Its area is $\frac{90^\circ}{360^\circ}\pi(2)^2=\pi.$

Therefore, the correct answer is C.

9.

El producto de $\sqrt[3]{4}$ y $\sqrt[4]{8}$ es igual a

The product of $\sqrt[3]{4}$ and $\sqrt[4]{8}$ equals

$\sqrt[7]{12}$

$2\sqrt[7]{12}$

$\sqrt[7]{32}$

$\sqrt[12]{32}$

$2\sqrt[12]{32}$

Conceptos:radical exponente manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Escribe ambos radicandos como potencias de $2$

Rewrite both radicands as powers of $2$

Pista grande:

Suma los exponentes $\frac23$ y $\frac34$ , y luego separa la parte entera

Add the exponents $\frac23$ and $\frac34$ , then separate the integer part

Solución:

Al escribir ambos radicales como potencias de $2$ , obtenemos $\begin{aligned} 4^{\frac{1}{3}}8^{\frac{1}{4}} &=2^{\frac{2}{3}}2^{\frac{3}{4}}\\ &=2^{\frac{17}{12}}\\ &=2\sqrt[12]{2^5}\\ &=2\sqrt[12]{32}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Writing both radicals as powers of $2$ gives $\begin{aligned} 4^{\frac{1}{3}}8^{\frac{1}{4}} &=2^{\frac{2}{3}}2^{\frac{3}{4}}\\ &=2^{\frac{17}{12}}\\ &=2\sqrt[12]{2^5}\\ &=2\sqrt[12]{32}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is E.

10.

Si $P_1P_2P_3P_4P_5P_6$ es un hexágono regular cuya apotema (distancia del centro al punto medio de un lado) es $2,$ y $Q_i$ es el punto medio del lado $P_iP_{i+1}$ para $i=1,$ $2,$ $3,$ y $4,$ entonces el área del cuadrilátero $Q_1Q_2Q_3Q_4$ es

If $P_1P_2P_3P_4P_5P_6$ is a regular hexagon whose apothem (distance from the center to the midpoint of a side) is $2,$ and $Q_i$ is the midpoint of side $P_iP_{i+1}$ for $i=1,$ $2,$ $3,$ $4,$ then the area of quadrilateral $Q_1Q_2Q_3Q_4$ is

$6$

$2\sqrt6$

$\frac{8\sqrt3}{3}$

$3\sqrt3$

$4\sqrt3$

Conceptos:polígono regular triángulo equilátero descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Los puntos $Q_i$ están sobre un círculo cuyo radio es igual a la apotema

The points $Q_i$ lie on a circle of radius equal to the apothem

Pista grande:

Une el centro con los cuatro puntos medios consecutivos y descompón el cuadrilátero

Join the center to the four consecutive side midpoints and decompose the quadrilateral

Solución:

Sea $O$ el centro. Las apotemas consecutivas $OQ_i$ y $OQ_{i+1}$ tienen longitud $2$ y forman un ángulo de $60^\circ$ , por lo que cada $\triangle OQ_iQ_{i+1}$ es equilátero de lado $2.$ El cuadrilátero es la unión de tres de estos triángulos y, por tanto, tiene área $3\left(\frac{\sqrt3}{4}\cdot2^2\right)=3\sqrt3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $O$ be the center. Consecutive apothems $OQ_i$ and $OQ_{i+1}$ have length $2$ and form a $60^\circ$ angle, so each $\triangle OQ_iQ_{i+1}$ is equilateral of side $2.$ The quadrilateral is the union of three such triangles, and hence has area $3\left(\frac{\sqrt3}{4}\cdot2^2\right)=3\sqrt3.$

Therefore, the correct answer is D.

11.

Halla una solución entera positiva de la ecuación $\frac{\substack{1+3+5+\cdots\\{}+(2n-1)}} {\substack{2+4+6+\cdots\\{}+2n}}=\frac{115}{116}.$

Find a positive integral solution to the equation $\frac{\substack{1+3+5+\cdots\\{}+(2n-1)}} {\substack{2+4+6+\cdots\\{}+2n}}=\frac{115}{116}.$

$110$

$115$

$116$

$231$

La ecuación no tiene soluciones enteras positivas.

The equation has no positive integral solutions.

Conceptos:suma de los primeros n números impares sumatoria ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Usa las sumas de los primeros $n$ enteros positivos impares y de los primeros $n$ enteros positivos pares

Use the sums of the first $n$ odd and first $n$ even positive integers

Pista grande:

La fracción se simplifica a $\frac{n}{n+1}$

The fraction simplifies to $\frac{n}{n+1}$

Solución:

El numerador es $n^2,$ y el denominador es $n(n+1).$ Por tanto, $\frac{n}{n+1}=\frac{115}{116},$ lo que da $116n=115n+115,$ y así $n=115.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The numerator is $n^2,$ and the denominator is $n(n+1).$ Thus $\frac{n}{n+1}=\frac{115}{116},$ which gives $116n=115n+115,$ so $n=115.$

Therefore, the correct answer is B.

12.

En la figura adjunta, $CD$ es el diámetro de un semicírculo con centro $O.$ El punto $A$ está en la prolongación de $DC$ más allá de $C;$ el punto $E$ está en el semicírculo, y $B$ es el punto de intersección (distinto de $E$ ) del segmento $AE$ con el semicírculo. Si la longitud $AB$ es igual a la longitud $OD,$ y la medida de $\angle EOD$ es $45^\circ,$ entonces la medida de $\angle BAO$ es

In the adjoining figure, $CD$ is the diameter of a semicircle with center $O.$ Point $A$ lies on the extension of $DC$ past $C;$ point $E$ lies on the semicircle, and $B$ is the point of intersection (distinct from $E$ ) of line segment $AE$ with the semicircle. If length $AB$ equals length $OD,$ and the measure of $\angle EOD$ is $45^\circ,$ then the measure of $\angle BAO$ is

$10^\circ$

$15^\circ$

$20^\circ$

$25^\circ$

$30^\circ$

Conceptos:círculo triángulo isósceles persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 1980

Pista pequeña:

Sea $y=\angle BAO$ y usa $AB=OB=OE$

Let $y=\angle BAO$ and use $AB=OB=OE$

Pista grande:

Expresa $\angle BOE$ de dos maneras usando los triángulos isósceles y el ángulo central de $45^\circ$

Express $\angle BOE$ in two ways using the isosceles triangles and the $45^\circ$ central angle

Solución:

Sea $y=\angle BAO.$ Como $AB=OB,$ se tiene $\angle AOB=y,$ y por ello $\angle EBO=2y.$ Además, $OB=OE,$ así que $\angle BEO=2y$ y $\angle BOE=180^\circ-4y.$ Por otra parte, $\angle BOD=180^\circ-y,$ de modo que $\angle BOE=135^\circ-y.$ Por tanto, $180^\circ-4y=135^\circ-y,$ lo que da $y=15^\circ.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $y=\angle BAO.$ Since $AB=OB,$ $\angle AOB=y,$ so $\angle EBO=2y.$ Also $OB=OE,$ hence $\angle BEO=2y$ and $\angle BOE=180^\circ-4y.$ On the other hand, $\angle BOD=180^\circ-y,$ so $\angle BOE=135^\circ-y.$ Therefore $180^\circ-4y=135^\circ-y,$ giving $y=15^\circ.$

Therefore, the correct answer is B.

13.

La desigualdad $y-x\lt\sqrt{x^2}$ se satisface si y solo si

The inequality $y-x\lt\sqrt{x^2}$ is satisfied if and only if

$y\lt0$ o $y\lt2x$ (o se cumplen ambas desigualdades)

$y\lt0$ or $y\lt2x$ (or both inequalities hold)

$y\gt0$ o $y\lt2x$ (o se cumplen ambas desigualdades)

$y\gt0$ or $y\lt2x$ (or both inequalities hold)

$y^2\lt2xy$

$y\lt0$

$x\gt0$ y $y\lt2x$

$x\gt0$ and $y\lt2x$

Conceptos:valor absoluto desigualdad análisis por casos

Nivel de dificultad: 1650

Pista pequeña:

Sustituye $\sqrt{x^2}$ por $|x|$

Replace $\sqrt{x^2}$ by $|x|$

Pista grande:

Separa los casos $x\ge0$ y $x\lt0$ , y luego combina las regiones obtenidas

Separate the cases $x\ge0$ and $x\lt0$ , then combine the resulting regions

Solución:

Si $x\ge0,$ la desigualdad se convierte en $y-x\lt x,$ o bien $y\lt2x.$ Si $x\lt0,$ se convierte en $y-x\lt-x,$ o bien $y\lt0.$ Al combinar los dos casos se obtiene exactamente $y\lt0$ o $y\lt2x,$ permitiendo que ambos se cumplan.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

If $x\ge0,$ the inequality becomes $y-x\lt x,$ or $y\lt2x.$ If $x\lt0,$ it becomes $y-x\lt-x,$ or $y\lt0.$ Combining the two cases gives exactly $y\lt0$ or $y\lt2x,$ with overlap allowed.

Therefore, the correct answer is A.

14.

En cierta sucesión de números, el primer número es $1,$ y, para todo $n\ge2,$ el producto de los primeros $n$ números de la sucesión es $n^2.$ La suma del tercer y el quinto número de la sucesión es

In a certain sequence of numbers, the first number is $1,$ and, for all $n\ge2,$ the product of the first $n$ numbers in the sequence is $n^2.$ The sum of the third and the fifth numbers in the sequence is

$\frac{25}{9}$

$\frac{31}{15}$

$\frac{61}{16}$

$\frac{576}{225}$

$34$

Conceptos:manipulación algebraica fracción reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Divide el producto de los primeros $n$ términos entre el producto de los primeros $n-1$ términos

Divide the product of the first $n$ terms by the product of the first $n-1$ terms

Pista grande:

Esto da directamente el término $n$ -ésimo como un cociente de dos cuadrados

This gives the $n$ th term directly as a ratio of two squares

Solución:

Para $n\ge2,$ el término $n$ -ésimo es $a_n=\frac{n^2}{(n-1)^2}.$ Por lo tanto, $a_3=\frac{9}{4}$ y $a_5=\frac{25}{16},$ cuya suma es $\frac{36}{16}+\frac{25}{16}=\frac{61}{16}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

For $n\ge2,$ the $n$ th term is $a_n=\frac{n^2}{(n-1)^2}.$ Therefore $a_3=\frac{9}{4}$ and $a_5=\frac{25}{16},$ whose sum is $\frac{36}{16}+\frac{25}{16}=\frac{61}{16}.$

Therefore, the correct answer is C.

15.

Dos frascos idénticos se llenan con soluciones de alcohol; en uno, la razón del volumen de alcohol al volumen de agua es $p:1$ , y en el otro es $q:1$ . Si se mezcla todo el contenido de los dos frascos, la razón del volumen de alcohol al volumen de agua en la mezcla es

Two identical jars are filled with alcohol solutions, the ratio of the volume of alcohol to the volume of water being $p:1$ in one jar and $q:1$ in the other jar. If the entire contents of the two jars are mixed together, the ratio of the volume of alcohol to the volume of water in the mixture is

$\frac{p+q}{2}$

$\frac{p^2+q^2}{p+q}$

$\frac{2pq}{p+q}$

$\frac{2(p^2+pq+q^2)}{3(p+q)}$

$\frac{p+q+2pq}{p+q+2}$

Conceptos:mezcla razón y proporción fracción

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Asigna el mismo volumen total a cada frasco y convierte cada razón en fracciones de alcohol y de agua

Assign the same total volume to each jar and convert each ratio to alcohol and water fractions

Pista grande:

Suma las dos cantidades de alcohol y las dos cantidades de agua antes de formar su razón

Add the two alcohol amounts and the two water amounts before forming their ratio

Solución:

Para volúmenes totales iguales, las fracciones de alcohol son $\frac{p}{p+1}$ y $\frac{q}{q+1},$ mientras que las fracciones de agua son $\frac{1}{p+1}$ y $\frac{1}{q+1}.$ Su razón es $\frac{\frac p{p+1}+\frac q{q+1}} {\frac1{p+1}+\frac1{q+1}} =\frac{p+q+2pq}{p+q+2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

For equal total volumes, the alcohol fractions are $\frac{p}{p+1}$ and $\frac{q}{q+1},$ while the water fractions are $\frac{1}{p+1}$ and $\frac{1}{q+1}.$ Their ratio is $\frac{\frac p{p+1}+\frac q{q+1}} {\frac1{p+1}+\frac1{q+1}} =\frac{p+q+2pq}{p+q+2}.$

Therefore, the correct answer is E.

16.

Un círculo de área $A_1$ está contenido en el interior de un círculo mayor de área $A_1+A_2.$ Si el radio del círculo mayor es $3,$ y $A_1,$ $A_2,$ y $A_1+A_2$ forman una progresión aritmética, entonces el radio del círculo menor es

A circle with area $A_1$ is contained in the interior of a larger circle with area $A_1+A_2.$ If the radius of the larger circle is $3,$ and if $A_1,$ $A_2,$ $A_1+A_2$ is an arithmetic progression, then the radius of the smaller circle is

$\frac{\sqrt3}{2}$

$1$

$\frac2{\sqrt3}$

$\frac32$

$\sqrt3$

Conceptos:área del círculo sucesión aritmética manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Usa la condición del término medio para las tres áreas en progresión aritmética

Use the middle-term condition for the three areas in arithmetic progression

Pista grande:

Expresa el área del círculo mayor como un múltiplo de $A_1$

Express the larger circle’s area as a multiple of $A_1$

Solución:

La condición de progresión da $2A_2=A_1+(A_1+A_2),$ por lo que $A_2=2A_1.$ Así, el área mayor es $3A_1=9\pi,$ y $A_1=3\pi.$ Si el radio menor es $r,$ entonces $\pi r^2=3\pi,$ y por ello $r=\sqrt3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The progression condition gives $2A_2=A_1+(A_1+A_2),$ so $A_2=2A_1.$ Hence the larger area is $3A_1=9\pi,$ and $A_1=3\pi.$ If the smaller radius is $r,$ then $\pi r^2=3\pi,$ so $r=\sqrt3.$

Therefore, the correct answer is E.

17.

Los puntos $A,$ $B,$ $C,$ y $D$ son distintos y están, en ese orden, sobre una recta. Los segmentos $AB,$ $AC,$ y $AD$ tienen longitudes $x,$ $y,$ y $z,$ respectivamente. Si los segmentos $AB$ y $CD$ pueden girarse alrededor de los puntos $B$ y $C,$ respectivamente, de modo que los puntos $A$ y $D$ coincidan para formar un triángulo de área positiva, ¿cuáles de las siguientes tres desigualdades deben satisfacerse? $\begin{aligned} &\text{I. }x\lt\frac z2\\ &\text{II. }y\lt x+\frac z2\\ &\text{III. }y\lt\frac z2 \end{aligned}$

Points $A,$ $B,$ $C,$ and $D$ are distinct and lie, in the given order, on a straight line. Line segments $AB,$ $AC,$ and $AD$ have lengths $x,$ $y,$ and $z,$ respectively. If line segments $AB$ and $CD$ may be rotated about points $B$ and $C,$ respectively, so that points $A$ and $D$ coincide, to form a triangle with positive area, then which of the following three inequalities must be satisfied? $\begin{aligned} &\text{I. }x\lt\frac z2\\ &\text{II. }y\lt x+\frac z2\\ &\text{III. }y\lt\frac z2 \end{aligned}$

solo $\mathrm{I}$

$\mathrm{I}$ only

solo $\mathrm{II}$

$\mathrm{II}$ only

solo $\mathrm{I}$ y $\mathrm{II}$

$\mathrm{I}$ and $\mathrm{II}$ only

solo $\mathrm{II}$ y $\mathrm{III}$

$\mathrm{II}$ and $\mathrm{III}$ only

$\mathrm{I},$ $\mathrm{II}$ y $\mathrm{III}$

$\mathrm{I},$ $\mathrm{II}$ and $\mathrm{III}$

Conceptos:desigualdad triangular análisis por casos deducción lógica

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Después de los giros, identifica las longitudes de los tres lados del nuevo triángulo

After the rotations, identify the three side lengths of the new triangle

Pista grande:

Aplica las tres desigualdades estrictas del triángulo a $x,$ $y-x,$ y $z-y$

Apply all three strict triangle inequalities to $x,$ $y-x,$ and $z-y$

Solución:

El nuevo triángulo tiene lados de longitudes $x,$ $y-x,$ y $z-y.$ Sus desigualdades del triángulo dan $\begin{aligned} x&\lt(y-x)+(z-y),\\ &\Longrightarrow x\lt \frac{z}{2};\\ y-x&\lt x+(z-y),\\ &\Longrightarrow y\lt x+\frac{z}{2};\\ z-y&\lt x+(y-x),\\ &\Longrightarrow y\gt \frac{z}{2}. \end{aligned}$ Por tanto, I y II deben cumplirse, mientras que III debe fallar.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The new triangle has side lengths $x,$ $y-x,$ and $z-y.$ Its triangle inequalities give $\begin{aligned} x&\lt(y-x)+(z-y),\\ &\Longrightarrow x\lt \frac{z}{2};\\ y-x&\lt x+(z-y),\\ &\Longrightarrow y\lt x+\frac{z}{2};\\ z-y&\lt x+(y-x),\\ &\Longrightarrow y\gt \frac{z}{2}. \end{aligned}$ Thus I and II must hold, while III must fail.

Therefore, the correct answer is C.

18.

Redondeados a la milésima más cercana, $\log_{10}2$ es $0.301$ y $\log_{10}3$ es $0.477.$ ¿Cuál de los siguientes valores es la mejor aproximación de $\log_5 10$ ?

To the nearest thousandth, $\log_{10}2$ is $0.301$ and $\log_{10}3$ is $0.477.$ Which of the following is the best approximation of $\log_5 10?$

$\frac87$

$\frac97$

$\frac{10}{7}$

$\frac{11}{7}$

$\frac{12}{7}$

Conceptos:logaritmo estimación fracción

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Usa $\log_{10}5=1-\log_{10}2$

Use $\log_{10}5=1-\log_{10}2$

Pista grande:

Aplica el cambio de base y luego compara el resultado decimal con las cinco fracciones

Apply change of base, then compare the decimal result with the five fractions

Solución:

Tenemos $\log_{10}5\approx1-0.301=0.699.$ Por lo tanto, $\begin{aligned} \log_5 10&=\frac1{\log_{10}5}\\ &\approx\frac1{0.699}\\ &\approx1.431. \end{aligned}$ Entre las opciones, $\frac{10}{7}\approx1.429$ es la más cercana.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

We have $\log_{10}5\approx1-0.301=0.699.$ Therefore $\begin{aligned} \log_5 10&=\frac1{\log_{10}5}\\ &\approx\frac1{0.699}\\ &\approx1.431. \end{aligned}$ Of the choices, $\frac{10}{7}\approx1.429$ is closest.

Therefore, the correct answer is C.

19.

Halla la suma de los cuadrados de todos los números reales que satisfacen la ecuación $x^{256}-256^{32}=0.$

Find the sum of the squares of all real numbers satisfying the equation $x^{256}-256^{32}=0.$

$8$

$128$

$512$

$65{,}536$

$2(256^{32})$

Conceptos:exponente potencia perfecta propiedad del producto nulo

Nivel de dificultad: 1650

Pista pequeña:

Reescribe $256^{32}$ como una sola potencia con exponente $256$

Rewrite $256^{32}$ as a single power with exponent $256$

Pista grande:

Determina los dos valores reales cuyas potencias $256$ -ésimas son $2^{256}$

Determine the two real values whose $256$ th powers equal $2^{256}$

Solución:

Como $256=2^8,$ se tiene $256^{32}=2^{256}.$ Así, $(\frac{x}{2})^{256}=1.$ Las soluciones reales son $x=2$ y $x=-2,$ y la suma de sus cuadrados es $4+4=8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Since $256=2^8,$ $256^{32}=2^{256}.$ Thus $(\frac{x}{2})^{256}=1.$ The real solutions are $x=2$ and $x=-2,$ and the sum of their squares is $4+4=8.$

Therefore, the correct answer is A.

20.

Si $a=\frac12$ y $(a+1)(b+1)=2,$ entonces la medida en radianes de $\operatorname{Arctan}a+\operatorname{Arctan}b$ es

If $a=\frac12$ and $(a+1)(b+1)=2,$ then the radian measure of $\operatorname{Arctan}a+\operatorname{Arctan}b$ equals

$\frac\pi2$

$\frac\pi3$

$\frac\pi4$

$\frac\pi5$

$\frac\pi6$

Conceptos:identidad trigonométrica manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Primero despeja $b$ en la ecuación de producto dada

First solve the given product equation for $b$

Pista grande:

Usa la fórmula de adición de tangentes para los dos ángulos positivos de tangente inversa

Use the tangent addition formula on the two positive inverse-tangent angles

Solución:

Al sustituir $a=\frac{1}{2}$ , se obtiene $b=\frac{1}{3}.$ Si $u=\operatorname{Arctan}a$ y $v=\operatorname{Arctan}b,$ entonces $\begin{aligned} \tan(u+v)&=\frac{a+b}{1-ab}\\ &=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{6}}\\ &=1. \end{aligned}$ Ambos ángulos son positivos y su suma es menor que $\frac{\pi}{2},$ de modo que $u+v=\frac{\pi}{4}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Substituting $a=\frac{1}{2}$ gives $b=\frac{1}{3}.$ If $u=\operatorname{Arctan}a$ and $v=\operatorname{Arctan}b,$ then $\begin{aligned} \tan(u+v)&=\frac{a+b}{1-ab}\\ &=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{6}}\\ &=1. \end{aligned}$ Both angles are positive and their sum is less than $\frac{\pi}{2},$ so $u+v=\frac{\pi}{4}.$

Therefore, the correct answer is C.

21.

La hipotenusa de un triángulo rectángulo tiene longitud $h,$ y el radio de su círculo inscrito es $r.$ La razón entre el área del círculo y el área del triángulo es

The length of the hypotenuse of a right triangle is $h,$ and the radius of the inscribed circle is $r.$ The ratio of the area of the circle to the area of the triangle is

$\frac{\pi r}{h+2r}$

$\frac{\pi r}{h+r}$

$\frac{\pi r}{2h+r}$

$\frac{\pi r^2}{h^2+r^2}$

ninguna de estas

none of these

Conceptos:triángulo rectángulo circunferencia inscrita, incentro e inradio área del triángulo

Nivel de dificultad: 1870

Pista pequeña:

Usa la fórmula $K=rs$ para el área de un triángulo

Use the formula $K=rs$ for a triangle’s area

Pista grande:

Para un triángulo rectángulo, relaciona la suma de los catetos con $h$ y $r$

For a right triangle, relate the sum of the legs to $h$ and $r$

Solución:

Si los catetos son $x$ y $y,$ la identidad del inradio de un triángulo rectángulo es $x+y=h+2r.$ Por ello, el semiperímetro es $s=\frac{x+y+h}{2}=h+r.$ El área del triángulo es $rs=r(h+r),$ mientras que el área del círculo es $\pi r^2.$ Su razón es $\frac{\pi r}{h+r}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

If the legs are $x$ and $y,$ then the right-triangle inradius identity is $x+y=h+2r.$ Hence the semiperimeter is $s=\frac{x+y+h}{2}=h+r.$ The triangle’s area is $rs=r(h+r),$ while the circle’s area is $\pi r^2.$ Their ratio is $\frac{\pi r}{h+r}.$

Therefore, the correct answer is B.

22.

Halla el número de pares de enteros $(m,n)$ que satisfacen la ecuación $\begin{aligned} m^3+6m^2+5m &=27n^3+9n^2\\ &\quad+9n+1. \end{aligned}$

Find the number of pairs $(m,n)$ of integers which satisfy the equation $\begin{aligned} m^3+6m^2+5m &=27n^3+9n^2\\ &\quad+9n+1. \end{aligned}$

$0$

$1$

$3$

$9$

infinitos

infinitely many

Conceptos:divisibilidad aritmética modular factorización

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Factoriza el lado izquierdo como $m(m+1)(m+5)$

Factor the left side as $m(m+1)(m+5)$

Pista grande:

Compara ambos lados módulo $3$

Compare the two sides modulo $3$

Solución:

El lado izquierdo es $\begin{gathered} m(m+1)(m+5)\\ =m(m+1)(m+2)\\ \quad+3m(m+1), \end{gathered}$ que es divisible por $3$ para todo entero $m.$ El lado derecho es $3(9n^3+3n^2+3n)+1,$ que es congruente con $1\pmod3.$ Por tanto, ningún par de enteros satisface la ecuación.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The left side is $\begin{gathered} m(m+1)(m+5)\\ =m(m+1)(m+2)\\ \quad+3m(m+1), \end{gathered}$ which is divisible by $3$ for every integer $m.$ The right side is $3(9n^3+3n^2+3n)+1,$ which is congruent to $1\pmod3.$ Therefore no integer pair satisfies the equation.

Therefore, the correct answer is A.

23.

Las aristas de un tetraedro regular con vértices $A,$ $B,$ $C,$ y $D$ tienen longitud uno. Halla la menor distancia posible entre un par de puntos $P$ y $Q,$ donde $P$ está en la arista $AB$ y $Q$ está en la arista $CD.$

The edges of a regular tetrahedron with vertices $A,$ $B,$ $C,$ and $D$ each have length one. Find the least possible distance between a pair of points $P$ and $Q,$ where $P$ is on edge $AB$ and $Q$ is on edge $CD.$

$\frac12$

$\frac34$

$\frac{\sqrt2}{2}$

$\frac{\sqrt3}{2}$

$\frac{\sqrt3}{3}$

Conceptos:Geometría 3D fórmula de la distancia optimización

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Usa coordenadas simétricas para un tetraedro regular con vértices $(\pm1,\pm1,\pm1)$

Use symmetric coordinates for a regular tetrahedron with vertices $(\pm1,\pm1,\pm1)$

Pista grande:

Parametriza puntos de las dos aristas opuestas y minimiza la distancia al cuadrado

Parameterize points on the two opposite edges and minimize the squared distance

Solución:

Antes de escalar, toma $\begin{aligned} A&=(1,1,1),\\ B&=(1,-1,-1),\\ C&=(-1,1,-1),\\ D&=(-1,-1,1). \end{aligned}$ Estas aristas tienen longitud $2\sqrt2,$ así que se escala por $\frac{1}{2\sqrt2}.$ Los puntos de $AB$ y $CD$ tienen las formas $P=(1,t,t)$ y $Q=(-1,u,-u).$ Antes de escalar, $\begin{aligned} PQ^2&=4+(t-u)^2+(t+u)^2\\ &=4+2t^2+2u^2, \end{aligned}$ que se minimiza en $t=u=0.$ Después de escalar, la distancia mínima al cuadrado es $\frac{4}{8}=\frac{1}{2},$ por lo que la distancia es $\frac{\sqrt2}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Before scaling, take $\begin{aligned} A&=(1,1,1),\\ B&=(1,-1,-1),\\ C&=(-1,1,-1),\\ D&=(-1,-1,1). \end{aligned}$ These edges have length $2\sqrt2,$ so scale by $\frac{1}{2\sqrt2}.$ Points on $AB$ and $CD$ have forms $P=(1,t,t)$ and $Q=(-1,u,-u).$ Before scaling, $\begin{aligned} PQ^2&=4+(t-u)^2+(t+u)^2\\ &=4+2t^2+2u^2, \end{aligned}$ minimized at $t=u=0.$ After scaling, the minimum squared distance is $\frac{4}{8}=\frac{1}{2},$ so the distance is $\frac{\sqrt2}{2}.$

Therefore, the correct answer is C.

24.

Un polígono se llama «simple» si no se interseca consigo mismo. Los lados $AB,$ $BC,$ y $CD$ del cuadrilátero simple $ABCD$ tienen longitudes $4,$ $5,$ y $20,$ respectivamente. Si los ángulos en los vértices $B$ y $C$ son obtusos y $\sin C=-\cos B=\frac35,$ ¿cuál es la longitud del lado $AD$ ?

A polygon is called “simple” if it is not self-intersecting. Sides $AB,$ $BC,$ and $CD$ of simple quadrilateral $ABCD$ have lengths $4,$ $5,$ and $20,$ respectively. If vertex angles $B$ and $C$ are obtuse and $\sin C=-\cos B=\frac35,$ then side $AD$ has length

$24$

$24.5$

$24.6$

$24.8$

$25$

Conceptos:geometría analítica trigonometría fórmula de la distancia

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Coloca $B=(0,0)$ y $C=(5,0)$ , y luego usa los signos determinados por los ángulos obtusos

Place $B=(0,0)$ and $C=(5,0)$ , then use the signs forced by the obtuse angles

Pista grande:

Determina las coordenadas de $A$ y $D$ a partir de las razones $3$ - $4$ - $5$

Determine coordinates for $A$ and $D$ from the $3$ - $4$ - $5$ ratios

Solución:

Coloca $B=(0,0)$ y $C=(5,0).$ Como $B$ es obtuso y $-\cos B=\frac{3}{5},$ podemos tomar $\begin{aligned} A&=4(-\frac{3}{5},\frac{4}{5})\\ &=(-\frac{12}{5},\frac{16}{5}). \end{aligned}$ La configuración simple y el ángulo obtuso en $C$ dan $\begin{aligned} D&=C+20(\frac{4}{5},\frac{3}{5})\\ &=(21,12). \end{aligned}$ Así, $\begin{aligned} AD&=\sqrt{\begin{gathered} (21+\frac{12}{5})^2\\ {}+(12-\frac{16}{5})^2 \end{gathered}}\\ &=\sqrt{(\frac{117}{5})^2+(\frac{44}{5})^2}\\ &=25. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Put $B=(0,0)$ and $C=(5,0).$ Since $B$ is obtuse and $-\cos B=\frac{3}{5},$ we may take $\begin{aligned} A&=4(-\frac{3}{5},\frac{4}{5})\\ &=(-\frac{12}{5},\frac{16}{5}). \end{aligned}$ The simple configuration and the obtuse angle at $C$ give $\begin{aligned} D&=C+20(\frac{4}{5},\frac{3}{5})\\ &=(21,12). \end{aligned}$ Thus $\begin{aligned} AD&=\sqrt{\begin{gathered} (21+\frac{12}{5})^2\\ {}+(12-\frac{16}{5})^2 \end{gathered}}\\ &=\sqrt{(\frac{117}{5})^2+(\frac{44}{5})^2}\\ &=25. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is E.

25.

Si $q_1(x)$ y $r_1$ son, respectivamente, el cociente y el residuo al dividir el polinomio $x^8$ entre $x+\frac12,$ y $q_2(x)$ y $r_2$ son, respectivamente, el cociente y el residuo al dividir $q_1(x)$ entre $x+\frac12,$ entonces $r_2$ es igual a

If $q_1(x)$ and $r_1$ are the quotient and remainder, respectively, when the polynomial $x^8$ is divided by $x+\frac12,$ and if $q_2(x)$ and $r_2$ are the quotient and remainder, respectively, when $q_1(x)$ is divided by $x+\frac12,$ then $r_2$ equals

$\frac1{256}$

$-\frac1{16}$

$1$

$-16$

$256$

Conceptos:polinomio factorización sustitución

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Sea $a=-\frac12$ y expresa el primer cociente usando $x^8-a^8$

Let $a=-\frac12$ and express the first quotient using $x^8-a^8$

Pista grande:

Aplica el teorema del residuo a $q_1(x)$ en $x=a$

Apply the remainder theorem to $q_1(x)$ at $x=a$

Solución:

Sea $a=-\frac{1}{2}.$ Como el primer residuo es $a^8,$ $\begin{aligned} q_1(x)&=\frac{x^8-a^8}{x-a}\\ &=x^7+ax^6+\cdots+a^7. \end{aligned}$ Por tanto, el segundo residuo es $\begin{aligned} q_1(a)&=8a^7\\ &=8(-\frac{1}{2})^7\\ &=-\frac{1}{16}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $a=-\frac{1}{2}.$ Since the first remainder is $a^8,$ $\begin{aligned} q_1(x)&=\frac{x^8-a^8}{x-a}\\ &=x^7+ax^6+\cdots+a^7. \end{aligned}$ Therefore the second remainder is $\begin{aligned} q_1(a)&=8a^7\\ &=8(-\frac{1}{2})^7\\ &=-\frac{1}{16}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is B.

26.

La función $f$ satisface la ecuación funcional $f(x)+f(y)=f(x+y)-xy-1$ para todo par $x,$ $y$ de números reales. Si $f(1)=1,$ entonces el número de enteros $n\ne1$ para los cuales $f(n)=n$ es

The function $f$ satisfies the functional equation $f(x)+f(y)=f(x+y)-xy-1$ for every pair $x,$ $y$ of real numbers. If $f(1)=1,$ then the number of integers $n\ne1$ for which $f(n)=n$ is

$0$

$1$

$2$

$3$

infinitos

infinite

Conceptos:ecuación funcional recursión cuadrática

Nivel de dificultad: 2200

Pista pequeña:

Iguala una variable a $1$ para obtener una recurrencia para entradas enteras consecutivas

Set one variable equal to $1$ to get a recurrence for consecutive integer inputs

Pista grande:

Halla $f(0)$ , resuelve la recurrencia para todos los enteros y luego impón $f(n)=n$

Find $f(0)$ , solve the recurrence for all integers, and then impose $f(n)=n$

Solución:

Al tomar $x=1$ , se obtiene $f(y+1)-f(y)=y+2.$ Al tomar $x=y=0$ , se obtiene $f(0)=-1.$ Al extender la recurrencia en ambas direcciones se obtiene, para todo entero $n,$ $f(n)=\frac{n^2+3n-2}{2}.$ Así, $f(n)=n$ equivale a $\begin{aligned} n^2+n-2&=(n+2)(n-1)\\ &=0. \end{aligned}$ Las soluciones enteras son $n=-2$ y $n=1,$ y, después de excluir $1$ , queda exactamente una.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Setting $x=1$ gives $f(y+1)-f(y)=y+2.$ Setting $x=y=0$ gives $f(0)=-1.$ Extending the recurrence in both directions yields, for every integer $n,$ $f(n)=\frac{n^2+3n-2}{2}.$ Thus $f(n)=n$ is equivalent to $\begin{aligned} n^2+n-2&=(n+2)(n-1)\\ &=0. \end{aligned}$ The integer solutions are $n=-2$ and $n=1,$ and after excluding $1$ exactly one remains.

Therefore, the correct answer is B.

27.

Se elige al azar un par ordenado $(b,c)$ de enteros, cada uno con valor absoluto menor o igual que cinco, y todos esos pares ordenados tienen la misma probabilidad de ser elegidos. ¿Cuál es la probabilidad de que la ecuación $x^2+bx+c=0$ no tenga raíces reales positivas distintas?

An ordered pair $(b,c)$ of integers, each of which has absolute value less than or equal to five, is chosen at random, with each such ordered pair having an equal likelihood of being chosen. What is the probability that the equation $x^2+bx+c=0$ will not have distinct positive real roots?

$\frac{106}{121}$

$\frac{108}{121}$

$\frac{110}{121}$

$\frac{112}{121}$

ninguna de estas

none of these

Conceptos:cuadrática probabilidad complementaria enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 2200

Pista pequeña:

Tener raíces positivas distintas exige $b\lt0,$ $c\gt0,$ y $b^2\gt4c$

Distinct positive roots require $b\lt0,$ $c\gt0,$ and $b^2\gt4c$

Pista grande:

Cuenta los valores admisibles de $c$ para $b=-1,$ $b=-2,$ $\ldots,$ $b=-5,$ y luego toma el complemento entre los $121$ pares

Count the qualifying $c$ values for each $b=-1,$ $b=-2,$ $\ldots,$ $b=-5,$ then take the complement among $121$ pairs

Solución:

Hay $11^2=121$ pares ordenados. Tener raíces positivas distintas exige $b\lt0,$ $c\gt0,$ y $b^2\gt4c.$ Para $b=-1$ y $b=-2$ no hay opciones; para $b=-3,$ $b=-4,$ y $b=-5$ hay, respectivamente, $2,$ $3,$ y $5$ opciones de $c.$ Así, solo $10$ pares producen raíces positivas distintas, por lo que la probabilidad pedida es $1-\frac{10}{121}=\frac{111}{121},$ que no aparece entre las opciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

There are $11^2=121$ ordered pairs. Distinct positive roots require $b\lt0,$ $c\gt0,$ and $b^2\gt4c.$ For $b=-1$ and $b=-2$ there are no choices; for $b=-3,$ $b=-4,$ and $b=-5$ there are respectively $2,$ $3,$ and $5$ choices of $c.$ Thus only $10$ pairs produce distinct positive roots, so the requested probability is $1-\frac{10}{121}=\frac{111}{121},$ which is not listed.

Therefore, the correct answer is E.

28.

Los círculos con centros $A,$ $B,$ y $C$ tienen radio $r,$ donde $1\lt r\lt2.$ La distancia entre cada par de centros es $2.$ Si $B'$ es el punto de intersección de los círculos con centros $A$ y $C$ que está fuera del círculo con centro $B,$ y $C'$ es el punto de intersección de los círculos con centros $A$ y $B$ que está fuera del círculo con centro $C,$ entonces la longitud $B'C'$ es

Circles with centers $A,$ $B,$ and $C$ each have radius $r,$ where $1\lt r\lt2.$ The distance between each pair of centers is $2.$ If $B'$ is the point of intersection of circle $A$ and circle $C$ which is outside circle $B,$ and if $C'$ is the point of intersection of circle $A$ and circle $B$ which is outside circle $C,$ then length $B'C'$ equals

$3r-2$

$r^2$

$r+\sqrt{3(r-1)}$

$1+\sqrt{3(r^2-1)}$

ninguna de estas

none of these

Conceptos:círculo triángulo equilátero semejanza simetría

Nivel de dificultad: 2200

Pista pequeña:

Introduce el punto análogo $A'$ , exterior al círculo con centro $A$ ; por simetría, $A'B'C'$ es equilátero

Introduce the analogous point $A'$ outside circle $A$ ; symmetry makes $A'B'C'$ equilateral

Pista grande:

Usa el centroide común y la altura $\sqrt{r^2-1}$ de un triángulo isósceles de lados $r,$ $r,$ y $2$

Use the common centroid and the altitude $\sqrt{r^2-1}$ of an isosceles triangle with sides $r,$ $r,$ and $2$

Solución:

Sea $A'$ la intersección exterior análoga de los círculos con centros $B$ y $C.$ Entonces $A'B'C'$ y $ABC$ son triángulos equiláteros concéntricos. Si $K$ es su centroide común y $M$ es el punto medio de $BC,$ entonces $\begin{aligned} A'M&=\sqrt{r^2-1},\\ MK&=\frac{\sqrt3}{3},\\ AK&=\frac{2\sqrt3}{3}. \end{aligned}$ La semejanza da $\begin{aligned} \frac{B'C'}2&=\frac{A'K}{AK}\\ &=\frac{\sqrt{r^2-1}+\frac{\sqrt3}{3}} {\frac{2\sqrt3}{3}}. \end{aligned}$ Por tanto, $B'C'=1+\sqrt{3(r^2-1)}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $A'$ be the analogous outer intersection of the circles centered at $B$ and $C.$ Then $A'B'C'$ and $ABC$ are concentric equilateral triangles. If $K$ is their common centroid and $M$ is the midpoint of $BC,$ then $\begin{aligned} A'M&=\sqrt{r^2-1},\\ MK&=\frac{\sqrt3}{3},\\ AK&=\frac{2\sqrt3}{3}. \end{aligned}$ Similarity gives $\begin{aligned} \frac{B'C'}2&=\frac{A'K}{AK}\\ &=\frac{\sqrt{r^2-1}+\frac{\sqrt3}{3}} {\frac{2\sqrt3}{3}}. \end{aligned}$ Hence $B'C'=1+\sqrt{3(r^2-1)}.$

Therefore, the correct answer is D.

29.

Para cada número positivo $x,$ sea $f(x)= \frac{\begin{gathered} \left(x+\frac1x\right)^6\\ {}-\left(x^6+\frac1{x^6}\right)-2 \end{gathered}} {\begin{gathered} \left(x+\frac1x\right)^3\\ {}+\left(x^3+\frac1{x^3}\right) \end{gathered}}.$ El valor mínimo de $f(x)$ es

For each positive number $x,$ let $f(x)= \frac{\begin{gathered} \left(x+\frac1x\right)^6\\ {}-\left(x^6+\frac1{x^6}\right)-2 \end{gathered}} {\begin{gathered} \left(x+\frac1x\right)^3\\ {}+\left(x^3+\frac1{x^3}\right) \end{gathered}}.$ The minimum value of $f(x)$ is

$1$

$2$

$3$

$4$

$6$

Conceptos:manipulación algebraica diferencia de cuadrados Desigualdad MA-MG

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Sea $t=x+\frac{1}{x}$ y escribe $x^3+x^{-3}$ en términos de $t$

Set $t=x+\frac{1}{x}$ and write $x^3+x^{-3}$ in terms of $t$

Pista grande:

Factoriza el numerador como una diferencia de cuadrados y luego usa $x+\frac{1}{x}\ge2$

Factor the numerator as a difference of squares, then use $x+\frac{1}{x}\ge2$

Solución:

Sean $t=x+\frac{1}{x}$ y $u=x^3+x^{-3}=t^3-3t.$ Como $x^6+x^{-6}=u^2-2,$ el numerador es $\begin{aligned} t^6-u^2&=(t^3-u)(t^3+u)\\ &=3t(t^3+u). \end{aligned}$ El denominador es $t^3+u,$ así que $f(x)=3t=3(x+\frac{1}{x}).$ Para $x\gt0,$ se tiene $x+\frac{1}{x}\ge2,$ con igualdad en $x=1.$ Por tanto, el mínimo es $6.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $t=x+\frac{1}{x}$ and $u=x^3+x^{-3}=t^3-3t.$ Since $x^6+x^{-6}=u^2-2,$ the numerator is $\begin{aligned} t^6-u^2&=(t^3-u)(t^3+u)\\ &=3t(t^3+u). \end{aligned}$ The denominator is $t^3+u,$ so $f(x)=3t=3(x+\frac{1}{x}).$ For $x\gt0,$ $x+\frac{1}{x}\ge2,$ with equality at $x=1.$ Thus the minimum is $6.$

Therefore, the correct answer is E.

30.

En $\triangle ABC,$ $E$ es el punto medio del lado $BC$ y $D$ está sobre el lado $AC.$ Si la longitud de $AC$ es $1$ y $\angle BAC=60^\circ,$ $\angle ABC=100^\circ,$ $\angle ACB=20^\circ,$ y $\angle DEC=80^\circ,$ entonces el área de $\triangle ABC$ más el doble del área de $\triangle CDE$ es

In $\triangle ABC,$ $E$ is the midpoint of side $BC$ and $D$ is on side $AC.$ If the length of $AC$ is $1$ and $\angle BAC=60^\circ,$ $\angle ABC=100^\circ,$ $\angle ACB=20^\circ,$ and $\angle DEC=80^\circ,$ then the area of $\triangle ABC$ plus twice the area of $\triangle CDE$ equals

$\frac14\cos10^\circ$

$\frac{\sqrt3}{8}$

$\frac14\cos40^\circ$

$\frac14\cos50^\circ$

$\frac18$

Conceptos:área del triángulo congruencia (geometría)semejanza triángulo equilátero

Nivel de dificultad: 2200

Pista pequeña:

Prolonga $AB$ hasta $F$ de modo que $AF=AC$ , formando un triángulo equilátero

Extend $AB$ to $F$ so that $AF=AC$ , creating an equilateral triangle

Pista grande:

Elige $G$ en $BF$ con $\angle BCG=20^\circ$ ; compara $\triangle BCG$ con $\triangle DCE$

Choose $G$ on $BF$ with $\angle BCG=20^\circ$ ; compare $\triangle BCG$ with $\triangle DCE$

Solución:

Prolonga $AB$ más allá de $B$ hasta $F$ con $AF=AC=1.$ Entonces $\triangle ACF$ es equilátero. Elige $G$ en $BF$ de modo que $\angle BCG=20^\circ.$ Las condiciones angulares dan $\triangle FGC\cong\triangle ABC,$ mientras que $\triangle BCG\sim\triangle DCE.$ Como $E$ es el punto medio de $BC,$ el factor de semejanza es $2,$ así que $[BCG]=4[CDE].$ Al descomponer el triángulo equilátero se obtiene $\frac{\sqrt3}{4} =2[ABC]+4[CDE].$ Al dividir entre $2$ , resulta $[ABC]+2[CDE]=\frac{\sqrt3}{8}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Extend $AB$ through $B$ to $F$ with $AF=AC=1.$ Then $\triangle ACF$ is equilateral. Choose $G$ on $BF$ so that $\angle BCG=20^\circ.$ The angle conditions give $\triangle FGC\cong\triangle ABC,$ while $\triangle BCG\sim\triangle DCE.$ Since $E$ is the midpoint of $BC,$ the similarity scale is $2,$ so $[BCG]=4[CDE].$ Decomposing the equilateral triangle gives $\frac{\sqrt3}{4} =2[ABC]+4[CDE].$ Dividing by $2$ yields $[ABC]+2[CDE]=\frac{\sqrt3}{8}.$

Therefore, the correct answer is B.