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1981 AMC 12 Problema 25

Intenta el Problema 25 del 1981 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1981 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

25.

En el triángulo ABCABC de la figura adjunta, ADAD y AEAE trisecan ∠BAC.\angle BAC. Las longitudes de BD,BD, DE,DE, y ECEC son 2,2, 3,3, y 6,6, respectivamente. La longitud del lado más corto de △ABC\triangle ABC es

In triangle ABCABC in the adjoining figure, ADAD and AEAE trisect ∠BAC.\angle BAC. The lengths of BD,BD, DE,DE, and ECEC are 2,2, 3,3, and 6,6, respectively. The length of the shortest side of △ABC\triangle ABC is

2102\sqrt{10}

1111

666\sqrt6

66

no está determinada de manera única por la información dada

not uniquely determined by the given information

Respuesta: A
Conceptos:teorema de la bisectrizley de los cosenospersecución de ángulos
Nivel de dificultad: 2210
Pista pequeña:

Sean los tres ángulos iguales a α\alpha, y aplica el teorema de la bisectriz a un subtriángulo adecuado

Let the three equal angles be α\alpha, and apply the angle-bisector theorem to a suitable subtriangle

Pista grande:

Iguala las expresiones de la ley de los cosenos para cos⁡α\cos\alpha en los tres triángulos adyacentes

Equate law-of-cosines expressions for cos⁡α\cos\alpha in the three adjacent triangles

Solución:

Sean AB=c,AB=c, AD=y,AD=y, AC=b,AC=b, y AE=z.AE=z. Como ADAD biseca ∠BAE,\angle BAE, y AEAE biseca ∠DAC,\angle DAC, el teorema de la bisectriz da cz=23,yb=36, \frac{c}{z}=\frac{2}{3},\qquad \frac{y}{b}=\frac{3}{6}, así que z=3c2z=\frac{3c}{2} y b=2y.b=2y. Al aplicar la ley de los cosenos a los triángulos ADB,ADB, ADE,ADE, y AECAEC e igualar sus valores comunes de cos⁡α\cos\alpha, se obtiene 3c2−2y2=12,9c2−8y2=−72. \begin{gathered} 3c^2-2y^2=12,\\ 9c^2-8y^2=-72. \end{gathered} Por consiguiente, y2=54y^2=54 y c2=40.c^2=40. Los lados son AB=210,AB=2\sqrt{10}, BC=11,BC=11, y AC=254=66,AC=2\sqrt{54}=6\sqrt6, de modo que el más corto es 210.2\sqrt{10}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let AB=c,AB=c, AD=y,AD=y, AC=b,AC=b, and AE=z.AE=z. Since ADAD bisects ∠BAE,\angle BAE, and AEAE bisects ∠DAC,\angle DAC, the angle-bisector theorem gives cz=23,yb=36, \frac{c}{z}=\frac{2}{3},\qquad \frac{y}{b}=\frac{3}{6}, so z=3c2z=\frac{3c}{2} and b=2y.b=2y. Applying the law of cosines to triangles ADB,ADB, ADE,ADE, and AECAEC and equating their common cos⁡α\cos\alpha values gives 3c2−2y2=12,9c2−8y2=−72. \begin{gathered} 3c^2-2y^2=12,\\ 9c^2-8y^2=-72. \end{gathered} Hence y2=54y^2=54 and c2=40.c^2=40. The sides are AB=210,AB=2\sqrt{10}, BC=11,BC=11, and AC=254=66,AC=2\sqrt{54}=6\sqrt6, so the shortest is 210.2\sqrt{10}.

Therefore, the correct answer is A.

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