Question

Si $\lfloor x\rfloor$ es el mayor entero menor o igual que $x,$ entonces $\sum_{N=1}^{1024}\lfloor\log_2N\rfloor=$

If $\lfloor x\rfloor$ is the greatest integer less than or equal to $x,$ then $\sum_{N=1}^{1024}\lfloor\log_2N\rfloor=$

$8192$

$8204$

$9218$

$\lfloor\log_2(1024!)\rfloor$

ninguna de estas

none of these

Respuesta: B

Conceptos:floor function logaritmo geometric series

Nivel de dificultad: 2300

Pista pequeña:

Agrupa los enteros $N$ según el intervalo $2^k\le N\lt2^{k+1}$

Group the integers $N$ according to the interval $2^k\le N\lt2^{k+1}$

Pista grande:

Hay $2^k$ enteros en el grupo $k$ ; considera $N=1024$ por separado

There are $2^k$ integers in the $k$ th group; handle $N=1024$ separately

Solución:

Para $0\le k\le9,$ exactamente $2^k$ enteros $N$ satisfacen $2^k\le N\lt2^{k+1},$ y cada uno aporta $k.$ El entero final $1024=2^{10}$ aporta $10.$ Por tanto, $\sum_{N=1}^{1024}\lfloor\log_2N\rfloor =\sum_{k=0}^{9}k2^k+10.$ La identidad para la suma geométrica finita da $\sum_{k=0}^{9}k2^k=8194,$ por lo que la suma pedida es $8204.$

Por tanto, la respuesta correcta es B.

For $0\le k\le9,$ exactly $2^k$ integers $N$ satisfy $2^k\le N\lt2^{k+1},$ and each contributes $k.$ The final integer $1024=2^{10}$ contributes $10.$ Hence $\sum_{N=1}^{1024}\lfloor\log_2N\rfloor =\sum_{k=0}^{9}k2^k+10.$ The finite geometric-sum identity gives $\sum_{k=0}^{9}k2^k=8194,$ so the requested sum is $8204.$

Thus the correct answer is B.

1986 AMC 12 Problema 25

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2300

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 25 en otros años