1986 AMC 12 — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

1:15:00

1.

$[x-(y-x)]-[(x-y)-x]=$

$2y$

$2x$

$-2y$

$-2x$

$0$

Respuesta: B

Conceptos:simplifying expressions propiedad distributiva

Nivel de dificultad: 840

Pista pequeña:

Elimina primero los paréntesis interiores antes de restar el segundo corchete

Remove the innermost parentheses before subtracting the second bracket

Pista grande:

Sigue con cuidado el signo menos que precede a cada corchete

Track the minus sign in front of each bracket carefully

Solución:

Al desarrollar las dos expresiones entre corchetes obtenemos $\begin{aligned} &[x-(y-x)]-[(x-y)-x]\\ &\qquad=(2x-y)-(-y)=2x. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Expanding the two bracketed expressions gives $\begin{aligned} &[x-(y-x)]-[(x-y)-x]\\ &\qquad=(2x-y)-(-y)=2x. \end{aligned}$

Thus the correct answer is B.

2.

Si la recta $L$ en el plano $xy$ tiene la mitad de la pendiente y el doble de la intersección con el eje $y$ de la recta $y=\frac23x+4,$ entonces una ecuación de $L$ es

If the line $L$ in the $xy$ -plane has half the slope and twice the $y$ -intercept of the line $y=\frac23x+4,$ then an equation for $L$ is

$y=\frac13x+8$

$y=\frac43x+2$

$y=\frac13x+4$

$y=\frac43x+4$

$y=\frac13x+2$

Respuesta: A

Conceptos:slope-intercept form ecuación lineal

Nivel de dificultad: 890

Pista pequeña:

Lee la pendiente y la intersección vertical en $y=mx+b$

Read the slope and intercept from $y=mx+b$

Pista grande:

Aplica por separado los dos cambios pedidos al coeficiente y al término constante

Apply the two requested changes to the coefficient and constant separately

Solución:

La recta original tiene pendiente $\frac{2}{3}$ e intersección con el eje $y$ igual a $4.$ Por tanto, $L$ tiene pendiente $\frac{1}{3}$ e intersección con el eje $y$ igual a $8,$ así que su ecuación es $y=\frac13x+8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The original line has slope $\frac{2}{3}$ and $y$ -intercept $4.$ Therefore $L$ has slope $\frac{1}{3}$ and $y$ -intercept $8,$ so its equation is $y=\frac13x+8.$

Thus the correct answer is A.

3.

En la figura, $\triangle ABC$ tiene un ángulo recto en $C$ y $\angle A=20^\circ.$ Si $BD$ es la bisectriz de $\angle ABC,$ entonces $\angle BDC=$

In the figure, $\triangle ABC$ has a right angle at $C$ and $\angle A=20^\circ.$ If $BD$ is the bisector of $\angle ABC,$ then $\angle BDC=$

$40^\circ$

$45^\circ$

$50^\circ$

$55^\circ$

$60^\circ$

Respuesta: D

Conceptos:suma de ángulos bisectriz triángulo rectángulo

Nivel de dificultad: 1230

Pista pequeña:

Halla primero $\angle ABC$ usando la suma de los ángulos de $\triangle ABC$

First find $\angle ABC$ from the angle sum of $\triangle ABC$

Pista grande:

Usa la bisectriz y luego la suma de los ángulos del triángulo rectángulo $BDC$

Use the bisector and then the angle sum of right triangle $BDC$

Solución:

Como $\angle C=90^\circ$ y $\angle A=20^\circ,$ tenemos $\angle ABC=70^\circ.$ La bisectriz da $\angle DBC=35^\circ.$ Por tanto, en el triángulo rectángulo $BDC,$ $\angle BDC=90^\circ-35^\circ=55^\circ.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $\angle C=90^\circ$ and $\angle A=20^\circ,$ we have $\angle ABC=70^\circ.$ The bisector gives $\angle DBC=35^\circ.$ Therefore, in right triangle $BDC,$ $\angle BDC=90^\circ-35^\circ=55^\circ.$

Thus the correct answer is D.

4.

Sea $S$ la proposición

«Si la suma de los dígitos del número entero $n$ es divisible por $6,$ entonces $n$ es divisible por $6.$ »

Un valor de $n$ que muestra que $S$ es falsa es

Let $S$ be the statement

“If the sum of the digits of the whole number $n$ is divisible by $6,$ then $n$ is divisible by $6.$ ”

A value of $n$ which shows $S$ to be false is

$30$

$33$

$40$

$42$

ninguno de estos

none of these

Respuesta: B

Conceptos:contraejemplo divisibilidad digit sum

Nivel de dificultad: 870

Pista pequeña:

Un contraejemplo debe satisfacer la hipótesis, pero no la conclusión

A counterexample must satisfy the hypothesis but not the conclusion

Pista grande:

Ser divisible por $6$ exige ser divisible tanto por $2$ como por $3$

Divisibility by $6$ requires both divisibility by $2$ and by $3$

Solución:

La suma de los dígitos de $33$ es $6,$ que es divisible por $6.$ Sin embargo, $33$ es impar, por lo que no es divisible por $6.$ Así, $33$ hace falsa la implicación.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The digit sum of $33$ is $6,$ which is divisible by $6.$ However, $33$ is odd, so it is not divisible by $6.$ Thus $33$ makes the implication false.

Therefore the correct answer is B.

5.

Simplifica $\left(\sqrt[6]{27}-\sqrt{6\frac34}\right)^2.$

Simplify $\left(\sqrt[6]{27}-\sqrt{6\frac34}\right)^2.$

$\frac34$

$\frac{\sqrt3}{2}$

$\frac{3\sqrt3}{4}$

$\frac32$

$\frac{3\sqrt3}{2}$

Respuesta: A

Conceptos:radical simplification exponente mixed number

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

Escribe $27$ como una potencia de $3$ y convierte $6\frac34$ en una fracción impropia

Rewrite $27$ as a power of $3$ and $6\frac34$ as an improper fraction

Pista grande:

Simplifica ambos radicales antes de elevar al cuadrado su diferencia

Simplify both radicals before squaring their difference

Solución:

Tenemos $\sqrt[6]{27}=(3^3)^{\frac{1}{6}}=\sqrt3$ y $\sqrt{6\frac34}=\sqrt{\frac{27}{4}}=\frac{3\sqrt3}{2}.$ Por tanto, la expresión es $\begin{aligned} \left(\sqrt3-\frac{3\sqrt3}{2}\right)^2 &=\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)^2\\ &=\frac34. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

We have $\sqrt[6]{27}=(3^3)^{\frac{1}{6}}=\sqrt3$ and $\sqrt{6\frac34}=\sqrt{\frac{27}{4}}=\frac{3\sqrt3}{2}.$ Hence the expression is $\begin{aligned} \left(\sqrt3-\frac{3\sqrt3}{2}\right)^2 &=\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)^2\\ &=\frac34. \end{aligned}$

Thus the correct answer is A.

6.

Sobre una mesa de cierta altura se colocan dos bloques de madera idénticos como se muestra en la Figura $1.$ Se determina que la longitud $r$ mide $32$ pulgadas. Tras reacomodar los bloques como en la Figura $2,$ se determina que la longitud $s$ mide $28$ pulgadas. ¿Cuánto mide la mesa?

Using a table of a certain height, two identical blocks of wood are placed as shown in Figure $1.$ Length $r$ is found to be $32$ inches. After rearranging the blocks as in Figure $2,$ length $s$ is found to be $28$ inches. How high is the table?

$28$ pulgadas

$28$ inches

$29$ pulgadas

$29$ inches

$30$ pulgadas

$30$ inches

$31$ pulgadas

$31$ inches

$32$ pulgadas

$32$ inches

Respuesta: C

Conceptos:sistema de ecuaciones length cancellation

Nivel de dificultad: 1260

Pista pequeña:

Sea $h$ la altura de la mesa y sean $\ell$ y $w$ las dimensiones del bloque

Let $h$ be the table height and let the block dimensions be $\ell$ and $w$

Pista grande:

Escribe una ecuación para la distancia vertical de cada figura y súmalas

Write one vertical-distance equation for each figure and add them

Solución:

Sea $h$ la altura de la mesa y sean $\ell,w$ las dimensiones larga y corta del bloque. La Figura $1$ da $h+\ell-w=32,$ mientras que la Figura $2$ da $h+w-\ell=28.$ Al sumar se cancelan las dimensiones de los bloques: $2h=60,$ de modo que $h=30$ pulgadas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $h$ be the table height and let $\ell,w$ be the long and short block dimensions. Figure $1$ gives $h+\ell-w=32,$ while Figure $2$ gives $h+w-\ell=28.$ Adding cancels the block dimensions: $2h=60,$ so $h=30$ inches.

Thus the correct answer is C.

7.

La suma del mayor entero menor o igual que $x$ y el menor entero mayor o igual que $x$ es $5.$ El conjunto solución para $x$ es

The sum of the greatest integer less than or equal to $x$ and the least integer greater than or equal to $x$ is $5.$ The solution set for $x$ is

$\frac52$

$\{x\mid 2\le x\le3\}$

$\{x\mid 2\le x\lt3\}$

$\{x\mid 2\lt x\le3\}$

$\{x\mid 2\lt x\lt3\}$

Respuesta: E

Conceptos:floor function ceiling function interval

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Considera por separado los valores enteros y no enteros de $x$

Treat integer and noninteger values of $x$ separately

Pista grande:

Si $x$ no es entero, su techo es una unidad mayor que su piso

For noninteger $x,$ the ceiling is one more than the floor

Solución:

Si $x$ es entero, entonces $\lfloor x\rfloor+\lceil x\rceil=2x,$ que no puede ser igual a $5.$ Si $x$ no es entero, entonces $\lfloor x\rfloor+\lceil x\rceil=2\lfloor x\rfloor+1.$ Esto es igual a $5$ exactamente cuando $\lfloor x\rfloor=2,$ de modo que $2\lt x\lt3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

If $x$ is an integer, then $\lfloor x\rfloor+\lceil x\rceil=2x,$ which cannot equal $5.$ If $x$ is not an integer, then $\lfloor x\rfloor+\lceil x\rceil=2\lfloor x\rfloor+1.$ This equals $5$ exactly when $\lfloor x\rfloor=2,$ so $2\lt x\lt3.$

Thus the correct answer is E.

8.

La población de Estados Unidos en $1980$ era de $226{,}504{,}825.$ El área del país es de $3{,}615{,}122$ millas cuadradas. Una milla cuadrada contiene $(5280)^2$ pies cuadrados. ¿Cuál de los siguientes números aproxima mejor el promedio de pies cuadrados por persona?

The population of the United States in $1980$ was $226{,}504{,}825.$ The area of the country is $3{,}615{,}122$ square miles. There are $(5280)^2$ square feet in one square mile. Which number below best approximates the average number of square feet per person?

$5{,}000$

$10{,}000$

$50{,}000$

$100{,}000$

$500{,}000$

Respuesta: E

Conceptos:estimación conversión de unidades scientific notation

Nivel de dificultad: 1130

Pista pequeña:

Divide el total de pies cuadrados entre la población

Divide total square feet by population

Pista grande:

Redondea los valores dados a dos cifras significativas antes de multiplicar

Round the given values to two significant digits before multiplying

Solución:

El promedio es aproximadamente $\begin{aligned} &\frac{(3.615\times10^6)(5280)^2} {2.265\times10^8}\\ &\qquad\approx 4.45\times10^5 \end{aligned}$ pies cuadrados por persona. Entre las opciones, esto es lo más cercano a $500{,}000.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The average is approximately $\begin{aligned} &\frac{(3.615\times10^6)(5280)^2} {2.265\times10^8}\\ &\qquad\approx 4.45\times10^5 \end{aligned}$ square feet per person. Of the choices, this is closest to $500{,}000.$

Thus the correct answer is E.

9.

El producto $\begin{aligned} &\left(1-\frac1{2^2}\right) \left(1-\frac1{3^2}\right)\\ &\quad{}\cdots \left(1-\frac1{9^2}\right) \left(1-\frac1{10^2}\right) \end{aligned}$ es igual a

The product $\begin{aligned} &\left(1-\frac1{2^2}\right) \left(1-\frac1{3^2}\right)\\ &\quad{}\cdots \left(1-\frac1{9^2}\right) \left(1-\frac1{10^2}\right) \end{aligned}$ equals

$\frac5{12}$

$\frac12$

$\frac{11}{20}$

$\frac23$

$\frac7{10}$

Respuesta: C

Conceptos:telescoping product diferencia de cuadrados

Nivel de dificultad: 1470

Pista pequeña:

Factoriza $1-\frac{1}{n^2}$ como una diferencia de cuadrados

Factor $1-\frac{1}{n^2}$ as a difference of squares

Pista grande:

Separa el producto en factores $\frac{n-1}{n}$ y $\frac{n+1}{n}$

Separate the product into factors $\frac{n-1}{n}$ and $\frac{n+1}{n}$

Solución:

Para cada $n,$ $1-\frac1{n^2}=\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n+1}{n}.$ Por tanto, el producto se telescopa: $\begin{aligned} \prod_{n=2}^{10}\left(1-\frac1{n^2}\right) &=\left(\frac12\right) \left(\frac{11}{10}\right)\\ &=\frac{11}{20}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

For each $n,$ $1-\frac1{n^2}=\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n+1}{n}.$ Therefore the product telescopes: $\begin{aligned} \prod_{n=2}^{10}\left(1-\frac1{n^2}\right) &=\left(\frac12\right) \left(\frac{11}{10}\right)\\ &=\frac{11}{20}. \end{aligned}$

Thus the correct answer is C.

10.

Las $120$ permutaciones de AHSME se ordenan alfabéticamente como si cada una fuera una palabra común de cinco letras. La última letra de la palabra número $86$ de esta lista es

The $120$ permutations of AHSME are arranged in dictionary order, as if each were an ordinary five-letter word. The last letter of the $86$ th word in this list is

$A$

$H$

$S$

$M$

$E$

Respuesta: E

Conceptos:permutation lexicographic order counting

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Agrupa las palabras en bloques de $4!$ según su primera letra

Group the words into blocks of $4!$ according to their first letter

Pista grande:

Dentro del bloque que empieza con $M,$ agrupa por la segunda letra y enumera solo el pequeño bloque necesario

Within the $M$ -block, group by the second letter and then list only the needed small block

Solución:

Cada primera letra ocupa un bloque de $4!=24$ palabras. Las posiciones $73$ a $96$ empiezan con $M,$ por lo que la palabra número $86$ es la número $14$ de ese bloque. Las primeras $6$ empiezan con $MA,$ las siguientes $6$ con $ME,$ y de la $13$ a la $18$ empiezan con $MH.$ Las dos primeras de estas son $MHAES$ y $MHASE.$ Por tanto, la palabra número $86$ termina en E.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Each first letter occupies a block of $4!=24$ words. Positions $73$ through $96$ begin with $M,$ so the $86$ th word is the $14$ th word in that block. The first $6$ begin with $MA,$ the next $6$ with $ME,$ and the $13$ th through $18$ th begin with $MH.$ The first two of those are $MHAES$ and $MHASE.$ Thus the $86$ th word ends in E.

Therefore the correct answer is E.

11.

En $\triangle ABC,$ $AB=13,$ $BC=14$ y $CA=15.$ Además, $M$ es el punto medio del lado $AB$ y $H$ es el pie de la altura trazada desde $A$ hasta $BC.$ La longitud de $HM$ es

In $\triangle ABC,$ $AB=13,$ $BC=14$ and $CA=15.$ Also, $M$ is the midpoint of side $AB$ and $H$ is the foot of the altitude from $A$ to $BC.$ The length of $HM$ is

$6$

$6.5$

$7$

$7.5$

$8$

Respuesta: B

Conceptos:triángulo rectángulo midpoint of hypotenuse median

Nivel de dificultad: 1440

Pista pequeña:

Concéntrate en el triángulo rectángulo $AHB$

Focus on right triangle $AHB$

Pista grande:

Recuerda la distancia desde el punto medio de la hipotenusa de un triángulo rectángulo hasta cada vértice

Recall the distance from the midpoint of a right triangle’s hypotenuse to each vertex

Solución:

El triángulo $AHB$ es rectángulo en $H,$ y $M$ es el punto medio de su hipotenusa $AB.$ El punto medio de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es equidistante de sus tres vértices, por lo que $HM=\frac{AB}{2}=\frac{13}{2}=6.5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Triangle $AHB$ is right at $H,$ and $M$ is the midpoint of its hypotenuse $AB.$ The midpoint of a right triangle’s hypotenuse is equidistant from all three vertices, so $HM=\frac{AB}{2}=\frac{13}{2}=6.5.$

Thus the correct answer is B.

12.

John obtiene $93$ puntos en el AHSME de este año. Si todavía se hubiera usado el sistema anterior, habría obtenido solo $84$ puntos con las mismas respuestas. ¿Cuántas preguntas deja sin contestar? (En el sistema nuevo de ese año se recibían $5$ puntos por cada respuesta correcta, $0$ puntos por cada respuesta incorrecta y $2$ puntos por cada problema sin contestar. En el sistema anterior se comenzaba con $30$ puntos, se sumaban $4$ por cada respuesta correcta, se restaba $1$ por cada respuesta incorrecta y no se sumaban ni restaban puntos por las preguntas sin contestar. El AHSME de $1986$ tiene $30$ preguntas.)

John scores $93$ on this year’s AHSME. Had the old scoring system still been in effect, he would score only $84$ for the same answers. How many questions does he leave unanswered? (In the new scoring system that year, one received $5$ points for each correct answer, $0$ points for each wrong answer, and $2$ points for each problem left unanswered. In the previous scoring system, one started with $30$ points, received $4$ more for each correct answer, lost $1$ point for each wrong answer, and neither gained nor lost points for unanswered questions. There are $30$ questions in the $1986$ AHSME.)

$6$

$9$

$11$

$14$

no se puede determinar de manera única

not uniquely determined

Respuesta: B

Conceptos:sistema de ecuaciones scoring elimination

Nivel de dificultad: 1560

Pista pequeña:

Sean $c,w,u$ las cantidades de respuestas correctas, incorrectas y sin contestar

Let $c,w,u$ be the numbers correct, wrong and unanswered

Pista grande:

Usa $c+w+u=30$ para reescribir la puntuación anterior antes de compararla con la nueva

Use $c+w+u=30$ to rewrite the old score before comparing it with the new score

Solución:

Sean $c,w,u$ las cantidades de respuestas correctas, incorrectas y sin contestar. La puntuación anterior y el número total de preguntas dan $\begin{aligned} 30+4c-w&=84,\\ c+w+u&=30. \end{aligned}$ Al eliminar $w$ obtenemos $5c+u=84.$ La puntuación nueva es $5c+2u=93.$ Al restar estas ecuaciones obtenemos $u=9.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $c,w,u$ be the numbers correct, wrong and unanswered. The old score and total number of questions give $\begin{aligned} 30+4c-w&=84,\\ c+w+u&=30. \end{aligned}$ Eliminating $w$ yields $5c+u=84.$ The new score is $5c+2u=93.$ Subtracting these equations gives $u=9.$

Thus the correct answer is B.

13.

Una parábola $y=ax^2+bx+c$ tiene vértice $(4,2).$ Si $(2,0)$ pertenece a la parábola, entonces $abc$ es igual a

A parabola $y=ax^2+bx+c$ has vertex $(4,2).$ If $(2,0)$ is on the parabola, then $abc$ equals

$-12$

$-6$

$0$

$6$

$12$

Respuesta: E

Conceptos:parábola vertex form polynomial coefficient

Nivel de dificultad: 1300

Pista pequeña:

Escribe la parábola en la forma de vértice $y=a(x-4)^2+2$

Write the parabola in vertex form $y=a(x-4)^2+2$

Pista grande:

Usa el punto dado para hallar $a,$ luego desarrolla para identificar $b$ y $c$

Use the given point to find $a,$ then expand to read $b$ and $c$

Solución:

Escribimos la ecuación como $y=a(x-4)^2+2.$ Al sustituir $(2,0)$ obtenemos $0=4a+2,$ así que $a=-\frac{1}{2}.$ Al desarrollar, $y=-\frac12x^2+4x-6.$ Por tanto, $b=4,$ $c=-6$ y $abc=(-\frac{1}{2})(4)(-6)=12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Write the equation as $y=a(x-4)^2+2.$ Substituting $(2,0)$ gives $0=4a+2,$ so $a=-\frac{1}{2}.$ Expanding, $y=-\frac12x^2+4x-6.$ Thus $b=4,$ $c=-6,$ and $abc=(-\frac{1}{2})(4)(-6)=12.$

Therefore the correct answer is E.

14.

Supongamos que hops, skips y jumps son unidades específicas de longitud. Si $b$ hops equivalen a $c$ skips, $d$ jumps equivalen a $e$ hops y $f$ jumps equivalen a $g$ metros, ¿a cuántos skips equivale un metro?

Suppose hops, skips and jumps are specific units of length. If $b$ hops equals $c$ skips, $d$ jumps equals $e$ hops, and $f$ jumps equals $g$ meters, then one meter equals how many skips?

$\frac{bdg}{cef}$

$\frac{cdf}{beg}$

$\frac{cdg}{bef}$

$\frac{cef}{bdg}$

$\frac{ceg}{bdf}$

Respuesta: D

Conceptos:conversión de unidades razón y proporción

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Convierte cada igualdad en un factor de conversión para una unidad

Turn each equality into a conversion factor for one unit

Pista grande:

Convierte, en ese orden, metros a jumps, jumps a hops y hops a skips

Convert meters to jumps, jumps to hops, and hops to skips in that order

Solución:

De las tres relaciones, $\begin{aligned} 1\text{ metro}&=\frac fg\text{ jumps},\\ 1\text{ jump}&=\frac ed\text{ hops},\\ 1\text{ hop}&=\frac cb\text{ skips}. \end{aligned}$ Al multiplicar los factores de conversión obtenemos $\frac fg\cdot\frac ed\cdot\frac cb=\frac{cef}{bdg}$ skips.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

From the three relations, $\begin{aligned} 1\text{ meter}&=\frac fg\text{ jumps},\\ 1\text{ jump}&=\frac ed\text{ hops},\\ 1\text{ hop}&=\frac cb\text{ skips}. \end{aligned}$ Multiplying the conversion factors gives $\frac fg\cdot\frac ed\cdot\frac cb=\frac{cef}{bdg}$ skips.

Thus the correct answer is D.

15.

Un estudiante intentó calcular el promedio $A$ de $x,$ $y$ y $z$ calculando primero el promedio de $x$ y $y,$ y luego el promedio del resultado y $z.$ Siempre que $x\lt y\lt z,$ el resultado final del estudiante es

A student attempted to compute the average, $A,$ of $x,$ $y$ and $z$ by computing the average of $x$ and $y,$ and then computing the average of the result and $z.$ Whenever $x\lt y\lt z,$ the student’s final result is

correcto

correct

siempre menor que $A$

always less than $A$

siempre mayor que $A$

always greater than $A$

a veces menor que $A$ y a veces igual a $A$

sometimes less than $A$ and sometimes equal to $A$

a veces mayor que $A$ y a veces igual a $A$

sometimes greater than $A$ and sometimes equal to $A$

Respuesta: C

Conceptos:average desigualdad algebraic comparison

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

Escribe como expresiones algebraicas tanto el promedio verdadero como el resultado del estudiante

Write both the true average and the student’s result as algebraic expressions

Pista grande:

Resta el promedio verdadero y usa el orden $x\lt y\lt z$ para determinar el signo

Subtract the true average and use the order $x\lt y\lt z$ to determine the sign

Solución:

El resultado del estudiante es $\frac{x+y+2z}{4},$ mientras que el promedio verdadero es $\frac{x+y+z}{3}.$ Su diferencia es $\begin{aligned} &\frac{x+y+2z}{4}-\frac{x+y+z}{3}\\ &\qquad=\frac{2z-x-y}{12}. \end{aligned}$ Como $z\gt x$ y $z\gt y,$ el numerador es positivo. Por tanto, el resultado del estudiante es siempre mayor que $A.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The student’s result is $\frac{x+y+2z}{4},$ while the true average is $\frac{x+y+z}{3}.$ Their difference is $\begin{aligned} &\frac{x+y+2z}{4}-\frac{x+y+z}{3}\\ &\qquad=\frac{2z-x-y}{12}. \end{aligned}$ Since $z\gt x$ and $z\gt y,$ the numerator is positive. The student’s result is therefore always greater than $A.$

Thus the correct answer is C.

16.

En $\triangle ABC,$ $AB=8,$ $BC=7,$ $CA=6$ y el lado $BC$ se prolonga, como muestra la figura, hasta un punto $P$ de modo que $\triangle PAB$ es semejante a $\triangle PCA.$ La longitud de $PC$ es

In $\triangle ABC,$ $AB=8,$ $BC=7,$ $CA=6$ and side $BC$ is extended, as shown in the figure, to a point $P$ so that $\triangle PAB$ is similar to $\triangle PCA.$ The length of $PC$ is

$7$

$8$

$9$

$10$

$11$

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1610

Pista pequeña:

Usa el orden de los vértices en $\triangle PAB\sim\triangle PCA$ para emparejar los lados correspondientes

Use the vertex order in $\triangle PAB\sim\triangle PCA$ to match corresponding sides

Pista grande:

Sea $PC=t$ y usa tanto $PB=PC+7$ como la razón de semejanza repetida

Set $PC=t$ and use both $PB=PC+7$ and the repeated similarity ratio

Solución:

El orden indicado en la semejanza da $\frac{PA}{PC}=\frac{PB}{PA}=\frac{AB}{CA}=\frac43.$ Sea $PC=t.$ Entonces $PA=\frac{4t}{3}$ y $PB=\frac{16t}{9}.$ Como $PB=PC+CB=t+7,$ $\frac{16t}{9}=t+7,$ de donde $t=9.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The stated order of similarity gives $\frac{PA}{PC}=\frac{PB}{PA}=\frac{AB}{CA}=\frac43.$ Let $PC=t.$ Then $PA=\frac{4t}{3}$ and $PB=\frac{16t}{9}.$ Since $PB=PC+CB=t+7,$ $\frac{16t}{9}=t+7,$ which gives $t=9.$

Thus the correct answer is C.

17.

Un cajón en una habitación oscura contiene $100$ calcetines rojos, $80$ verdes, $60$ azules y $40$ negros. Un joven saca calcetines del cajón uno por uno, pero no puede ver su color. ¿Cuál es el menor número de calcetines que debe sacar para garantizar que su selección contenga al menos $10$ pares? (Un par está formado por dos calcetines del mismo color. Ningún calcetín puede contarse en más de un par.)

A drawer in a darkened room contains $100$ red socks, $80$ green socks, $60$ blue socks and $40$ black socks. A youngster selects socks one at a time from the drawer but is unable to see the color of the socks drawn. What is the smallest number of socks that must be selected to guarantee that the selection contains at least $10$ pairs? (A pair of socks is two socks of the same color. No sock may be counted in more than one pair.)

$21$

$23$

$24$

$30$

$50$

Respuesta: B

Conceptos:principio del palomar paridad worst case

Nivel de dificultad: 1850

Pista pequeña:

Para cada color, a lo sumo uno de los calcetines seleccionados puede quedar sin pareja

For each color, at most one selected sock can remain unpaired

Pista grande:

Usa la paridad del total para mejorar la cota de cuatro calcetines sin pareja y luego construye un caso que casi alcance la garantía

Use the parity of the total to sharpen the four-unpaired bound, then construct a near-miss

Solución:

Con $23$ calcetines seleccionados, el número de colores que aparecen una cantidad impar de veces debe ser impar, por lo que es a lo sumo $3.$ Así, como máximo $3$ calcetines quedan sin pareja y al menos $20$ forman $10$ pares. Sin embargo, $22$ calcetines no bastan: las cantidades $7,5,5,5$ de los cuatro colores producen solo $3+2+2+2=9$ pares. Por tanto, el mínimo es $23.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

With $23$ selected socks, the number of colors having an odd count must itself be odd, so it is at most $3.$ Thus at most $3$ socks are unpaired, leaving at least $20$ socks in $10$ pairs. But $22$ socks do not suffice: color counts $7,5,5,5$ produce only $3+2+2+2=9$ pairs. Therefore the minimum is $23.$

Thus the correct answer is B.

18.

Un plano corta un cilindro circular recto de radio $1$ y forma una elipse. Si el eje mayor de la elipse es un $50\%$ más largo que el eje menor, la longitud del eje mayor es

A plane intersects a right circular cylinder of radius $1$ forming an ellipse. If the major axis of the ellipse is $50\%$ longer than the minor axis, the length of the major axis is

$1$

$\frac32$

$2$

$\frac94$

$3$

Respuesta: E

Conceptos:cilindro elipse spatial geometry

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

El eje menor de una sección elíptica de este tipo es un diámetro del cilindro

The minor axis of such an elliptical section is a diameter of the cylinder

Pista grande:

Aumenta ese diámetro en un $50\%$ para obtener el eje mayor

Increase that diameter by $50\%$ to obtain the major axis

Solución:

El eje menor de una sección plana elíptica de un cilindro circular recto es un diámetro del cilindro. Por tanto, su longitud es $2.$ El eje mayor es un $50\%$ más largo, por lo que su longitud es $2+0.50(2)=3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The minor axis of an elliptical plane section of a right circular cylinder is a diameter of the cylinder. Its length is therefore $2.$ The major axis is $50\%$ longer, so its length is $2+0.50(2)=3.$

Thus the correct answer is E.

19.

Un parque tiene la forma de un hexágono regular de $2$ km de lado. Alice parte de un vértice y camina $5$ km por el perímetro del parque. ¿A cuántos kilómetros de su punto de partida se encuentra?

A park is in the shape of a regular hexagon $2$ km on a side. Starting at a corner, Alice walks along the perimeter of the park for a distance of $5$ km. How many kilometers is she from her starting point?

$\sqrt{13}$

$\sqrt{14}$

$\sqrt{15}$

$\sqrt{16}$

$\sqrt{17}$

Respuesta: A

Conceptos:regular hexagon displacement Pythagorean theorem

Nivel de dificultad: 1620

Pista pequeña:

El recorrido consta de dos lados completos y la mitad del lado siguiente

The walk consists of two complete sides and half of the next side

Pista grande:

Descompón los tres segmentos dirigidos en componentes horizontales y verticales

Resolve the three directed segments into horizontal and vertical components

Solución:

Elijamos el primer lado en dirección horizontal. Las tres partes dirigidas del recorrido tienen vectores $\begin{gathered} (2,0),\qquad (1,\sqrt3),\\ \left(-\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right). \end{gathered}$ Su suma es $(\frac{5}{2},\frac{3\sqrt3}{2}).$ El cuadrado de su longitud es $\left(\frac52\right)^2+\left(\frac{3\sqrt3}{2}\right)^2=13.$ Por tanto, la distancia es $\sqrt{13}$ km.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Choose the first side in the horizontal direction. The three directed portions of the walk have vectors $\begin{gathered} (2,0),\qquad (1,\sqrt3),\\ \left(-\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right). \end{gathered}$ Their sum is $(\frac{5}{2},\frac{3\sqrt3}{2}).$ Its squared length is $\left(\frac52\right)^2+\left(\frac{3\sqrt3}{2}\right)^2=13.$ The distance is therefore $\sqrt{13}$ km.

Thus the correct answer is A.

20.

Supongamos que $x$ y $y$ son positivos e inversamente proporcionales. Si $x$ aumenta en $p\%,$ entonces $y$ disminuye en

Suppose $x$ and $y$ are inversely proportional and positive. If $x$ increases by $p\%,$ then $y$ decreases by

$p\%$

$\frac{p}{1+p}\%$

$\frac{100}{p}\%$

$\frac{p}{100+p}\%$

$\frac{100p}{100+p}\%$

Respuesta: E

Conceptos:inverse proportion percent change algebra

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Un aumento de $p\%$ multiplica $x$ por $\frac{100+p}{100}$

An increase by $p\%$ multiplies $x$ by $\frac{100+p}{100}$

Pista grande:

La proporcionalidad inversa divide $y$ entre ese factor; compara el valor nuevo con el anterior

Inverse proportionality divides $y$ by that factor; compare the new value with the old one

Solución:

El nuevo valor de $x$ es $\frac{x(100+p)}{100}.$ Por tanto, el nuevo valor de $y$ es $y\cdot\frac{100}{100+p}.$ La disminución fraccionaria es $1-\frac{100}{100+p}=\frac{p}{100+p}.$ Expresada como porcentaje, es $\frac{100p}{100+p}\%.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The new value of $x$ is $\frac{x(100+p)}{100}.$ Hence the new value of $y$ is $y\cdot\frac{100}{100+p}.$ The fractional decrease is $1-\frac{100}{100+p}=\frac{p}{100+p}.$ Expressed as a percentage, this is $\frac{100p}{100+p}\%.$

Thus the correct answer is E.

21.

En la configuración siguiente, $\theta$ se mide en radianes, $C$ es el centro del círculo, $BCD$ y $ACE$ son segmentos de recta, y $AB$ es tangente al círculo en $A.$

Una condición necesaria y suficiente para que las dos áreas sombreadas sean iguales, dado que $0\lt\theta\lt\frac{\pi}{2},$ es

In the configuration below, $\theta$ is measured in radians, $C$ is the center of the circle, $BCD$ and $ACE$ are line segments, and $AB$ is tangent to the circle at $A.$

A necessary and sufficient condition for the equality of the two shaded areas, given $0\lt\theta\lt\frac{\pi}{2},$ is

$\tan\theta=\theta$

$\tan\theta=2\theta$

$\tan\theta=4\theta$

$\tan2\theta=\theta$

$\tan\frac{\theta}{2}=\theta$

Respuesta: B

Conceptos:sector area tangent triángulo rectángulo equation

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Sea $r=AC$ el radio del círculo y compara un sector con el triángulo $ABC$

Let the circle’s radius be $r=AC$ and compare a sector with triangle $ABC$

Pista grande:

La igualdad de las dos regiones sombreadas significa que el triángulo completo tiene el doble del área del sector

Equality of the two shaded pieces means the whole triangle has twice the sector’s area

Solución:

Sea $r=AC.$ El sector sombreado superior tiene área $\frac{\theta r^2}{2}.$ La región sombreada inferior es el triángulo $ABC$ menos un sector de la misma área. Por tanto, las dos regiones sombreadas son iguales exactamente cuando $2\left(\frac{\theta r^2}{2}\right) =\frac12r\cdot AB.$ Esto equivale a $\frac{AB}{r}=2\theta.$ Como $AB$ es tangente en $A,$ el triángulo $ABC$ es rectángulo en $A,$ y $\frac{AB}{r}=\tan\theta.$ Por consiguiente, la condición es $\tan\theta=2\theta.$

Por tanto, la respuesta correcta es B.

Let $r=AC.$ The upper shaded sector has area $\frac{\theta r^2}{2}.$ The lower shaded region is triangle $ABC$ with an equal sector removed. Thus the two shaded regions are equal exactly when $2\left(\frac{\theta r^2}{2}\right) =\frac12r\cdot AB.$ This is equivalent to $\frac{AB}{r}=2\theta.$ Since $AB$ is tangent at $A,$ triangle $ABC$ is right at $A,$ and $\frac{AB}{r}=\tan\theta.$ Therefore the condition is $\tan\theta=2\theta.$

Thus the correct answer is B.

22.

Se eligen al azar seis enteros distintos de $\{1,2,3,\ldots,10\}.$ ¿Cuál es la probabilidad de que, entre los seleccionados, el segundo menor sea $3$ ?

Six distinct integers are picked at random from $\{1,2,3,\ldots,10\}.$ What is the probability that, among those selected, the second smallest is $3?$

$\frac1{60}$

$\frac16$

$\frac13$

$\frac12$

ninguna de estas

none of these

Respuesta: C

Conceptos:combination probability order statistic

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Cuenta todos los subconjuntos de seis elementos de los diez enteros

Count all six-element subsets of the ten integers

Pista grande:

Para que el segundo menor sea $3,$ elige un elemento menor que $3$ y cuatro mayores que $3$

For second-smallest $3,$ choose one element below $3$ and four above $3$

Solución:

Hay $\binom{10}{6}=210$ conjuntos posibles. Si el segundo menor es $3,$ entonces se selecciona $3,$ se elige un elemento de $\{1,2\},$ y cuatro de $\{4,5,\ldots,10\}.$ Esto da $2\binom74=70$ conjuntos favorables. La probabilidad es $\frac{70}{210}=\frac{1}{3}.$

Por tanto, la respuesta correcta es C.

There are $\binom{10}{6}=210$ possible sets. If the second-smallest element is $3,$ then $3$ is selected, one element is chosen from $\{1,2\},$ and four are chosen from $\{4,5,\ldots,10\}.$ This gives $2\binom74=70$ favorable sets. The probability is $\frac{70}{210}=\frac{1}{3}.$

Thus the correct answer is C.

23.

Sea $\begin{aligned} N={}&69^5+5\cdot69^4+10\cdot69^3\\ &{}+10\cdot69^2+5\cdot69+1. \end{aligned}$ ¿Cuántos enteros positivos son factores de $N$ ?

Let $\begin{aligned} N={}&69^5+5\cdot69^4+10\cdot69^3\\ &{}+10\cdot69^2+5\cdot69+1. \end{aligned}$ How many positive integers are factors of $N?$

$3$

$5$

$69$

$125$

$216$

Respuesta: E

Conceptos:teorema del binomio factorización en primos divisor count

Nivel de dificultad: 1890

Pista pequeña:

Reconoce los coeficientes $1,5,10,10,5,1$

Recognize the coefficients $1,5,10,10,5,1$

Pista grande:

Después de usar el teorema del binomio, factoriza en primos la base resultante

After using the binomial theorem, factor the resulting base into primes

Solución:

Por el teorema del binomio, $\begin{aligned} N&=(69+1)^5=70^5\\ &=2^5\cdot5^5\cdot7^5. \end{aligned}$ Un divisor elige de manera independiente un exponente de $0$ a $5$ para cada uno de los tres primos. Por tanto, $N$ tiene $6^3=216$ divisores positivos.

Por tanto, la respuesta correcta es E.

By the binomial theorem, $\begin{aligned} N&=(69+1)^5=70^5\\ &=2^5\cdot5^5\cdot7^5. \end{aligned}$ A divisor independently chooses an exponent from $0$ through $5$ for each of the three primes. Thus $N$ has $6^3=216$ positive divisors.

Therefore the correct answer is E.

24.

Sea $p(x)=x^2+bx+c,$ donde $b$ y $c$ son enteros. Si $p(x)$ es un factor tanto de

$x^4+6x^2+25$

como de

$3x^4+4x^2+28x+5,$ ¿cuánto vale $p(1)$ ?

Let $p(x)=x^2+bx+c,$ where $b$ and $c$ are integers. If $p(x)$ is a factor of both

$x^4+6x^2+25$

and

$3x^4+4x^2+28x+5,$ what is $p(1)?$

$0$

$1$

$2$

$4$

$8$

Respuesta: D

Conceptos:polynomial factor linear combination Gauss lemma

Nivel de dificultad: 2200

Pista pequeña:

Un factor común divide toda combinación lineal entera de los dos polinomios

A common factor divides every integer linear combination of the two polynomials

Pista grande:

Resta el segundo polinomio de tres veces el primero

Subtract the second polynomial from three times the first

Solución:

El factor común $p(x)$ divide $\begin{aligned} &3(x^4+6x^2+25)\\ &\quad{}-(3x^4+4x^2+28x+5)\\ &\qquad=14(x^2-2x+5). \end{aligned}$ Como $p(x)$ es mónico y tiene coeficientes enteros, el lema de Gauss implica que divide $x^2-2x+5.$ Ambos polinomios son mónicos y tienen el mismo grado, así que $p(x)=x^2-2x+5.$ Por tanto, $p(1)=1-2+5=4.$

Por tanto, la respuesta correcta es D.

The common factor $p(x)$ divides $\begin{aligned} &3(x^4+6x^2+25)\\ &\quad{}-(3x^4+4x^2+28x+5)\\ &\qquad=14(x^2-2x+5). \end{aligned}$ Because $p(x)$ is monic with integer coefficients, Gauss’s lemma implies that it divides $x^2-2x+5.$ The two polynomials are monic and have the same degree, so $p(x)=x^2-2x+5.$ Hence $p(1)=1-2+5=4.$

Thus the correct answer is D.

25.

Si $\lfloor x\rfloor$ es el mayor entero menor o igual que $x,$ entonces $\sum_{N=1}^{1024}\lfloor\log_2N\rfloor=$

If $\lfloor x\rfloor$ is the greatest integer less than or equal to $x,$ then $\sum_{N=1}^{1024}\lfloor\log_2N\rfloor=$

$8192$

$8204$

$9218$

$\lfloor\log_2(1024!)\rfloor$

ninguna de estas

none of these

Respuesta: B

Conceptos:floor function logaritmo geometric series

Nivel de dificultad: 2300

Pista pequeña:

Agrupa los enteros $N$ según el intervalo $2^k\le N\lt2^{k+1}$

Group the integers $N$ according to the interval $2^k\le N\lt2^{k+1}$

Pista grande:

Hay $2^k$ enteros en el grupo $k$ ; considera $N=1024$ por separado

There are $2^k$ integers in the $k$ th group; handle $N=1024$ separately

Solución:

Para $0\le k\le9,$ exactamente $2^k$ enteros $N$ satisfacen $2^k\le N\lt2^{k+1},$ y cada uno aporta $k.$ El entero final $1024=2^{10}$ aporta $10.$ Por tanto, $\sum_{N=1}^{1024}\lfloor\log_2N\rfloor =\sum_{k=0}^{9}k2^k+10.$ La identidad para la suma geométrica finita da $\sum_{k=0}^{9}k2^k=8194,$ por lo que la suma pedida es $8204.$

Por tanto, la respuesta correcta es B.

For $0\le k\le9,$ exactly $2^k$ integers $N$ satisfy $2^k\le N\lt2^{k+1},$ and each contributes $k.$ The final integer $1024=2^{10}$ contributes $10.$ Hence $\sum_{N=1}^{1024}\lfloor\log_2N\rfloor =\sum_{k=0}^{9}k2^k+10.$ The finite geometric-sum identity gives $\sum_{k=0}^{9}k2^k=8194,$ so the requested sum is $8204.$

Thus the correct answer is B.

26.

Se desea construir un triángulo rectángulo en el plano coordenado de modo que sus catetos sean paralelos a los ejes $x$ e $y,$ y que las medianas a los puntos medios de los catetos estén sobre las rectas $y=3x+1$ y $y=mx+2.$ El número de constantes distintas $m$ para las cuales existe tal triángulo es

It is desired to construct a right triangle in the coordinate plane so that its legs are parallel to the $x$ and $y$ axes and so that the medians to the midpoints of the legs lie on the lines $y=3x+1$ and $y=mx+2.$ The number of different constants $m$ for which such a triangle exists is

$0$

$1$

$2$

$3$

más de $3$

more than $3$

Respuesta: C

Conceptos:geometría analítica median pendiente construction

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Coloca un triángulo rectángulo con catetos paralelos a los ejes en coordenadas convenientes y calcula las pendientes de las dos medianas a sus catetos

Place an axis-aligned right triangle at convenient coordinates and compute the slopes of the two medians to its legs

Pista grande:

Las dos pendientes difieren por un factor de $4;$ recuerda que cualquiera de las rectas dadas podría ser la de mayor pendiente

The two slopes differ by a factor of $4;$ remember that either given line could be the steeper one

Solución:

Coloca el vértice del ángulo recto en $(0,0)$ y los otros vértices en $(a,0)$ y $(0,b).$ Las medianas a los catetos tienen pendientes $-\frac{2b}{a}$ y $-\frac{b}{2a},$ cuya razón es $4.$ Por tanto, si una mediana tiene pendiente $3,$ la otra puede tener pendiente $12$ o $\frac{3}{4}.$ Ambas posibilidades se dan: elige un triángulo con el par de pendientes requerido y traslada su centroide a la intersección de las dos rectas especificadas. Así, hay dos valores posibles de $m.$

Por tanto, la respuesta correcta es C.

Place the right-angle vertex at $(0,0)$ and the other vertices at $(a,0)$ and $(0,b).$ The medians to the legs have slopes $-\frac{2b}{a}$ and $-\frac{b}{2a},$ whose ratio is $4.$ Therefore, if one median has slope $3,$ the other can have slope $12$ or $\frac{3}{4}.$ Both occur: choose a triangle with the required pair of slopes and translate its centroid to the intersection of the two specified lines. Thus there are two possible values of $m.$

Therefore the correct answer is C.

27.

En la figura adjunta, $AB$ es un diámetro del círculo, $CD$ es una cuerda paralela a $AB,$ y $AC$ corta a $BD$ en $E,$ con $\angle AED=\alpha.$ La razón entre el área de $\triangle CDE$ y la de $\triangle ABE$ es

In the adjoining figure, $AB$ is a diameter of the circle, $CD$ is a chord parallel to $AB,$ and $AC$ intersects $BD$ at $E,$ with $\angle AED=\alpha.$ The ratio of the area of $\triangle CDE$ to that of $\triangle ABE$ is

$\cos\alpha$

$\sin\alpha$

$\cos^2\alpha$

$\sin^2\alpha$

$1-\sin\alpha$

Respuesta: C

Conceptos:círculo intersecting chords área del triángulo trigonometría

Nivel de dificultad: 2320

Pista pequeña:

Expresa el área de cada triángulo usando los dos lados que se encuentran en $E$

Express each triangle’s area using the two sides meeting at $E$

Pista grande:

Usa el teorema de las cuerdas que se cortan; después traza $AD$ y usa el triángulo rectángulo creado por el diámetro $AB$

Use the intersecting-chords theorem, then draw $AD$ and use the right triangle created by diameter $AB$

Solución:

Los triángulos usan el mismo ángulo en $E,$ así que $\frac{[CDE]}{[ABE]} =\frac{CE\cdot DE}{AE\cdot BE}.$ Las cuerdas que se cortan dan $AE\cdot CE=BE\cdot DE,$ de modo que esta razón se convierte en $(\frac{DE}{AE})^2.$ Traza $AD.$ Como $AB$ es un diámetro, $\angle ADB=90^\circ,$ y $D,E,B$ son colineales. Por tanto, el triángulo $ADE$ es rectángulo en $D,$ y $\frac{DE}{AE}=\cos\alpha.$ La razón pedida es $\cos^2\alpha.$

Por tanto, la respuesta correcta es C.

The triangles use the same angle at $E,$ so $\frac{[CDE]}{[ABE]} =\frac{CE\cdot DE}{AE\cdot BE}.$ Intersecting chords give $AE\cdot CE=BE\cdot DE,$ so this ratio becomes $(\frac{DE}{AE})^2.$ Draw $AD.$ Since $AB$ is a diameter, $\angle ADB=90^\circ,$ and $D,E,B$ are collinear. Thus triangle $ADE$ is right at $D,$ and $\frac{DE}{AE}=\cos\alpha.$ The required ratio is $\cos^2\alpha.$

Thus the correct answer is C.

28.

$ABCDE$ es un pentágono regular. $AP,$ $AQ$ y $AR$ son las perpendiculares trazadas desde $A$ a $CD,$ a la prolongación de $CB$ y a la prolongación de $DE,$ respectivamente. Sea $O$ el centro del pentágono. Si $OP=1,$ entonces $AO+AQ+AR$ es igual a

$ABCDE$ is a regular pentagon. $AP,$ $AQ$ and $AR$ are the perpendiculars dropped from $A$ onto $CD,$ $CB$ extended and $DE$ extended, respectively. Let $O$ be the center of the pentagon. If $OP=1,$ then $AO+AQ+AR$ equals

$3$

$1+\sqrt5$

$4$

$2+\sqrt5$

$5$

Respuesta: C

Conceptos:regular pentagon descomposición de áreas altura

Nivel de dificultad: 2320

Pista pequeña:

Sea $s$ la longitud del lado y calcula el área del pentágono a partir de sus cinco triángulos centrales

Let $s$ be the side length and compute the pentagon’s area from its five central triangles

Pista grande:

Divide también el pentágono en los triángulos $ABC,$ $ACD$ y $ADE,$ cuyas alturas son $AQ,AP,AR$

Also split the pentagon into triangles $ABC,$ $ACD$ and $ADE$ with altitudes $AQ,AP,AR$

Solución:

Sea $s$ la longitud del lado. Como el apotema $OP=1,$ los cinco triángulos centrales dan un área del pentágono de $\frac{5s}{2}.$ El mismo pentágono es la unión de los triángulos $ABC,$ $ACD$ y $ADE,$ cuyas alturas respectivas sobre bases de la longitud del lado son $AQ,AP,AR.$ Por tanto, $\frac{s}{2}(AQ+AP+AR)=\frac{5s}{2},$ de modo que $AQ+AP+AR=5.$ Además, $AP=AO+OP=AO+1.$ Por consiguiente, $AO+AQ+AR=4.$

Por tanto, la respuesta correcta es C.

Let the side length be $s.$ Since the apothem $OP=1,$ the five central triangles give pentagon area $\frac{5s}{2}.$ The same pentagon is the union of triangles $ABC,$ $ACD$ and $ADE,$ whose respective altitudes to side-length bases are $AQ,AP,AR.$ Hence $\frac{s}{2}(AQ+AP+AR)=\frac{5s}{2},$ so $AQ+AP+AR=5.$ Also $AP=AO+OP=AO+1.$ Therefore $AO+AQ+AR=4.$

Thus the correct answer is C.

29.

Dos de las alturas del triángulo escaleno $ABC$ miden $4$ y $12.$ Si la longitud de la tercera altura también es un entero, ¿cuál es su mayor valor posible?

Two of the altitudes of the scalene triangle $ABC$ have length $4$ and $12.$ If the length of the third altitude is also an integer, what is the biggest it can be?

$4$

$5$

$6$

$7$

ninguna de estas

none of these

Respuesta: B

Conceptos:desigualdad triangular altura área reciprocal relation

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Para un área fija del triángulo, cada lado es inversamente proporcional a su altura correspondiente

For a fixed triangle area, each side is inversely proportional to its corresponding altitude

Pista grande:

Aplica las desigualdades del triángulo a longitudes de lado proporcionales a $\frac{1}{4},\frac{1}{12},\frac{1}{h}$

Apply the triangle inequalities to side lengths proportional to $\frac{1}{4},\frac{1}{12},\frac{1}{h}$

Solución:

Sea $h$ la tercera altura. Como cada lado es igual al doble del área común dividido entre su altura, las longitudes de los lados son proporcionales a $\frac14,\qquad\frac1{12},\qquad\frac1h.$ Las dos desigualdades no triviales del triángulo dan $\begin{aligned} \frac1h&\lt\frac14+\frac1{12}=\frac13,\\ \frac1h&\gt\frac14-\frac1{12}=\frac16. \end{aligned}$ Por tanto, $3\lt h\lt6.$ La mayor posibilidad entera es $5,$ y sus tres alturas son distintas, como se requiere para un triángulo escaleno.

Por tanto, la respuesta correcta es B.

Let the third altitude be $h.$ Since each side equals twice the common area divided by its altitude, the side lengths are proportional to $\frac14,\qquad\frac1{12},\qquad\frac1h.$ The two nontrivial triangle inequalities give $\begin{aligned} \frac1h&\lt\frac14+\frac1{12}=\frac13,\\ \frac1h&\gt\frac14-\frac1{12}=\frac16. \end{aligned}$ Thus $3\lt h\lt6.$ The largest integral possibility is $5,$ and its three altitudes are distinct as required for a scalene triangle.

Therefore the correct answer is B.

30.

El número de soluciones reales $(x,y,z,w)$ del sistema de ecuaciones $\begin{aligned} 2y&=x+\frac{17}{x},\\ 2z&=y+\frac{17}{y},\\ 2w&=z+\frac{17}{z},\\ 2x&=w+\frac{17}{w}. \end{aligned}$ es

The number of real solutions $(x,y,z,w)$ of the simultaneous equations $\begin{aligned} 2y&=x+\frac{17}{x},\\ 2z&=y+\frac{17}{y},\\ 2w&=z+\frac{17}{z},\\ 2x&=w+\frac{17}{w}. \end{aligned}$ is

$1$

$2$

$4$

$8$

$16$

Respuesta: B

Conceptos:cyclic system AM-GM inequality monotonicity sign symmetry

Nivel de dificultad: 2420

Pista pequeña:

Las ecuaciones obligan a que las cuatro variables tengan el mismo signo

The equations force all four variables to have the same sign

Pista grande:

Para $t$ positivo, estudia $f(t)=\frac{t+\frac{17}{t}}{2}$ en relación con $\sqrt{17}$ y con $t$

For positive $t,$ study $f(t)=\frac{t+\frac{17}{t}}{2}$ relative to $\sqrt{17}$ and to $t$

Solución:

Cada expresión $t+\frac{17}{t}$ tiene el mismo signo que $t,$ así que las cuatro variables tienen el mismo signo. Supongamos primero que son positivas. Por la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica, cada variable es al menos $\sqrt{17}.$ Para $t\gt\sqrt{17},$ $\frac{t+\frac{17}{t}}{2}\lt t.$ Si alguna variable excediera $\sqrt{17},$ las ecuaciones producirían el ciclo estricto imposible $x\gt y\gt z\gt w\gt x.$ Por tanto, la única solución positiva es $x=y=z=w=\sqrt{17}.$ Cambiar de signo las cuatro variables conserva el sistema, lo que da exactamente una solución negativa, con todas las variables iguales a $-\sqrt{17}.$ Así, hay dos soluciones reales.

Por tanto, la respuesta correcta es B.

Each expression $t+\frac{17}{t}$ has the same sign as $t,$ so all four variables have the same sign. Suppose first that they are positive. By AM-GM, every variable is at least $\sqrt{17}.$ For $t\gt\sqrt{17},$ $\frac{t+\frac{17}{t}}{2}\lt t.$ If any variable exceeded $\sqrt{17},$ the equations would give the impossible strict cycle $x\gt y\gt z\gt w\gt x.$ Hence the only positive solution is $x=y=z=w=\sqrt{17}.$ Negating all four variables preserves the system, giving exactly one negative solution, with all variables equal to $-\sqrt{17}.$ Thus there are two real solutions.

Therefore the correct answer is B.

Problemas del 1986 AMC 12

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 840

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 890

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1230

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 870

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1260

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1130

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1470

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Pista grande:

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Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1440

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Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1560

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Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1300

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Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1360

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Respuesta: C

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Respuesta: C

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