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1986 AMC 12 Problema 27

Intenta el Problema 27 del 1986 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1986 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

27.

En la figura adjunta, ABAB es un diámetro del círculo, CDCD es una cuerda paralela a AB,AB, y ACAC corta a BDBD en E,E, con ∠AED=α.\angle AED=\alpha. La razón entre el área de △CDE\triangle CDE y la de △ABE\triangle ABE es

In the adjoining figure, ABAB is a diameter of the circle, CDCD is a chord parallel to AB,AB, and ACAC intersects BDBD at E,E, with ∠AED=α.\angle AED=\alpha. The ratio of the area of △CDE\triangle CDE to that of △ABE\triangle ABE is

cos⁡α\cos\alpha

sin⁡α\sin\alpha

cos⁡2α\cos^2\alpha

sin⁡2α\sin^2\alpha

1−sin⁡α1-\sin\alpha

Respuesta: C
Conceptos:círculointersecting chordsárea del triángulotrigonometría
Nivel de dificultad: 2320
Pista pequeña:

Expresa el área de cada triángulo usando los dos lados que se encuentran en EE

Express each triangle’s area using the two sides meeting at EE

Pista grande:

Usa el teorema de las cuerdas que se cortan; después traza ADAD y usa el triángulo rectángulo creado por el diámetro ABAB

Use the intersecting-chords theorem, then draw ADAD and use the right triangle created by diameter ABAB

Solución:

Los triángulos usan el mismo ángulo en E,E, así que [CDE][ABE]=CE⋅DEAE⋅BE. \frac{[CDE]}{[ABE]} =\frac{CE\cdot DE}{AE\cdot BE}. Las cuerdas que se cortan dan AE⋅CE=BE⋅DE,AE\cdot CE=BE\cdot DE, de modo que esta razón se convierte en (DEAE)2.(\frac{DE}{AE})^2. Traza AD.AD. Como ABAB es un diámetro, ∠ADB=90∘,\angle ADB=90^\circ, y D,E,BD,E,B son colineales. Por tanto, el triángulo ADEADE es rectángulo en D,D, y DEAE=cos⁡α.\frac{DE}{AE}=\cos\alpha. La razón pedida es cos⁡2α.\cos^2\alpha.

Por tanto, la respuesta correcta es C.

The triangles use the same angle at E,E, so [CDE][ABE]=CE⋅DEAE⋅BE. \frac{[CDE]}{[ABE]} =\frac{CE\cdot DE}{AE\cdot BE}. Intersecting chords give AE⋅CE=BE⋅DE,AE\cdot CE=BE\cdot DE, so this ratio becomes (DEAE)2.(\frac{DE}{AE})^2. Draw AD.AD. Since ABAB is a diameter, ∠ADB=90∘,\angle ADB=90^\circ, and D,E,BD,E,B are collinear. Thus triangle ADEADE is right at D,D, and DEAE=cos⁡α.\frac{DE}{AE}=\cos\alpha. The required ratio is cos⁡2α.\cos^2\alpha.

Thus the correct answer is C.

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