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1996 AMC 12 Problema 27

Intenta el Problema 27 del 1996 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1996 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

27.

Considera dos bolas esféricas macizas: una con centro en (0,0,212)(0,0,\frac{21}{2}) y radio 6,6, y la otra con centro en (0,0,1)(0,0,1) y radio 92.\frac92. ¿Cuántos puntos (x,y,z)(x,y,z) de coordenadas enteras (puntos de la retícula) hay en la intersección de las bolas?

Consider two solid spherical balls, one centered at (0,0,212)(0,0,\frac{21}{2}) with radius 6,6, and the other centered at (0,0,1)(0,0,1) with radius 92.\frac92. How many points (x,y,z)(x,y,z) with only integer coordinates (lattice points) are there in the intersection of the balls?

77

99

1111

1313

1515

Respuesta: D
Conceptos:lattice pointsspheresinequalities
Nivel de dificultad: 2100
Pista pequeña:

Primero interseca los intervalos enteros posibles para la coordenada zz en las dos bolas

First intersect the possible integer ranges for the zz-coordinate in the two balls

Pista grande:

En la única altura posible, reduce ambas desigualdades esféricas a una cota para x2+y2x^2+y^2

At the only possible height, reduce both sphere inequalities to a bound on x2+y2x^2+y^2

Solución:

La primera bola permite alturas enteras de 55 a 16,16, mientras que la segunda permite de −3-3 a 5,5, así que un punto de la retícula en la intersección debe tener z=5.z=5. A esa altura, las dos cotas son x2+y2≤36−(5−212)2=234,x2+y2≤814−(5−1)2=174. \begin{aligned} x^2+y^2 &\le36-\left(5-\frac{21}{2}\right)^2\\ &=\frac{23}{4},\\ x^2+y^2 &\le\frac{81}{4}-(5-1)^2\\ &=\frac{17}{4}. \end{aligned} Por tanto, x2+y2x^2+y^2 puede ser 0,1,2,0,1,2, o 4.4. Estos valores dan 1,4,4,1,4,4, y 44 pares enteros ordenados, respectivamente, para un total de 1313 puntos. La respuesta correcta es D.

The first ball permits integer heights 55 through 16,16, while the second permits −3-3 through 5,5, so an intersection lattice point must have z=5.z=5. At that height the two bounds are x2+y2≤36−(5−212)2=234,x2+y2≤814−(5−1)2=174. \begin{aligned} x^2+y^2 &\le36-\left(5-\frac{21}{2}\right)^2\\ &=\frac{23}{4},\\ x^2+y^2 &\le\frac{81}{4}-(5-1)^2\\ &=\frac{17}{4}. \end{aligned} Thus x2+y2x^2+y^2 can be 0,1,2,0,1,2, or 4.4. These give 1,4,4,1,4,4, and 44 ordered integer pairs, respectively, for 1313 points. The correct answer is D.

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