Question

El radio del primer círculo mide $1$ pulgada; el del segundo, $\dfrac12$ pulgada; el del tercero, $\dfrac14$ de pulgada; y así sucesivamente sin fin. La suma de las áreas de los círculos es:

The radius of the first circle is $1$ inch, that of the second $\dfrac12$ inch, that of the third $\dfrac14$ inch and so on indefinitely. The sum of the areas of the circles is:

$\dfrac{3\pi}{4}$

$1.3\pi$

$2\pi$

$\dfrac{4\pi}{3}$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: D

Conceptos:área del círculo infinite geometric series

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

Al elevar cada radio al cuadrado, cambia la razón común

Squaring each radius changes the common ratio

Pista grande:

Las áreas forman una serie geométrica con primer término $\pi$ y razón $\frac{1}{4}$

The areas form a geometric series with first term $\pi$ and ratio $\frac{1}{4}$

Solución:

Las áreas son $\pi,\ \frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{16},\ldots$ Por lo tanto, su suma es $\frac{\pi}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4\pi}{3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The areas are $\pi,\ \frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{16},\ldots$ Therefore their sum is $\frac{\pi}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4\pi}{3}.$

Thus, the correct answer is D.

1953 AMC 12 Problema 27

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 27 en otros años