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1972 AMC 12 Problema 27

Intenta el Problema 27 del 1972 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1972 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

27.

Si el área de △ABC\triangle ABC es 6464 unidades cuadradas y la media geométrica (media proporcional) entre los lados ABAB y ACAC es 1212 pulgadas, entonces sin⁡A\sin A es igual a:

If the area of △ABC\triangle ABC is 6464 square units and the geometric mean (mean proportional) between sides ABAB and ACAC is 1212 inches, then sin⁡A\sin A is equal to:

32\dfrac{\sqrt3}{2}

35\dfrac35

45\dfrac45

89\dfrac89

1517\dfrac{15}{17}

Respuesta: D
Conceptos:área del triángulotrigonometríamanipulación algebraica
Nivel de dificultad: 1470
Pista pequeña:

La condición de la media geométrica determina el producto AB⋅ACAB\cdot AC

The geometric-mean condition determines the product AB⋅ACAB\cdot AC

Pista grande:

Usa [△ABC]=12(AB)(AC)sin⁡A[\triangle ABC]=\frac12(AB)(AC)\sin A

Use [△ABC]=12(AB)(AC)sin⁡A[\triangle ABC]=\frac12(AB)(AC)\sin A

Solución:

La condición de la media geométrica dice AB⋅AC=122=144. AB\cdot AC=12^2=144. Por lo tanto, 64=12(AB)(AC)sin⁡A=72sin⁡A, \begin{aligned} 64&=\frac12(AB)(AC)\sin A\\ &=72\sin A, \end{aligned} así que sin⁡A=89.\sin A=\frac{8}{9}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The geometric-mean condition says AB⋅AC=122=144. AB\cdot AC=12^2=144. Therefore 64=12(AB)(AC)sin⁡A=72sin⁡A, \begin{aligned} 64&=\frac12(AB)(AC)\sin A\\ &=72\sin A, \end{aligned} so sin⁡A=89.\sin A=\frac{8}{9}.

Therefore, the correct answer is D.

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