Question

Considera las funciones $f$ que satisfacen $f(x+4)+f(x-4)=f(x)$ para todo $x$ real. Cada una de esas funciones es periódica, y existe un menor período positivo común $p$ para todas ellas. Halla $p.$

Consider those functions $f$ that satisfy $f(x+4)+f(x-4)=f(x)$ for all real $x.$ Any such function is periodic, and there is a least common positive period $p$ for all of them. Find $p.$

$8$

$12$

$16$

$24$

$32$

Respuesta: D

Conceptos:functional equations recurrences periodicity

Nivel de dificultad: 2180

Pista pequeña:

Para un $x$ fijo, estudia la sucesión $u_n=f(x+4n)$

For fixed $x$ , study the sequence $u_n=f(x+4n)$

Pista grande:

Usa repetidamente $u_{n+1}+u_{n-1}=u_n$ para averiguar cuándo regresa cada par inicial

Use $u_{n+1}+u_{n-1}=u_n$ repeatedly to find when every initial pair returns

Solución:

Para $u_n=f(x+4n),$ la ecuación es $u_{n+1}=u_n-u_{n-1}.$ A partir de $u_0,u_1,$ la sucesión es $\begin{gathered} u_0,u_1,u_1-u_0,-u_0,\\ -u_1,u_0-u_1,u_0,u_1,\ldots, \end{gathered}$ por lo que toda función de este tipo tiene período $6\cdot4=24.$ Este es el menor posible porque $f(x)=\sin(\frac{\pi x}{12})$ satisface la ecuación y tiene período fundamental $24.$ Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

For $u_n=f(x+4n),$ the equation is $u_{n+1}=u_n-u_{n-1}.$ Starting from $u_0,u_1,$ the sequence is $\begin{gathered} u_0,u_1,u_1-u_0,-u_0,\\ -u_1,u_0-u_1,u_0,u_1,\ldots, \end{gathered}$ so every such function has period $6\cdot4=24.$ This is least because $f(x)=\sin(\frac{\pi x}{12})$ satisfies the equation and has fundamental period $24.$ Hence D is correct.

1997 AMC 12 Problema 27

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2180

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 27 en otros años