Soluciones del 1997 AMC 12 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Si $a$ y $b$ son dígitos tales que $\begin{array}{r} 2a\\[-2pt] {}\times b3\\ \hline 69\\ 92\phantom0\\ \hline 989 \end{array}$ entonces $a+b=$

If $a$ and $b$ are digits for which $\begin{array}{r} 2a\\[-2pt] {}\times b3\\ \hline 69\\ 92\phantom0\\ \hline 989 \end{array}$ then $a+b=$

$3$

$4$

$7$

$9$

$12$

Conceptos:long multiplication dígitos

Nivel de dificultad: 920

Pista pequeña:

Usa el primer producto parcial para determinar el número de dos dígitos de arriba

Use the first partial product to determine the two-digit top factor

Pista grande:

El segundo producto parcial es el número de arriba multiplicado por $b$

The second partial product is the top factor multiplied by $b$

Solución:

Del primer producto parcial se obtiene $3(20+a)=69,$ así que $a=3.$ Del segundo se obtiene $23b=92,$ así que $b=4.$ Por lo tanto, $a+b=7,$ y la respuesta correcta es C.

The first partial product says $3(20+a)=69,$ so $a=3.$ The second says $23b=92,$ so $b=4.$ Thus $a+b=7,$ and the correct answer is C.

2.

Los lados adyacentes del decágono mostrado forman ángulos rectos. ¿Cuál es su perímetro?

The adjacent sides of the decagon shown meet at right angles. What is its perimeter?

$22$

$32$

$34$

$44$

$50$

Conceptos:perímetro rectilinear polygons

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

La suma de las longitudes de los lados horizontales que avanzan hacia la derecha y no están marcados es igual a la longitud de la base

The unlabeled rightward horizontal lengths together equal the bottom width

Pista grande:

Halla la altura total sumando la altura marcada y la del escalón superior

Find the total vertical extent by combining the labeled height and the upper step

Solución:

La suma de los lados horizontales que avanzan hacia la derecha es $12,$ por lo que la suma de todos los lados horizontales es $24.$ La altura total es $8+2=10,$ así que la suma de los lados verticales es $20.$ Por lo tanto, el perímetro es $24+20=44,$ y la respuesta correcta es D.

The total of the rightward horizontal sides is $12,$ so all horizontal sides total $24.$ The full height is $8+2=10,$ so the vertical sides total $20.$ Therefore the perimeter is $24+20=44,$ and the correct answer is D.

3.

Si $x,$ $y$ y $z$ son números reales tales que $\begin{aligned} (x-3)^2+(y-4)^2\\ {}+(z-5)^2&=0, \end{aligned}$ entonces $x+y+z=$

If $x,$ $y,$ and $z$ are real numbers such that $\begin{aligned} (x-3)^2+(y-4)^2\\ {}+(z-5)^2&=0, \end{aligned}$ then $x+y+z=$

$-12$

$0$

$8$

$12$

$50$

Conceptos:nonnegative squares equations

Nivel de dificultad: 1060

Pista pequeña:

El cuadrado de todo número real es no negativo

Each squared real quantity is nonnegative

Pista grande:

Una suma de términos no negativos solo es cero si todos los términos son cero

A sum of nonnegative terms is zero only when every term is zero

Solución:

Los tres cuadrados son no negativos, así que cada uno debe ser $0.$ Por lo tanto, $x=3,$ $y=4,$ $z=5,$ y $x+y+z=12.$ La respuesta correcta es D.

All three squares are nonnegative, so each must be $0.$ Hence $x=3,$ $y=4,$ $z=5,$ and $x+y+z=12.$ The correct answer is D.

4.

Si $a$ es un $50\%$ mayor que $c,$ y $b$ es un $25\%$ mayor que $c,$ ¿en qué porcentaje es $a$ mayor que $b$ ?

If $a$ is $50\%$ larger than $c,$ and $b$ is $25\%$ larger than $c,$ then $a$ is what percent larger than $b?$

$20\%$

$25\%$

$50\%$

$100\%$

$200\%$

Conceptos:percent change ratios

Nivel de dificultad: 920

Pista pequeña:

Escribe tanto $a$ como $b$ como múltiplos de $c$

Write both $a$ and $b$ as multiples of $c$

Pista grande:

El porcentaje pedido usa $b$ , no $c$ , como base

The requested percentage uses $b$ , not $c$ , as its base

Solución:

Tenemos $a=1.5c$ y $b=1.25c.$ Entonces $\frac{a}{b}=\frac{1.5}{1.25}=1.2,$ por lo que $a$ es un $20\%$ mayor que $b.$ La respuesta correcta es A.

We have $a=1.5c$ and $b=1.25c.$ Thus $\frac{a}{b}=\frac{1.5}{1.25}=1.2,$ so $a$ is $20\%$ larger than $b.$ The correct answer is A.

5.

Un rectángulo de perímetro $176$ está dividido en cinco rectángulos congruentes, como se muestra en el diagrama. ¿Cuál es el perímetro de uno de los cinco rectángulos congruentes?

A rectangle with perimeter $176$ is divided into five congruent rectangles as shown in the diagram. What is the perimeter of one of the five congruent rectangles?

$35.2$

$76$

$80$

$84$

$86$

Conceptos:similar dimensions perímetro

Nivel de dificultad: 1260

Pista pequeña:

Sean $x$ y $y$ los lados corto y largo de un rectángulo pequeño

Let the short and long sides of a small rectangle be $x$ and $y$

Pista grande:

El ancho total es $3x$ en la parte superior y también $2y$ en la parte inferior

The total width is both $3x$ across the top and $2y$ across the bottom

Solución:

Sean $x$ y $y$ los lados de un rectángulo pequeño. El ancho común da $3x=2y,$ mientras que las dimensiones del rectángulo grande son $3x$ y $x+y.$ Su perímetro satisface $2(4x+y)=176.$ Como $y=\frac{3x}{2},$ esto se convierte en $11x=176,$ de donde $x=16$ y $y=24.$ El perímetro de un rectángulo pequeño es $2(16+24)=80,$ así que C es la respuesta correcta.

Let a small rectangle have sides $x$ and $y.$ The common width gives $3x=2y,$ while the large rectangle has dimensions $3x$ by $x+y.$ Its perimeter is $2(4x+y)=176.$ Since $y=\frac{3x}{2},$ this is $11x=176,$ so $x=16$ and $y=24.$ One small perimeter is $2(16+24)=80,$ making C correct.

6.

Considera la sucesión $1,-2,3,-4,5,-6,\ldots,$ cuyo término $n$ -ésimo es $(-1)^{n+1}n.$ ¿Cuál es el promedio de los primeros $200$ términos de la sucesión?

Consider the sequence $1,-2,3,-4,5,-6,\ldots,$ whose $n$ th term is $(-1)^{n+1}n.$ What is the average of the first $200$ terms of the sequence?

$-1$

$-0.5$

$0$

$0.5$

$1$

Conceptos:sequences arithmetic mean

Nivel de dificultad: 1160

Pista pequeña:

Agrupa los términos consecutivos en pares de términos impares y pares

Group consecutive terms into odd-even pairs

Pista grande:

Cada par tiene la misma suma, y hay $100$ pares

Each pair has the same sum, and there are $100$ pairs

Solución:

Cada par $(2k-1)-2k$ tiene suma $-1.$ Por lo tanto, los $100$ pares suman $-100,$ y el promedio de los $200$ términos es $-\frac{100}{200}=-0.5.$ La respuesta correcta es B.

Each pair $(2k-1)-2k$ has sum $-1.$ The $100$ pairs therefore total $-100,$ and their $200$ -term average is $-\frac{100}{200}=-0.5.$ The correct answer is B.

7.

La suma de siete enteros es $-1.$ ¿Cuál es la cantidad máxima de esos siete enteros que pueden ser mayores que $13$ ?

The sum of seven integers is $-1.$ What is the maximum number of the seven integers that can be larger than $13?$

$1$

$4$

$5$

$6$

$7$

Conceptos:integers extremal reasoning

Nivel de dificultad: 920

Pista pequeña:

Los siete enteros no pueden ser mayores que $13$ , pues entonces su suma sería positiva

All seven cannot exceed $13$ because their sum would be positive

Pista grande:

No hay cota inferior para el entero restante

There is no lower bound on the remaining integer

Solución:

Si los siete enteros fueran mayores que $13,$ su suma sería al menos $98.$ Sí es posible que seis sean mayores que $13$ : se toman seis enteros iguales a $14$ y un séptimo entero igual a $-85.$ Por lo tanto, el máximo es $6,$ y la respuesta correcta es D.

If all seven integers exceeded $13,$ their sum would be at least $98.$ Six can exceed $13$ : take six copies of $14$ and a seventh integer of $-85.$ Thus the maximum is $6,$ and the correct answer is D.

8.

La editorial Mientka fija el precio de su éxito de ventas ¿Dónde está Walter? de la siguiente manera: $C(n)= \begin{cases} 12n, & 1\le n\le24,\\ 11n, & 25\le n\le48,\\ 10n, & 49\le n, \end{cases}$ donde $n$ es la cantidad de libros pedidos y $C(n)$ es el costo, en dólares, de $n$ libros. Observa que $25$ libros cuestan menos que $24$ libros. ¿Para cuántos valores de $n$ resulta más barato comprar más de $n$ libros que comprar exactamente $n$ libros?

Mientka Publishing Company prices its best seller Where’s Walter? as follows: $C(n)= \begin{cases} 12n, & 1\le n\le24,\\ 11n, & 25\le n\le48,\\ 10n, & 49\le n, \end{cases}$ where $n$ is the number of books ordered, and $C(n)$ is the cost in dollars of $n$ books. Notice that $25$ books cost less than $24$ books. For how many values of $n$ is it cheaper to buy more than $n$ books than to buy exactly $n$ books?

$3$

$4$

$5$

$6$

$8$

Conceptos:piecewise functions inequalities

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Solo los dos puntos de cambio de precio pueden hacer que un pedido mayor resulte más barato

Only the two price-break points can make a larger order cheaper

Pista grande:

Cerca del primer cambio, compara $C(n)$ con $C(25)$ ; cerca del segundo, compáralo con $C(49)$

Compare $C(n)$ with $C(25)$ near the first break and with $C(49)$ near the second

Solución:

En el primer cambio, $C(25)=275$ es menor que $C(23)=276$ y $C(24)=288,$ lo que da $n=23$ y $n=24.$ En el segundo, $C(49)=490$ es menor que $C(n)=11n$ cuando $n=45,$ $n=46,$ $n=47,$ $n=48.$ No funciona ningún otro $n$ , porque cada tramo es creciente. Hay $2+4=6,$ así que D es la respuesta correcta.

At the first break, $C(25)=275$ is below $C(23)=276$ and $C(24)=288,$ giving $n=23$ and $n=24.$ At the second, $C(49)=490$ is below $C(n)=11n$ for $n=45,$ $n=46,$ $n=47,$ $n=48.$ No other $n$ works because each piece increases. There are $2+4=6,$ so D is correct.

9.

En la figura, $ABCD$ es un cuadrado de $2$ por $2$ , $E$ es el punto medio de $\overline{AD},$ y $F$ está sobre $\overline{BE}.$ Si $\overline{CF}$ es perpendicular a $\overline{BE},$ entonces el área del cuadrilátero $CDEF$ es

In the figure, $ABCD$ is a $2$ by $2$ square, $E$ is the midpoint of $\overline{AD},$ and $F$ is on $\overline{BE}.$ If $\overline{CF}$ is perpendicular to $\overline{BE},$ then the area of quadrilateral $CDEF$ is

$2$

$3-\frac{\sqrt3}{2}$

$\frac{11}{5}$

$\sqrt5$

$\frac94$

Conceptos:geometría analítica área

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Ubica $B=(0,0),$ $C=(2,0),$ $A=(0,2)$ y $E=(1,2)$

Place $B=(0,0),$ $C=(2,0),$ $A=(0,2),$ and $E=(1,2)$

Pista grande:

Halla $F$ como la intersección de $BE$ con la recta que pasa por $C$ y es perpendicular a $BE$

Find $F$ as the intersection of $BE$ with the line through $C$ perpendicular to $BE$

Solución:

Con las coordenadas del primer indicio, $BE$ tiene ecuación $y=2x,$ y la perpendicular que pasa por $C$ es $y=-\frac{(x-2)}{2}.$ Su intersección es $F=(\frac{2}{5},\frac{4}{5}).$ El cuadrado tiene área $4,$ mientras que los triángulos $AEF$ y $BCF$ tienen áreas $\frac{3}{5}$ y $\frac{4}{5},$ respectivamente. Por lo tanto, $[CDEF]=4-\frac{3}{5}$ ${}-\frac{4}{5}=\frac{11}{5},$ así que C es la respuesta correcta.

With the coordinates in the first hint, $BE$ has equation $y=2x,$ and the perpendicular through $C$ is $y=-\frac{(x-2)}{2}.$ Their intersection is $F=(\frac{2}{5},\frac{4}{5}).$ The square has area $4,$ while triangles $AEF$ and $BCF$ have areas $\frac{3}{5}$ and $\frac{4}{5},$ respectively. Hence $[CDEF]=4-\frac{3}{5}$ ${}-\frac{4}{5}=\frac{11}{5},$ so C is correct.

10.

Dos dados de seis caras son equilibrados, en el sentido de que cada cara tiene la misma probabilidad de salir. Sin embargo, en uno de los dados se reemplazó el $4$ por un $3$ , y en el otro se reemplazó el $3$ por un $4.$ Al lanzar estos dados, ¿cuál es la probabilidad de que la suma sea impar?

Two six-sided dice are fair in the sense that each face is equally likely to turn up. However, one of the dice has the $4$ replaced by $3$ and the other die has the $3$ replaced by $4.$ When these dice are rolled, what is the probability that the sum is odd?

$\frac13$

$\frac49$

$\frac12$

$\frac59$

$\frac{11}{18}$

Conceptos:probability paridad

Nivel de dificultad: 1330

Pista pequeña:

Para que la suma sea impar, un resultado debe ser impar y el otro par

An odd sum requires one odd result and one even result

Pista grande:

Cuenta las caras con números impares en cada dado modificado, incluidos los números repetidos

Count odd-labeled faces on each modified die, including repeated labels

Solución:

El primer dado modificado tiene $4$ caras impares y $2$ caras pares; el segundo tiene $2$ impares y $4$ pares. Por lo tanto, la probabilidad es $(\frac{4}{6})(\frac{4}{6})+(\frac{2}{6})(\frac{2}{6})$ $=\frac{20}{36}=\frac{5}{9}.$ La respuesta correcta es D.

The first modified die has $4$ odd faces and $2$ even faces; the second has $2$ odd and $4$ even. Thus the probability is $(\frac{4}{6})(\frac{4}{6})+(\frac{2}{6})(\frac{2}{6})$ $=\frac{20}{36}=\frac{5}{9}.$ The correct answer is D.

11.

En los partidos de baloncesto sexto, séptimo, octavo y noveno de la temporada, una jugadora anotó $23,$ $14,$ $11$ y $20$ puntos, respectivamente. Su promedio de puntos por partido después de nueve partidos era mayor que después de los primeros cinco. Si su promedio después de diez partidos era mayor que $18,$ ¿cuál es la menor cantidad de puntos que pudo haber anotado en el décimo partido?

In the sixth, seventh, eighth, and ninth basketball games of the season, a player scored $23,$ $14,$ $11,$ and $20$ points, respectively. Her points-per-game average was higher after nine games than it was after the first five games. If her average after ten games was greater than $18,$ what is the least number of points she could have scored in the tenth game?

$26$

$27$

$28$

$29$

$30$

Conceptos:averages inequalities

Nivel de dificultad: 1440

Pista pequeña:

Sea $S$ el total de puntos que anotó en los primeros cinco partidos

Let $S$ be her point total in the first five games

Pista grande:

Usa la comparación después de nueve partidos para maximizar $S$ , y luego aplica la cota estricta para el promedio después de diez partidos

Use the nine-game comparison to maximize $S$ , then apply the strict ten-game average bound

Solución:

Los partidos $6$ – $9$ suman $68.$ La condición $\frac{S+68}{9}>\frac{S}{5}$ da $S<85,$ así que el mayor valor entero de $S$ es $84.$ Un promedio superior a $18$ después de diez partidos exige un total de al menos $181,$ por lo que la puntuación del décimo partido es al menos $181-(84+68)=29.$ Este valor se puede alcanzar, así que D es la respuesta correcta.

Games $6$ – $9$ total $68.$ The condition $\frac{S+68}{9}>\frac{S}{5}$ gives $S<85,$ so the greatest integral $S$ is $84.$ A ten-game average above $18$ requires a total at least $181,$ hence the tenth score is at least $181-(84+68)=29.$ This is attainable, so D is correct.

12.

Si $m$ y $b$ son números reales y $mb\gt0,$ entonces la recta cuya ecuación es $y=mx+b$ no puede contener el punto

If $m$ and $b$ are real numbers and $mb\gt0,$ then the line whose equation is $y=mx+b$ cannot contain the point

$(0,1997)$

$(0,-1997)$

$(19,97)$

$(19,-97)$

$(1997,0)$

Conceptos:linear equations signs

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

La condición $mb\gt0$ significa que la pendiente y la ordenada al origen tienen el mismo signo

The condition $mb\gt0$ means the slope and vertical intercept have the same sign

Pista grande:

Sustituye cada punto; una intersección positiva con el eje $x$ obliga a que la pendiente y la ordenada al origen tengan signos opuestos

Substitute each point; a positive $x$ -intercept forces the slope and intercept to have opposite signs

Solución:

Si $(1997,0)$ estuviera en la recta, entonces $0=1997m+b,$ así que $b=-1997m$ y $mb=-1997m^2\lt0,$ lo cual es una contradicción. Cada uno de los otros puntos puede pertenecer a una recta con valores adecuados de $m,b$ del mismo signo. Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

If $(1997,0)$ were on the line, then $0=1997m+b,$ so $b=-1997m$ and $mb=-1997m^2\lt0,$ a contradiction. Each other point can occur for suitable same-sign $m,b.$ Thus the correct answer is E.

13.

¿Cuántos enteros positivos de dos dígitos $N$ tienen la propiedad de que la suma de $N$ y el número obtenido al invertir el orden de los dígitos de $N$ es un cuadrado perfecto?

How many two-digit positive integers $N$ have the property that the sum of $N$ and the number obtained by reversing the order of the digits of $N$ is a perfect square?

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

Conceptos:dígitos perfect squares

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Escribe $N=10x+y$ y súmale el número con los dígitos invertidos

Write $N=10x+y$ and add its reversal

Pista grande:

Determina cuándo $11(x+y)$ puede ser un cuadrado, con $1\le x\le9$ y $0\le y\le9$

Determine when $11(x+y)$ , with $1\le x\le9$ and $0\le y\le9$ , can be square

Solución:

La suma es $11(x+y).$ Como $1\le x+y\le18,$ solo es un cuadrado cuando $x+y=11,$ lo que da $121.$ El dígito de las decenas $x$ puede ser cualquiera de $2,3,\ldots,9,$ con $y=11-x.$ Hay $8$ enteros, así que E es la respuesta correcta.

The sum is $11(x+y).$ Since $1\le x+y\le18,$ this is square only when $x+y=11,$ giving $121.$ The tens digit $x$ can be any of $2,3,\ldots,9,$ with $y=11-x.$ There are $8$ integers, so E is correct.

14.

La cantidad de gansos de una bandada aumenta de tal manera que la diferencia entre las poblaciones del año $n+2$ y del año $n$ es directamente proporcional a la población del año $n+1.$ Si las poblaciones de los años $1994,$ $1995$ y $1997$ fueron $39,$ $60$ y $123,$ respectivamente, entonces la población de $1996$ fue

The number of geese in a flock increases so that the difference between the populations in year $n+2$ and year $n$ is directly proportional to the population in year $n+1.$ If the populations in the years $1994,$ $1995,$ and $1997$ were $39,$ $60,$ and $123,$ respectively, then the population in $1996$ was

$81$

$84$

$87$

$90$

$102$

Conceptos:recurrences proportionality

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Sea $x$ la población de $1996$ y $k$ la constante de proporcionalidad

Let $x$ be the $1996$ population and $k$ the constant of proportionality

Pista grande:

Convierte los datos de $1994$ – $1996$ y $1995$ – $1997$ en dos ecuaciones que usen el mismo $k$

Translate the years $1994$ – $1996$ and $1995$ – $1997$ into two equations using the same $k$

Solución:

La regla da $x-39=60k$ y $123-60=kx.$ Al eliminar $k$ , se obtiene $x(x-39)=3780,$ o bien $(x-84)(x+45)=0.$ La población es positiva, así que $x=84,$ y B es la respuesta correcta.

The rule gives $x-39=60k$ and $123-60=kx.$ Eliminating $k$ yields $x(x-39)=3780,$ or $(x-84)(x+45)=0.$ The population is positive, so $x=84,$ and B is correct.

15.

Las medianas $\overline{BD}$ y $\overline{CE}$ del triángulo $ABC$ son perpendiculares, $BD=8,$ y $CE=12.$ El área del triángulo $ABC$ es

Medians $\overline{BD}$ and $\overline{CE}$ of triangle $ABC$ are perpendicular, $BD=8,$ and $CE=12.$ The area of triangle $ABC$ is

$24$

$32$

$48$

$64$

$96$

Conceptos:medians perpendicular diagonals área

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Considera $BD$ y $CE$ como las diagonales del cuadrilátero $BCDE$

View $BD$ and $CE$ as the diagonals of quadrilateral $BCDE$

Pista grande:

El triángulo $ADE$ es semejante a $ABC$ con razón de semejanza $\frac{1}{2}$

Triangle $ADE$ is similar to $ABC$ with scale factor $\frac{1}{2}$

Solución:

El cuadrilátero $BCDE$ tiene diagonales perpendiculares $BD=8$ y $CE=12,$ por lo que su área es $\frac12(8)(12)=48.$ Como $D,E$ son puntos medios, el triángulo $ADE$ tiene la cuarta parte del área de $ABC,$ de modo que $BCDE$ tiene las tres cuartas partes. Por lo tanto, $[ABC]=\frac{48\cdot4}{3}=64,$ así que D es la respuesta correcta.

Quadrilateral $BCDE$ has perpendicular diagonals $BD=8$ and $CE=12,$ so its area is $\frac12(8)(12)=48.$ Since $D,E$ are midpoints, triangle $ADE$ has one fourth the area of $ABC,$ making $BCDE$ three fourths of it. Thus $[ABC]=\frac{48\cdot4}{3}=64,$ so D is correct.

16.

Las tres sumas de las filas y las tres sumas de las columnas del arreglo $\begin{bmatrix} 4&9&2\\ 8&1&6\\ 3&5&7 \end{bmatrix}$ son iguales. ¿Cuál es la menor cantidad de entradas que deben modificarse para que las seis sumas sean distintas entre sí?

The three row sums and the three column sums of the array $\begin{bmatrix} 4&9&2\\ 8&1&6\\ 3&5&7 \end{bmatrix}$ are the same. What is the least number of entries that must be altered to make all six sums different from one another?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Conceptos:arrays invariants construction

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Si solo se modifican tres entradas, examina las filas y columnas que no contienen ninguna modificación

With only three altered entries, examine the rows and columns containing no alteration

Pista grande:

Para obtener una cota superior, intenta cambiar cuatro entradas de modo que sus efectos sobre las filas y las columnas sean todos distintos

For an upper bound, try changing four entries so that their row and column effects are all distinct

Solución:

Con a lo sumo tres modificaciones, o bien dos de las seis líneas quedan sin cambios, o bien alguna entrada modificada es la única modificación tanto de su fila como de su columna. En el primer caso, esas dos sumas siguen siendo iguales; en el segundo, esa entrada cambia la suma de su fila y la de su columna en la misma cantidad, por lo que esas dos sumas siguen siendo iguales. Cuatro modificaciones bastan: se reemplazan $4,$ $1,$ $2,$ $6$ por $5,$ $3,$ $7,$ $9,$ respectivamente. Las sumas de las filas resultantes son $21,$ $20,$ $15$ , y las de las columnas son $16,$ $17,$ $23.$ Por lo tanto, el mínimo es $4,$ y D es la respuesta correcta.

With at most three alterations, either two of the six lines are unchanged, or some altered entry is the only alteration in both its row and its column. In the first case those two sums remain equal; in the second, that entry changes its row sum and column sum by the same amount, so those two sums remain equal. Four suffice: replace $4,$ $1,$ $2,$ $6$ by $5,$ $3,$ $7,$ $9,$ respectively. The resulting row sums are $21,$ $20,$ $15$ and column sums are $16,$ $17,$ $23.$ Hence the minimum is $4,$ and D is correct.

17.

Una recta $x=k$ interseca las gráficas de $y=\log_5x$ y $y=\log_5(x+4).$ La distancia entre los puntos de intersección es $0.5.$ Dado que $k=a+\sqrt b,$ donde $a$ y $b$ son enteros, ¿cuánto vale $a+b$ ?

A line $x=k$ intersects the graph of $y=\log_5x$ and the graph of $y=\log_5(x+4).$ The distance between the points of intersection is $0.5.$ Given that $k=a+\sqrt b,$ where $a$ and $b$ are integers, what is $a+b?$

$6$

$7$

$8$

$9$

$10$

Conceptos:logarithms radical equations

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Como ambos puntos tienen coordenada $x$ igual a $k$ , su distancia es la diferencia entre sus logaritmos

Because both points have $x$ -coordinate $k$ , their distance is the difference of their logarithms

Pista grande:

Combina los logaritmos y eleva $5$ a la potencia resultante

Combine the logarithms and exponentiate base $5$

Solución:

La distancia vertical satisface $\begin{aligned} \log_5(k+4)-\log_5k &=\frac12,\\ \frac{k+4}{k}&=\sqrt5. \end{aligned}$ Por lo tanto, $\frac{k+4}{k}=\sqrt5,$ así que $k=\frac{4}{\sqrt5-1}=1+\sqrt5.$ Entonces $a+b=1+5=6,$ y A es la respuesta correcta.

The vertical distance is $\begin{aligned} \log_5(k+4)-\log_5k &=\frac12,\\ \frac{k+4}{k}&=\sqrt5. \end{aligned}$ Thus $\frac{k+4}{k}=\sqrt5,$ so $k=\frac{4}{\sqrt5-1}=1+\sqrt5.$ Therefore $a+b=1+5=6,$ and A is correct.

18.

Una lista de enteros tiene moda $32$ y media $22.$ El menor número de la lista es $10.$ La mediana $m$ pertenece a la lista. Si se reemplazara el elemento $m$ por $m+10,$ la media y la mediana de la nueva lista serían $24$ y $m+10,$ respectivamente. Si, en cambio, se reemplazara $m$ por $m-8,$ la mediana de la nueva lista sería $m-4.$ ¿Cuál es el valor de $m$ ?

A list of integers has mode $32$ and mean $22.$ The smallest number in the list is $10.$ The median $m$ of the list is a member of the list. If the list member $m$ were replaced by $m+10,$ the mean and median of the new list would be $24$ and $m+10,$ respectively. If $m$ were instead replaced by $m-8,$ the median of the new list would be $m-4.$ What is $m?$

$16$

$17$

$18$

$19$

$20$

Conceptos:media median moda

Nivel de dificultad: 2010

Pista pequeña:

Un aumento total de $10$ eleva la media en $2$ , lo cual determina la longitud de la lista

A total increase of $10$ raises the mean by $2$ , determining the list length

Pista grande:

Ordena los cinco elementos y usa los dos cambios de mediana indicados para identificar los elementos contiguos a $m$

Order the five entries and use the two stated median changes to identify the entries beside $m$

Solución:

La lista tiene $\frac{10}{2}=5$ elementos. Se escriben como $10\le a\le m\le b\le c.$ Al reemplazar $m$ por $m+10$ , ese valor se convierte en la mediana, por lo que $b\ge m+10$ y $c\ge m+10;$ como la moda es $32,$ debe cumplirse $b=c=32.$ La suma original es $110,$ de modo que $a+m=36.$ Al reemplazar $m$ por $m-8$ , la mediana pasa a ser $a=m-4,$ así que $2m-4=36$ y $m=20.$ Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

The list has $\frac{10}{2}=5$ entries. Write them $10\le a\le m\le b\le c.$ Replacing $m$ by $m+10$ makes that value the median, so $b\ge m+10$ and $c\ge m+10;$ because the mode is $32,$ we must have $b=c=32.$ The original total is $110,$ giving $a+m=36.$ Replacing $m$ by $m-8$ makes the median $a=m-4,$ so $2m-4=36$ and $m=20.$ Thus E is correct.

19.

Un círculo con centro $O$ es tangente a los ejes coordenados y a la hipotenusa del triángulo $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ $ABC$ , como se muestra, donde $AB=1.$ Redondeado a la centésima más cercana, ¿cuál es el radio del círculo?

A circle with center $O$ is tangent to the coordinate axes and to the hypotenuse of the $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ triangle $ABC$ as shown, where $AB=1.$ To the nearest hundredth, what is the radius of the circle?

$2.18$

$2.24$

$2.31$

$2.37$

$2.41$

Conceptos:circunferencias tangentes right triangles

Nivel de dificultad: 2120

Pista pequeña:

Si el radio del círculo es $r$ , entonces $O=(r,r)$ en las coordenadas mostradas

If the circle radius is $r$ , then $O=(r,r)$ in the displayed coordinates

Pista grande:

Escribe la ecuación de la recta que contiene la hipotenusa del triángulo $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ e iguala su distancia desde $O$ a $r$

Write the hypotenuse line of the $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ triangle and set its distance from $O$ equal to $r$

Solución:

Toma $A=(0,0),$ $B=(1,0)$ y $C=(0,\sqrt3).$ La hipotenusa está en la recta $\sqrt3x+y=\sqrt3,$ y el centro del círculo es $O=(r,r).$ La tangencia da $\frac{\left|(\sqrt3+1)r-\sqrt3\right|}{2}=r.$ Para el círculo exterior mostrado, $(\sqrt3+1)r-\sqrt3=2r,$ por lo que $r=\frac{\sqrt3}{\sqrt3-1}$ $=\frac{3+\sqrt3}{2}\approx2.37.$ Así, D es la respuesta correcta.

Take $A=(0,0),$ $B=(1,0),$ and $C=(0,\sqrt3).$ The hypotenuse is $\sqrt3x+y=\sqrt3,$ and the circle center is $O=(r,r).$ Tangency gives $\frac{\left|(\sqrt3+1)r-\sqrt3\right|}{2}=r.$ The pictured external circle has $(\sqrt3+1)r-\sqrt3=2r,$ so $r=\frac{\sqrt3}{\sqrt3-1}$ $=\frac{3+\sqrt3}{2}\approx2.37.$ Thus D is correct.

20.

¿Cuál de los siguientes enteros puede expresarse como la suma de $100$ enteros positivos consecutivos?

Which one of the following integers can be expressed as the sum of $100$ consecutive positive integers?

$1{,}627{,}384{,}950$

$2{,}345{,}678{,}910$

$3{,}579{,}111{,}300$

$4{,}692{,}581{,}470$

$5{,}815{,}937{,}260$

Conceptos:arithmetic sequences divisibilidad

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

Escribe los términos como $a+1,a+2,\ldots,a+100$

Write the terms as $a+1,a+2,\ldots,a+100$

Pista grande:

Su suma debe ser congruente con $50$ módulo $100$

Their sum must be congruent to $50$ modulo $100$

Solución:

La suma es $100a+(1+\cdots+100)$ $=100a+5050,$ así que termina en $50.$ Solo $1,627,384,950$ tiene esa propiedad, y produce el entero positivo $a=\frac{1,627,384,950-5050}{100}.$ Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

The sum is $100a+(1+\cdots+100)$ $=100a+5050,$ so it ends in $50.$ Only $1,627,384,950$ has that property, and it gives the positive integer $a=\frac{1,627,384,950-5050}{100}.$ Thus A is correct.

21.

Para todo entero positivo $n,$ se define $f(n)= \begin{cases} \log_8n, & \log_8n\in\mathbb{Q},\\ 0, & \log_8n\notin\mathbb{Q}. \end{cases}$ ¿Cuánto vale $\displaystyle\sum_{n=1}^{1997}f(n)$ ?

For any positive integer $n,$ let $f(n)= \begin{cases} \log_8n, & \log_8n\in\mathbb{Q},\\ 0, & \log_8n\notin\mathbb{Q}. \end{cases}$ What is $\displaystyle\sum_{n=1}^{1997}f(n)?$

$\log_8 2047$

$6$

$\frac{55}{3}$

$\frac{58}{3}$

$585$

Conceptos:logarithms factorización en primos sums

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Determina qué enteros pueden ser potencias racionales de $8=2^3$

Determine which integers can be rational powers of $8=2^3$

Pista grande:

Enumera las potencias de $2$ que no superan $1997$ y suma sus logaritmos en base $8$

List the powers of $2$ not exceeding $1997$ and sum their base- $8$ logarithms

Solución:

Para un entero $n,$ $\log_8n$ es racional exactamente cuando $n$ es una potencia de $2.$ Los valores pertinentes son $n=2^k$ para $0\le k\le10,$ y $f(2^k)=\frac{k}{3}.$ Por lo tanto, la suma es $\frac{0+1+\cdots+10}{3}=\frac{55}{3},$ así que C es la respuesta correcta.

For integer $n,$ $\log_8n$ is rational exactly when $n$ is a power of $2.$ The relevant values are $n=2^k$ for $0\le k\le10,$ and $f(2^k)=\frac{k}{3}.$ Therefore the sum is $\frac{0+1+\cdots+10}{3}=\frac{55}{3},$ so C is correct.

22.

Ashley, Betty, Carlos, Dick y Elgin fueron de compras. Cada uno tenía una cantidad entera de dólares para gastar, y entre todos tenían $\$56.$ La diferencia absoluta entre las cantidades que Ashley y Betty tenían para gastar era $\$19.$ La diferencia absoluta entre las cantidades de Betty y Carlos era $\$7,$ entre Carlos y Dick era $\$5,$ entre Dick y Elgin era $\$4,$ y entre Elgin y Ashley era $\$11.$ ¿Cuánto dinero tenía Elgin?

Ashley, Betty, Carlos, Dick, and Elgin went shopping. Each had a whole number of dollars to spend, and together they had $\$56.$ The absolute difference between the amounts Ashley and Betty had to spend was $\$19.$ The absolute difference between the amounts Betty and Carlos had was $\$7,$ between Carlos and Dick was $\$5,$ between Dick and Elgin was $\$4,$ and between Elgin and Ashley was $\$11.$ How much did Elgin have?

$\$6$

$\$7$

$\$8$

$\$9$

$\$10$

Conceptos:absolute differences signed cases

Nivel de dificultad: 2010

Pista pequeña:

Asigna un signo a cada diferencia sucesiva alrededor del ciclo de cinco personas

Assign a sign to each successive difference around the five-person cycle

Pista grande:

Las diferencias con signo deben sumar cero antes de sumar las cinco cantidades

The signed differences must total zero before the five amounts can be summed

Solución:

Las diferencias con signo alrededor del ciclo tienen magnitudes $19,$ $7,$ $5,$ $4,$ $11$ y suman $0.$ Por lo tanto, uno de los dos grupos de signos debe sumar la mitad de $46,$ es decir, $23.$ La única separación es $19+4=7+5+11.$ Con una orientación, las cantidades son $A=E+11,$ $B=E-8,$ $C=E-1$ y $D=E+4.$ Su suma es $5E+6,$ así que $5E+6=56$ y $E=10.$ Invertir todos los signos daría $5E-6=56,$ que no produce un valor entero de $E.$ Por lo tanto, Elgin tenía $\$10$ y E es la respuesta correcta.

The signed differences around the cycle have magnitudes $19,$ $7,$ $5,$ $4,$ $11$ and sum $0.$ Thus one side of the sign split must total half of $46,$ namely $23.$ The only split is $19+4=7+5+11.$ In one orientation, the amounts are $A=E+11,$ $B=E-8,$ $C=E-1,$ and $D=E+4.$ Their total is $5E+6,$ so $5E+6=56$ and $E=10.$ Reversing every sign would give $5E-6=56,$ not an integral $E.$ Thus Elgin had $\$10$ and E is correct.

23.

En la figura, los polígonos $A,$ $E$ y $F$ son triángulos rectángulos isósceles; $B,$ $C$ y $D$ son cuadrados de lado $1;$ y $G$ es un triángulo equilátero. La figura puede plegarse por sus aristas para formar un poliedro cuyas caras son los polígonos. El volumen de este poliedro es

In the figure, polygons $A,$ $E,$ and $F$ are isosceles right triangles; $B,$ $C,$ and $D$ are squares with sides of length $1;$ and $G$ is an equilateral triangle. The figure can be folded along its edges to form a polyhedron having the polygons as faces. The volume of this polyhedron is

$\frac12$

$\frac23$

$\frac34$

$\frac56$

$\frac43$

Conceptos:nets polyhedron volume

Nivel de dificultad: 2120

Pista pequeña:

Reconoce los tres cuadrados unitarios como caras que se encuentran en un vértice de un cubo unitario

Recognize the three unit-square faces as faces meeting at a corner of a unit cube

Pista grande:

Las caras triangulares cierran el sólido que se obtiene al cortar un vértice de ese cubo

The triangular faces cap the solid obtained by slicing one corner from that cube

Solución:

El desarrollo forma un cubo unitario con un vértice cortado. La parte retirada es una pirámide triangular con tres aristas unitarias mutuamente perpendiculares, por lo que su volumen es $\frac13\cdot\frac12\cdot1=\frac{1}{6}.$ El poliedro restante tiene volumen $1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6},$ y la respuesta correcta es D.

The net forms a unit cube with one corner cut off. The removed corner is a triangular pyramid with three mutually perpendicular unit edges, so its volume is $\frac13\cdot\frac12\cdot1=\frac{1}{6}.$ The remaining polyhedron has volume $1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6},$ and the correct answer is D.

24.

Un número creciente, como $34689,$ es un entero positivo en el que cada dígito es mayor que todos los dígitos situados a su izquierda. Hay $\binom95=126$ números crecientes de cinco dígitos. Cuando se ordenan de menor a mayor, el número que ocupa la posición $97$ en la lista no contiene el dígito

A rising number, such as $34689,$ is a positive integer each digit of which is larger than each of the digits to its left. There are $\binom95=126$ five-digit rising numbers. When these numbers are arranged from smallest to largest, the $97$ th number in the list does not contain the digit

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

Conceptos:combinaciones lexicographic order

Nivel de dificultad: 2120

Pista pequeña:

Cuenta cuántos números crecientes comienzan con $1$ , y luego cuántos comienzan con $23$

Count how many rising numbers begin with $1$ , then with $23$

Pista grande:

Después de esos bloques, enumera los primeros números que comienzan con $24$

After those blocks, list the first few numbers beginning with $24$

Solución:

Hay $\binom84=70$ que comienzan con $1.$ Entre los que comienzan con $2,$ los primeros $\binom63=20$ comienzan con $23,$ y ocupan las posiciones $71$ – $90.$ Por lo tanto, el que ocupa la posición $97$ es el séptimo que comienza con $24:$ $\begin{gathered} 24567,24568,24569,24578,\\ 24579,24589,24678. \end{gathered}$ El número $24678$ no contiene $5,$ así que B es la respuesta correcta.

There are $\binom84=70$ beginning with $1.$ Among those beginning with $2,$ the first $\binom63=20$ begin with $23,$ occupying positions $71$ – $90.$ Thus the $97$ th overall is the seventh beginning with $24:$ $\begin{gathered} 24567,24568,24569,24578,\\ 24579,24589,24678. \end{gathered}$ The number $24678$ omits $5,$ so B is correct.

25.

Sea $ABCD$ un paralelogramo, y sean $\overrightarrow{AA'},$ $\overrightarrow{BB'},$ $\overrightarrow{CC'}$ y $\overrightarrow{DD'}$ rayos paralelos en el espacio, situados en el mismo lado del plano determinado por $ABCD.$ Si $AA'=10,$ $BB'=8,$ $CC'=18,$ $DD'=22,$ y $M$ y $N$ son los puntos medios de $A'C'$ y $B'D',$ respectivamente, entonces $MN=$

Let $ABCD$ be a parallelogram and let $\overrightarrow{AA'},$ $\overrightarrow{BB'},$ $\overrightarrow{CC'},$ and $\overrightarrow{DD'}$ be parallel rays in space on the same side of the plane determined by $ABCD.$ If $AA'=10,$ $BB'=8,$ $CC'=18,$ $DD'=22,$ and $M$ and $N$ are the midpoints of $A'C'$ and $B'D',$ respectively, then $MN=$

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Conceptos:vectors three-dimensional geometry

Nivel de dificultad: 2010

Pista pequeña:

Usa vectores y la identidad del paralelogramo $A+C=B+D$

Use vectors and the parallelogram identity $A+C=B+D$

Pista grande:

Las componentes en el plano de los dos puntos medios coinciden; compara solo sus componentes en la dirección de los rayos

The planar components of the two midpoints coincide; compare only their ray-direction components

Solución:

Elige la dirección común de los rayos como un vector unitario $u.$ Entonces $\begin{aligned} M&=\frac{A+C}{2}+14u,\\ N&=\frac{B+D}{2}+15u. \end{aligned}$ Como $A+C=B+D$ en un paralelogramo, $N-M=u,$ por lo que $MN=1.$ La respuesta correcta es B.

Choose the common ray direction as a unit vector $u.$ Then $\begin{aligned} M&=\frac{A+C}{2}+14u,\\ N&=\frac{B+D}{2}+15u. \end{aligned}$ Since $A+C=B+D$ for a parallelogram, $N-M=u,$ so $MN=1.$ The correct answer is B.

26.

Se dan el triángulo $ABC$ y el punto $P$ en el mismo plano. El punto $P$ equidista de $A$ y $B,$ el ángulo $APB$ es el doble del ángulo $ACB,$ y $\overline{AC}$ interseca $\overline{BP}$ en el punto $D.$ Si $PB=3$ y $PD=2,$ entonces $AD\cdot CD=$

Triangle $ABC$ and point $P$ in the same plane are given. Point $P$ is equidistant from $A$ and $B,$ angle $APB$ is twice angle $ACB,$ and $\overline{AC}$ intersects $\overline{BP}$ at point $D.$ If $PB=3$ and $PD=2,$ then $AD\cdot CD=$

$5$

$6$

$7$

$8$

$9$

Conceptos:circles potencia de un punto

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Traza el círculo con centro $P$ que pasa por $A$ y $B$

Draw the circle centered at $P$ through $A$ and $B$

Pista grande:

La condición sobre el ángulo central sitúa a $C$ en ese círculo; aplica entonces el teorema de las cuerdas que se intersecan en $D$

The central-angle condition puts $C$ on that circle, so apply intersecting chords at $D$

Solución:

Como $PA=PB,$ se traza el círculo con centro $P$ que pasa por ambos puntos. La condición $\angle APB=2\angle ACB$ es la relación entre un ángulo central y uno inscrito, por lo que $C$ pertenece al mismo círculo. Sobre la recta $PB,$ la otra intersección con el círculo es $E$ , con $PE=3.$ La potencia de $D$ da $\begin{aligned} AD\cdot CD&=DE\cdot DB\\ &=(3-2)(3+2)=5. \end{aligned}$ Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Because $PA=PB,$ draw their circle with center $P.$ The condition $\angle APB=2\angle ACB$ is the central-inscribed angle relation, so $C$ lies on the same circle. Along line $PB,$ the other circle intersection is $E$ with $PE=3.$ Power of $D$ gives $\begin{aligned} AD\cdot CD&=DE\cdot DB\\ &=(3-2)(3+2)=5. \end{aligned}$ Thus A is correct.

27.

Considera las funciones $f$ que satisfacen $f(x+4)+f(x-4)=f(x)$ para todo $x$ real. Cada una de esas funciones es periódica, y existe un menor período positivo común $p$ para todas ellas. Halla $p.$

Consider those functions $f$ that satisfy $f(x+4)+f(x-4)=f(x)$ for all real $x.$ Any such function is periodic, and there is a least common positive period $p$ for all of them. Find $p.$

$8$

$12$

$16$

$24$

$32$

Conceptos:functional equations recurrences periodicity

Nivel de dificultad: 2180

Pista pequeña:

Para un $x$ fijo, estudia la sucesión $u_n=f(x+4n)$

For fixed $x$ , study the sequence $u_n=f(x+4n)$

Pista grande:

Usa repetidamente $u_{n+1}+u_{n-1}=u_n$ para averiguar cuándo regresa cada par inicial

Use $u_{n+1}+u_{n-1}=u_n$ repeatedly to find when every initial pair returns

Solución:

Para $u_n=f(x+4n),$ la ecuación es $u_{n+1}=u_n-u_{n-1}.$ A partir de $u_0,u_1,$ la sucesión es $\begin{gathered} u_0,u_1,u_1-u_0,-u_0,\\ -u_1,u_0-u_1,u_0,u_1,\ldots, \end{gathered}$ por lo que toda función de este tipo tiene período $6\cdot4=24.$ Este es el menor posible porque $f(x)=\sin(\frac{\pi x}{12})$ satisface la ecuación y tiene período fundamental $24.$ Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

For $u_n=f(x+4n),$ the equation is $u_{n+1}=u_n-u_{n-1}.$ Starting from $u_0,u_1,$ the sequence is $\begin{gathered} u_0,u_1,u_1-u_0,-u_0,\\ -u_1,u_0-u_1,u_0,u_1,\ldots, \end{gathered}$ so every such function has period $6\cdot4=24.$ This is least because $f(x)=\sin(\frac{\pi x}{12})$ satisfies the equation and has fundamental period $24.$ Hence D is correct.

28.

¿Cuántas ternas ordenadas de enteros $(a,b,c)$ satisfacen $\begin{aligned} |a+b|+c&=19,\\ ab+|c|&=97? \end{aligned}$

How many ordered triples of integers $(a,b,c)$ satisfy $\begin{aligned} |a+b|+c&=19,\\ ab+|c|&=97? \end{aligned}$

$0$

$4$

$6$

$10$

$12$

Conceptos:Diophantine equations absolute values factorization

Nivel de dificultad: 2290

Pista pequeña:

Define $s=|a+b|$ , de modo que $c=19-s$ , y separa los casos según el signo de $c$

Set $s=|a+b|$ , so $c=19-s$ , and split according to the sign of $c$

Pista grande:

Cuando $c\lt0$ , reescribe las ecuaciones resultantes como productos iguales a $117$

When $c\lt0$ , rewrite the resulting equations as products equal to $117$

Solución:

Si $c\ge0,$ la sustitución y la factorización no producen ningún par compatible con el signo necesario de $a+b.$ Por lo tanto, $c\lt0,$ de modo que $s\gt19$ y $ab+s=116.$ Si $a+b=s,$ entonces $(a+1)(b+1)=117,$ lo que produce los pares no ordenados $\{0,116\},$ $\{2,38\},$ $\{8,12\}.$ Si $a+b=-s,$ entonces $(a-1)(b-1)=117,$ lo que produce $\{-116,0\},$ $\{-38,-2\},$ $\{-12,-8\}.$ Cada par no ordenado tiene dos órdenes, lo que da $6\cdot2=12$ ternas. La respuesta correcta es E.

If $c\ge0,$ substitution and factoring lead to no pair consistent with the required sign of $a+b.$ Thus $c\lt0,$ so $s\gt19$ and $ab+s=116.$ If $a+b=s,$ then $(a+1)(b+1)=117,$ producing the unordered pairs $\{0,116\},$ $\{2,38\},$ $\{8,12\}.$ If $a+b=-s,$ then $(a-1)(b-1)=117,$ producing $\{-116,0\},$ $\{-38,-2\},$ $\{-12,-8\}.$ Each unordered pair has two orders, giving $6\cdot2=12$ triples. The correct answer is E.

29.

Un número real positivo se llama especial si tiene una representación decimal formada únicamente por los dígitos $0$ y $7.$ Por ejemplo, $\frac{700}{99}=7.07=7.070707\ldots$ y $77.007$ son números especiales. ¿Cuál es el menor $n$ tal que $1$ puede escribirse como suma de $n$ números especiales?

Call a positive real number special if it has a decimal representation that consists entirely of digits $0$ and $7.$ For example, $\frac{700}{99}=7.07=7.070707\ldots$ and $77.007$ are special numbers. What is the smallest $n$ such that $1$ can be written as a sum of $n$ special numbers?

$7$

$8$

$9$

$10$

$1$ no puede representarse como suma de una cantidad finita de números especiales

$1$ cannot be represented as a sum of finitely many special numbers

Conceptos:decimal expansions valor posicional construction

Nivel de dificultad: 2410

Pista pequeña:

Si $a_k$ sumandos tienen un $7$ en la posición decimal $k$ , divide la suma por $7$

If $a_k$ summands have $7$ in decimal place $k$ , divide the sum by $7$

Pista grande:

Compara los conteos de dígitos resultantes con el decimal periódico de $\frac{1}{7}$ , y luego busca una construcción periódica de seis dígitos

Compare the resulting digit counts with the repeating decimal for $\frac{1}{7}$ , then seek a six-digit repeating construction

Solución:

Supón que $1$ es la suma de $n$ números especiales, y sea $a_k$ la cantidad de sumandos que tienen un $7$ en la posición decimal $k$ . Al dividir por $7$ , se obtiene $\begin{aligned} \frac17&=\frac{a_1}{10}+\frac{a_2}{10^2}+\cdots\\ &=0.\overline{142857}. \end{aligned}$ Para $n\le9,$ cada $a_k$ es un dígito, por lo que $a_1,a_2,\ldots=1,4,2,8,5,7,\ldots;$ de aquí $n\ge8.$ Ocho bastan porque los decimales especiales periódicos representados por $\begin{aligned} 700700+2(070707)\\ {}+2(077777)\\ {}+3(000777)&=999999. \end{aligned}$ suman $1.$ Por lo tanto, el mínimo es $8,$ y B es la respuesta correcta.

Suppose $1$ is a sum of $n$ special numbers, and let $a_k$ count summands having a $7$ in the $k$ th decimal place. Dividing by $7$ gives $\begin{aligned} \frac17&=\frac{a_1}{10}+\frac{a_2}{10^2}+\cdots\\ &=0.\overline{142857}. \end{aligned}$ For $n\le9,$ each $a_k$ is a digit, so $a_1,a_2,\ldots=1,4,2,8,5,7,\ldots;$ hence $n\ge8.$ Eight suffice because the repeating special decimals represented by $\begin{aligned} 700700+2(070707)\\ {}+2(077777)\\ {}+3(000777)&=999999. \end{aligned}$ Their sum is $1.$ Therefore the minimum is $8,$ and B is correct.

30.

Para los enteros positivos $n,$ sea $D(n)$ la cantidad de pares de dígitos adyacentes distintos en la representación binaria de $n.$ Por ejemplo, $D(3)=D(11_2)=0,$ $D(21)=D(10101_2)=4,$ y $D(97)=D(1100001_2)=2.$ ¿Para cuántos enteros positivos $n$ menores o iguales que $97$ se cumple $D(n)=2$ ?

For positive integers $n,$ denote by $D(n)$ the number of pairs of different adjacent digits in the binary (base two) representation of $n.$ For example, $D(3)=D(11_2)=0,$ $D(21)=D(10101_2)=4,$ and $D(97)=D(1100001_2)=2.$ For how many positive integers $n$ less than or equal to $97$ does $D(n)=2?$

$16$

$20$

$26$

$30$

$35$

Conceptos:binary representation combinaciones

Nivel de dificultad: 2290

Pista pequeña:

Un número binario válido consta de un bloque de $1$ , luego un bloque de $0$ , y finalmente otro bloque de $1$

A valid binary numeral consists of a block of $1$ s, then $0$ s, then $1$ s

Pista grande:

Cuenta por longitud hasta seis bits, y luego trata por separado el límite de siete bits $97=1100001_2$

Count by bit length through six bits, then handle the seven-bit cutoff $97=1100001_2$ separately

Solución:

Un número de $d$ bits con exactamente dos cambios tiene la forma $1^a0^b1^c$ , con $a,$ $b,$ $c$ positivos, lo que da $\binom{d-1}{2}$ posibilidades. Para $d=3,$ $d=4,$ $d=5,$ $d=6,$ el total es $1+3+6+10=20.$ Entre los números de siete bits no mayores que $1100001_2=97,$ funcionan las cinco formas que comienzan con un solo $1$ , y la única forma que comienza con al menos dos $1$ es el propio $1100001_2$ . Por lo tanto, hay $20+6=26,$ y C es la respuesta correcta.

A $d$ -bit numeral with exactly two changes has form $1^a0^b1^c$ with positive $a,$ $b,$ $c,$ giving $\binom{d-1}{2}$ choices. For $d=3,$ $d=4,$ $d=5,$ $d=6,$ the total is $1+3+6+10=20.$ Among seven-bit numbers at most $1100001_2=97,$ the five forms beginning with one $1$ all work, and the only form beginning with at least two $1$ s is $1100001_2$ itself. Thus there are $20+6=26,$ and C is correct.