Question

Hay dos bolas esféricas de distinto tamaño situadas en dos esquinas de una habitación rectangular; cada una toca dos paredes y el suelo. Si en cada bola hay un punto que está a $5$ pulgadas de cada pared que toca la bola y a $10$ pulgadas del suelo, entonces la suma de los diámetros de las bolas es

There are two spherical balls of different sizes lying in two corners of a rectangular room, each touching two walls and the floor. If there is a point on each ball which is $5$ inches from each wall which that ball touches and $10$ inches from the floor, then the sum of the diameters of the balls is

$20$ pulgadas

$20$ inches

$30$ pulgadas

$30$ inches

$40$ pulgadas

$40$ inches

$60$ pulgadas

$60$ inches

no se puede determinar con la información dada

not determined by the given information

Respuesta: C

Conceptos:esfera geometría analítica cuadrática

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Coloca la esquina en el origen y toma las paredes y el suelo como planos coordenados

Place the corner at the origin with the walls and floor as coordinate planes

Pista grande:

Una esfera de radio $r$ tangente a los tres planos tiene centro $(r,r,r)$

A sphere of radius $r$ tangent to all three planes has center $(r,r,r)$

Solución:

Para un radio $r,$ el centro es $(r,r,r)$ y el punto dado es $(5,5,10).$ Por lo tanto, $2(5-r)^2+(10-r)^2=r^2,$ que se simplifica a $r^2-20r+75=0,$ o $(r-5)(r-15)=0.$ Los dos radios son $5$ y $15,$ así que la suma de los diámetros es $2(5+15)=40$ pulgadas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

For radius $r,$ the center is $(r,r,r)$ and the given point is $(5,5,10).$ Thus $2(5-r)^2+(10-r)^2=r^2,$ which simplifies to $r^2-20r+75=0,$ or $(r-5)(r-15)=0.$ The two radii are $5$ and $15,$ so the sum of the diameters is $2(5+15)=40$ inches.

Therefore, the correct answer is C.

1977 AMC 12 Problema 27

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 27 en otros años