Question

Sea $g(x)=x^5+x^4+x^3$ ${}+x^2+x+1.$ ¿Cuál es el resto al dividir el polinomio $g(x^{12})$ entre el polinomio $g(x)$ ?

Let $g(x)=x^5+x^4+x^3$ ${}+x^2+x+1.$ What is the remainder when the polynomial $g(x^{12})$ is divided by the polynomial $g(x)?$

$6$

$5-x$

$4-x+x^2$

$3-x+x^2-x^3$

$2-x+x^2-x^3+x^4$

Respuesta: A

Conceptos:polinomio raíces de la unidad

Nivel de dificultad: 2300

Pista pequeña:

Usa $(x-1)g(x)=x^6-1$

Use $(x-1)g(x)=x^6-1$

Pista grande:

Evalúa el resto en las cinco raíces de $g$ y usa la cota de su grado

Evaluate the remainder at the five roots of $g$ and use its degree bound

Solución:

Sea $R(x)$ el resto, de modo que $\deg R\le4.$ Las cinco raíces $\alpha$ de $g$ satisfacen $\alpha^6=1$ y $\alpha\ne1.$ Por ello, $\alpha^{12}=1$ y $R(\alpha)=g(\alpha^{12})=g(1)=6.$ Entonces $R(x)-6,$ un polinomio de grado a lo sumo $4,$ tiene cinco raíces distintas. Debe ser idénticamente nulo, así que $R(x)=6.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let $R(x)$ be the remainder, so $\deg R\le4.$ The five roots $\alpha$ of $g$ satisfy $\alpha^6=1$ and $\alpha\ne1.$ Hence $\alpha^{12}=1$ and $R(\alpha)=g(\alpha^{12})=g(1)=6.$ Therefore $R(x)-6,$ a polynomial of degree at most $4,$ has five distinct roots. It must be identically zero, so $R(x)=6.$

Therefore, the correct answer is A.

1977 AMC 12 Problema 28

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 2300

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 28 en otros años