Question

Si la media aritmética de $a$ y $b$ es el doble de su media geométrica, con $a\gt b\gt0,$ entonces un posible valor de la razón $\frac{a}{b},$ redondeado al entero más cercano, es:

If the arithmetic mean of $a$ and $b$ is double their geometric mean, with $a\gt b\gt0,$ then a possible value for the ratio $\frac{a}{b},$ to the nearest integer, is:

$5$

$8$

$11$

$14$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: D

Conceptos:Desigualdad MA-MG cuadrática razón y proporción

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Sea $t=\frac{a}{b}$ y divide la ecuación de las medias entre $b$

Set $t=\frac{a}{b}$ and divide the mean equation by $b$

Pista grande:

La ecuación $t+1=4\sqrt t$ se vuelve cuadrática después de elevarla al cuadrado

The equation $t+1=4\sqrt t$ becomes quadratic after squaring

Solución:

Sea $t=\frac{a}{b}\gt1.$ La condición da $\frac{t+1}{2}=2\sqrt t,$ por lo que $t^2-14t+1=0.$ La raíz mayor que $1$ es $t=7+4\sqrt3\approx13.93,$ cuyo entero más cercano es $14.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $t=\frac{a}{b}\gt1.$ The condition gives $\frac{t+1}{2}=2\sqrt t,$ so $t^2-14t+1=0.$ The root greater than $1$ is $t=7+4\sqrt3\approx13.93,$ whose nearest integer is $14.$

Therefore, the correct answer is D.

1968 AMC 12 Problema 28

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 28 en otros años