Question

Los círculos con centros $A,$ $B,$ y $C$ tienen radio $r,$ donde $1\lt r\lt2.$ La distancia entre cada par de centros es $2.$ Si $B'$ es el punto de intersección de los círculos con centros $A$ y $C$ que está fuera del círculo con centro $B,$ y $C'$ es el punto de intersección de los círculos con centros $A$ y $B$ que está fuera del círculo con centro $C,$ entonces la longitud $B'C'$ es

Circles with centers $A,$ $B,$ and $C$ each have radius $r,$ where $1\lt r\lt2.$ The distance between each pair of centers is $2.$ If $B'$ is the point of intersection of circle $A$ and circle $C$ which is outside circle $B,$ and if $C'$ is the point of intersection of circle $A$ and circle $B$ which is outside circle $C,$ then length $B'C'$ equals

$3r-2$

$r^2$

$r+\sqrt{3(r-1)}$

$1+\sqrt{3(r^2-1)}$

ninguna de estas

none of these

Respuesta: D

Conceptos:círculo triángulo equilátero semejanza simetría

Nivel de dificultad: 2200

Pista pequeña:

Introduce el punto análogo $A'$ , exterior al círculo con centro $A$ ; por simetría, $A'B'C'$ es equilátero

Introduce the analogous point $A'$ outside circle $A$ ; symmetry makes $A'B'C'$ equilateral

Pista grande:

Usa el centroide común y la altura $\sqrt{r^2-1}$ de un triángulo isósceles de lados $r,$ $r,$ y $2$

Use the common centroid and the altitude $\sqrt{r^2-1}$ of an isosceles triangle with sides $r,$ $r,$ and $2$

Solución:

Sea $A'$ la intersección exterior análoga de los círculos con centros $B$ y $C.$ Entonces $A'B'C'$ y $ABC$ son triángulos equiláteros concéntricos. Si $K$ es su centroide común y $M$ es el punto medio de $BC,$ entonces $\begin{aligned} A'M&=\sqrt{r^2-1},\\ MK&=\frac{\sqrt3}{3},\\ AK&=\frac{2\sqrt3}{3}. \end{aligned}$ La semejanza da $\begin{aligned} \frac{B'C'}2&=\frac{A'K}{AK}\\ &=\frac{\sqrt{r^2-1}+\frac{\sqrt3}{3}} {\frac{2\sqrt3}{3}}. \end{aligned}$ Por tanto, $B'C'=1+\sqrt{3(r^2-1)}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $A'$ be the analogous outer intersection of the circles centered at $B$ and $C.$ Then $A'B'C'$ and $ABC$ are concentric equilateral triangles. If $K$ is their common centroid and $M$ is the midpoint of $BC,$ then $\begin{aligned} A'M&=\sqrt{r^2-1},\\ MK&=\frac{\sqrt3}{3},\\ AK&=\frac{2\sqrt3}{3}. \end{aligned}$ Similarity gives $\begin{aligned} \frac{B'C'}2&=\frac{A'K}{AK}\\ &=\frac{\sqrt{r^2-1}+\frac{\sqrt3}{3}} {\frac{2\sqrt3}{3}}. \end{aligned}$ Hence $B'C'=1+\sqrt{3(r^2-1)}.$

Therefore, the correct answer is D.

1979 AMC 12 Problema 28

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2200

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 28 en otros años