Question

El triángulo $ABC$ de la figura tiene área $10.$ Los puntos $D,$ $E$ y $F,$ todos distintos de $A,$ $B$ y $C,$ están en los lados $AB,$ $BC$ y $CA$ , respectivamente, y $AD=2,$ $DB=3.$ Si el triángulo $ABE$ y el cuadrilátero $DBEF$ tienen áreas iguales, entonces esa área es

Triangle $ABC$ in the figure has area $10.$ Points $D,$ $E$ and $F,$ all distinct from $A,$ $B$ and $C,$ are on sides $AB,$ $BC$ and $CA$ respectively, and $AD=2,$ $DB=3.$ If triangle $ABE$ and quadrilateral $DBEF$ have equal areas, then that area is

$4$

$5$

$6$

$\frac53\sqrt{10}$

no está determinada de manera única

not uniquely determined

Respuesta: C

Conceptos:área del triángulo descomposición de áreas semejanza

Nivel de dificultad: 2340

Pista pequeña:

Traza $DE$ y cancela el triángulo común $DBE$ de las áreas iguales

Draw $DE$ and cancel the common triangle $DBE$ from the equal areas

Pista grande:

Las áreas iguales de $ADE$ y $FDE$ implican $AF\parallel DE$ ; luego compara los triángulos $DBE$ y $ABC$

Equal areas of $ADE$ and $FDE$ imply $AF\parallel DE$ ; then compare triangles $DBE$ and $ABC$

Solución:

Traza $DE.$ De $\begin{aligned} [ABE]&=[ADE]+[DBE],\\ [DBEF]&=[FDE]+[DBE], \end{aligned}$ la igualdad implica $[ADE]=[FDE].$ Su base común $DE$ da entonces $AF\parallel DE,$ por lo que los triángulos $DBE$ y $ABC$ son semejantes. Así, $\frac{BE}{BC}=\frac{DB}{AB}=\frac{3}{5}.$ Los triángulos $ABE$ y $ABC$ comparten la altura desde $A$ hasta $BC,$ de modo que $[ABE]=(\frac{3}{5})[ABC]=6.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Draw $DE.$ From $\begin{aligned} [ABE]&=[ADE]+[DBE],\\ [DBEF]&=[FDE]+[DBE], \end{aligned}$ equality implies $[ADE]=[FDE].$ Their common base $DE$ then gives $AF\parallel DE,$ so triangles $DBE$ and $ABC$ are similar. Hence $\frac{BE}{BC}=\frac{DB}{AB}=\frac{3}{5}.$ Triangles $ABE$ and $ABC$ share the altitude from $A$ to $BC,$ so $[ABE]=(\frac{3}{5})[ABC]=6.$

Therefore, the correct answer is C.

1983 AMC 12 Problema 28

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2340

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 28 en otros años