Question

En el triángulo $ABC,$ $\overline{AL}$ biseca el ángulo $A$ y $\overline{CM}$ biseca el ángulo $C.$ Los puntos $L$ y $M$ están sobre $\overline{BC}$ y $\overline{AB},$ respectivamente. Los lados del triángulo $ABC$ son $a,$ $b,$ y $c.$ Entonces $\dfrac{AM}{MB}=k\dfrac{CL}{LB},$ donde $k$ es:

In triangle $ABC,$ $\overline{AL}$ bisects angle $A$ and $\overline{CM}$ bisects angle $C.$ Points $L$ and $M$ are on $\overline{BC}$ and $\overline{AB},$ respectively. The sides of triangle $ABC$ are $a,$ $b,$ and $c.$ Then $\dfrac{AM}{MB}=k\dfrac{CL}{LB},$ where $k$ is:

$1$

$\dfrac{bc}{a^2}$

$\dfrac{a^2}{bc}$

$\dfrac cb$

$\dfrac ca$

Respuesta: E

Conceptos:teorema de la bisectriz razón y proporción

Nivel de dificultad: 1300

Pista pequeña:

Aplica el teorema de la bisectriz por separado a $CM$ y $AL$

Apply the angle bisector theorem separately to $CM$ and $AL$

Pista grande:

Usa la notación estándar $a=BC,\ b=CA,\ c=AB$

Use the standard notation $a=BC,\ b=CA,\ c=AB$

Solución:

Por el teorema de la bisectriz, $\begin{aligned} \frac{AM}{MB}&=\frac{AC}{CB}=\frac ba,\\ \frac{CL}{LB}&=\frac{AC}{AB}=\frac bc. \end{aligned}$ Por lo tanto, $k=\frac{\frac{b}{a}}{\frac{b}{c}}=\frac ca.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

By the angle bisector theorem, $\begin{aligned} \frac{AM}{MB}&=\frac{AC}{CB}=\frac ba,\\ \frac{CL}{LB}&=\frac{AC}{AB}=\frac bc. \end{aligned}$ Therefore $k=\frac{\frac{b}{a}}{\frac{b}{c}}=\frac ca.$

Thus, the correct answer is E.

1959 AMC 12 Problema 28

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1300

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 28 en otros años