Question

El número de pares distintos de enteros $(x,y)$ tales que $\begin{aligned} 0&\lt x\lt y,\\ \sqrt{1984}&=\sqrt{x}+\sqrt{y} \end{aligned}$ es

The number of distinct pairs of integers $(x,y)$ such that $\begin{aligned} 0&\lt x\lt y,\\ \sqrt{1984}&=\sqrt{x}+\sqrt{y} \end{aligned}$ is

$0$

$1$

$2$

$3$

$7$

Respuesta: D

Conceptos:radical cuadrado perfecto conteo de pares

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

Usa $1984=31\cdot8^2$ y escribe ambos radicandos con la misma parte libre de cuadrados

Use $1984=31\cdot8^2$ and write both radicands with a common squarefree part

Pista grande:

Haz $x=31u^2,\ y=31v^2$ y cuenta los enteros positivos $u\lt v$ tales que $u+v=8$

Set $x=31u^2,\ y=31v^2$ and count positive integers $u\lt v$ with $u+v=8$

Solución:

Como $\sqrt{x}+\sqrt{y}=8\sqrt{31},$ los dos radicales deben tener la misma parte libre de cuadrados, $31.$ Escribe $x=31u^2$ y $y=31v^2$ para enteros positivos $u,v.$ Entonces $u+v=8,\qquad u\lt v.$ Las posibilidades son $(u,v)=(1,7),$ $(2,6),$ y $(3,5),$ que producen tres pares distintos $(x,y).$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Because $\sqrt{x}+\sqrt{y}=8\sqrt{31},$ the two radicals must have common squarefree part $31.$ Write $x=31u^2$ and $y=31v^2$ for positive integers $u,v.$ Then $u+v=8,\qquad u\lt v.$ The possibilities are $(u,v)=(1,7),$ $(2,6),$ and $(3,5),$ producing three distinct pairs $(x,y).$

Therefore, the correct answer is D.

1984 AMC 12 Problema 28

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 28 en otros años