El área total de todas las caras de un prisma rectangular es 22 cm^2, y la longitud total de todas sus aristas es 24 cm. Entonces la longitud en centímetros de cualquiera de sus diagonales interiores es

(E) no está determinada de manera única

1984 AMC 12 — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

1:15:00

1.

$\frac{1000^2}{252^2-248^2}$ es igual a

$\frac{1000^2}{252^2-248^2}$ equals

$62{,}500$

$1000$

$500$

$250$

$\frac12$

Respuesta: C

Conceptos:diferencia de cuadrados manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1210

Pista pequeña:

Factoriza el denominador como una diferencia de cuadrados

Factor the denominator as a difference of squares

Pista grande:

Usa $252+248=500$ y $252-248=4$

Use $252+248=500$ and $252-248=4$

Solución:

Al factorizar el denominador obtenemos $\begin{aligned} 252^2-248^2 &=(252+248)\\ &\quad{}\cdot(252-248)\\ &=500\cdot4=2000. \end{aligned}$ Así, el cociente dado es $\frac{1000^2}{2000}=500.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Factoring the denominator gives $\begin{aligned} 252^2-248^2 &=(252+248)\\ &\quad{}\cdot(252-248)\\ &=500\cdot4=2000. \end{aligned}$ Thus the given quotient is $\frac{1000^2}{2000}=500.$ Therefore, the correct answer is C.

2.

Si $x,$ $y$ y $y-\frac1x$ no son $0,$ entonces $\frac{x-\frac1y}{y-\frac1x}$ es igual a

If $x,$ $y$ and $y-\frac1x$ are not $0,$ then $\frac{x-\frac1y}{y-\frac1x}$ equals

$1$

$\frac{x}{y}$

$\frac{y}{x}$

$\frac{x}{y}-\frac{y}{x}$

$xy-\frac1{xy}$

Respuesta: B

Conceptos:fracción manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1330

Pista pequeña:

Escribe el numerador y el denominador como fracciones únicas

Write the numerator and denominator as single fractions

Pista grande:

Ambas partes contienen el factor común $xy-1$

Both parts contain the common factor $xy-1$

Solución:

Tenemos $x-\frac1y=\frac{xy-1}{y}$ y $y-\frac1x=\frac{xy-1}{x}.$ Las hipótesis hacen que las cantidades necesarias sean distintas de cero, por lo que su cociente es $\frac{\frac{xy-1}{y}}{\frac{xy-1}{x}}=\frac{x}{y}.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

We have $x-\frac1y=\frac{xy-1}{y}$ and $y-\frac1x=\frac{xy-1}{x}.$ The hypotheses make the needed quantities nonzero, so their quotient is $\frac{\frac{xy-1}{y}}{\frac{xy-1}{x}}=\frac{x}{y}.$ Therefore, the correct answer is B.

3.

Sea $n$ el menor entero no primo mayor que $1$ que no tiene ningún factor primo menor que $10.$ Entonces

Let $n$ be the smallest nonprime integer greater than $1$ with no prime factor less than $10.$ Then

$100\lt n\le110$

$110\lt n\le120$

$120\lt n\le130$

$130\lt n\le140$

$140\lt n\le150$

Respuesta: C

Conceptos:factorización en primos argumento extremal

Nivel de dificultad: 1770

Pista pequeña:

El menor factor primo permitido es $11$

The smallest permitted prime factor is $11$

Pista grande:

Para formar el menor compuesto, usa los dos menores factores primos permitidos

To make the smallest composite, use the two smallest permitted prime factors

Solución:

Todo factor primo de $n$ es por lo menos $11.$ El menor compuesto con esa propiedad es $11\cdot11=121,$ que se encuentra en $120\lt n\le130.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Every prime factor of $n$ is at least $11.$ The smallest composite with that property is $11\cdot11=121,$ which lies in $120\lt n\le130.$

Therefore, the correct answer is C.

4.

Un rectángulo corta un círculo como se muestra: $AB=4,$ $BC=5$ y $DE=3.$ Entonces $EF$ es igual a

A rectangle intersects a circle as shown: $AB=4,$ $BC=5$ and $DE=3.$ Then $EF$ equals

$6$

$7$

$\frac{20}{3}$

$8$

$9$

Respuesta: B

Conceptos:cuerda mediatriz rectángulo

Nivel de dificultad: 1720

Pista pequeña:

Las mediatrices de las dos cuerdas paralelas pasan por el mismo centro

The perpendicular bisectors of the two parallel chords pass through the same center

Pista grande:

Por tanto, los puntos medios de $BC$ y $EF$ tienen la misma posición horizontal

Therefore the midpoints of $BC$ and $EF$ have the same horizontal position

Solución:

La recta que pasa por el centro del círculo y es perpendicular a las cuerdas paralelas $BC$ y $EF$ biseca ambas. Medido desde el lado izquierdo del rectángulo, el punto medio de $BC$ está en $4+\frac52,$ mientras que el de $EF$ está en $3+\frac{EF}{2}.$ Por tanto, $4+\frac52=3+\frac{EF}{2},$ lo que da $EF=7.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The line through the circle’s center perpendicular to the parallel chords $BC$ and $EF$ bisects both. Measured from the rectangle’s left side, the midpoint of $BC$ is $4+\frac52,$ while the midpoint of $EF$ is $3+\frac{EF}{2}.$ Thus $4+\frac52=3+\frac{EF}{2},$ giving $EF=7.$

Therefore, the correct answer is B.

5.

El mayor entero $n$ para el cual $n^{200}\lt5^{300}$ es

The largest integer $n$ for which $n^{200}\lt5^{300}$ is

$8$

$9$

$10$

$11$

$12$

Respuesta: D

Conceptos:exponente cuadrado perfecto desigualdad

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Toma la raíz centésima positiva de ambos lados

Take the positive one-hundredth root of both sides

Pista grande:

Compara $n^2$ con $5^3$

Compare $n^2$ with $5^3$

Solución:

Al tomar raíces centésimas positivas obtenemos $n^2\lt5^3=125.$ Como $11^2=121\lt125$ , pero $12^2=144\gt125,$ el mayor entero posible es $11.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Taking positive one-hundredth roots gives $n^2\lt5^3=125.$ Since $11^2=121\lt125$ but $12^2=144\gt125,$ the largest possible integer is $11.$

Therefore, the correct answer is D.

6.

En cierta escuela hay tres veces tantos niños como niñas y nueve veces tantas niñas como docentes. Si las letras $b,$ $g,$ $t$ representan respectivamente el número de niños, niñas y docentes, entonces el total puede representarse mediante la expresión

In a certain school, there are three times as many boys as girls and nine times as many girls as teachers. Using the letters $b,$ $g,$ $t$ to represent the number of boys, girls and teachers, respectively, then the total number of boys, girls and teachers can be represented by the expression

$31b$

$\frac{37}{27}b$

$13g$

$\frac{37}{27}g$

$\frac{37}{27}t$

Respuesta: B

Conceptos:razón y proporción manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1290

Pista pequeña:

Expresa tanto $g$ como $t$ en función de $b$

Express both $g$ and $t$ in terms of $b$

Pista grande:

Las razones dadas implican $g=\frac{b}{3}$ y $t=\frac{b}{27}$

The given ratios imply $g=\frac{b}{3}$ and $t=\frac{b}{27}$

Solución:

Como $b=3g$ y $g=9t,$ tenemos $g=\frac{b}{3}$ y $t=\frac{b}{27}.$ Por tanto, $b+g+t=b+\frac b3+\frac b{27}=\frac{37}{27}b.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Because $b=3g$ and $g=9t,$ we have $g=\frac{b}{3}$ and $t=\frac{b}{27}.$ Hence $b+g+t=b+\frac b3+\frac b{27}=\frac{37}{27}b.$ Therefore, the correct answer is B.

7.

Cuando Dave camina a la escuela, da en promedio $90$ pasos por minuto, cada uno de $75$ cm. Tarda $16$ minutos en llegar. Su hermano Jack va a la misma escuela por la misma ruta y da en promedio $100$ pasos por minuto, pero sus pasos miden solo $60$ cm. ¿Cuánto tarda Jack en llegar a la escuela?

When Dave walks to school, he averages $90$ steps per minute, each of his steps $75$ cm long. It takes him $16$ minutes to get to school. His brother, Jack, going to the same school by the same route, averages $100$ steps per minute, but his steps are only $60$ cm long. How long does it take Jack to get to school?

$14\frac29$ min

$14\frac29$ min.

$15$ min

$15$ min.

$18$ min

$18$ min.

$20$ min

$20$ min.

$22\frac29$ min

$22\frac29$ min.

Respuesta: C

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo conversión de unidades

Nivel de dificultad: 1290

Pista pequeña:

Halla la longitud de la ruta usando la frecuencia de pasos, la longitud del paso y el tiempo de Dave

Find the route’s length from Dave’s step rate, step length, and time

Pista grande:

Jack recorre $100\cdot60$ centímetros cada minuto

Jack covers $100\cdot60$ centimeters each minute

Solución:

La ruta mide $16\cdot90\cdot75$ centímetros. Jack recorre $100\cdot60$ centímetros por minuto, así que su tiempo es $\frac{16\cdot90\cdot75}{100\cdot60}=18$ minutos. Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The route is $16\cdot90\cdot75$ centimeters long. Jack covers $100\cdot60$ centimeters per minute, so his time is $\frac{16\cdot90\cdot75}{100\cdot60}=18$ minutes. Therefore, the correct answer is C.

8.

La figura $ABCD$ es un trapecio con $AB\parallel DC,$ $AB=5,$ $BC=3\sqrt2,$ $\angle BCD=45^\circ$ y $\angle CDA=60^\circ.$ La longitud de $DC$ es

Figure $ABCD$ is a trapezoid with $AB\parallel DC,$ $AB=5,$ $BC=3\sqrt2,$ $\angle BCD=45^\circ$ and $\angle CDA=60^\circ.$ The length of $DC$ is

$7+\frac23\sqrt3$

$8$

$9\frac12$

$8+\sqrt3$

$8+3\sqrt3$

Respuesta: D

Conceptos:trapecio triángulo rectángulo especial descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Traza perpendiculares desde $A$ y $B$ hasta $DC$

Drop perpendiculars from $A$ and $B$ to $DC$

Pista grande:

El triángulo de la derecha es $45^\circ$ - $45^\circ$ - $90^\circ,$ y el de la izquierda es $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$

The right-hand triangle is $45^\circ$ - $45^\circ$ - $90^\circ,$ and the left-hand triangle is $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$

Solución:

Traza perpendiculares desde $A$ y $B$ hasta $DC.$ Como $BC=3\sqrt2$ y el ángulo en $C$ es $45^\circ,$ tanto la altura como el desplazamiento horizontal derecho son $3.$ El triángulo izquierdo $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ tiene altura $3,$ así que su desplazamiento horizontal es $\sqrt3.$ Por tanto, $DC=\sqrt3+AB+3=8+\sqrt3.$ La respuesta correcta es D.

Drop perpendiculars from $A$ and $B$ to $DC.$ Since $BC=3\sqrt2$ and the angle at $C$ is $45^\circ,$ both the height and the right horizontal offset are $3.$ The left $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ triangle has height $3,$ so its horizontal offset is $\sqrt3.$ Therefore $DC=\sqrt3+AB+3=8+\sqrt3.$ The correct answer is D.

9.

El número de dígitos de $4^{16}5^{25}$ (escrito en la forma usual de base $10$ ) es

The number of digits in $4^{16}5^{25}$ (when written in the usual base $10$ form) is

$31$

$30$

$29$

$28$

$27$

Respuesta: D

Conceptos:exponente dígitos potencia de 2

Nivel de dificultad: 1750

Pista pequeña:

Reescribe la potencia de $4$ como una potencia de $2$

Rewrite the power of $4$ as a power of $2$

Pista grande:

Empareja $25$ factores de $2$ con los $25$ factores de $5$

Pair $25$ factors of $2$ with the $25$ factors of $5$

Solución:

Tenemos $\begin{aligned} 4^{16}5^{25} &=2^{32}5^{25}\\ &=2^7\cdot10^{25}\\ &=128\cdot10^{25}. \end{aligned}$ Esto es $128$ seguido de $25$ ceros, por lo que tiene $3+25=28$ dígitos. Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

We have $\begin{aligned} 4^{16}5^{25} &=2^{32}5^{25}\\ &=2^7\cdot10^{25}\\ &=128\cdot10^{25}. \end{aligned}$ This is $128$ followed by $25$ zeros, so it has $3+25=28$ digits. Therefore, the correct answer is D.

10.

Cuatro números complejos se encuentran en los vértices de un cuadrado en el plano complejo. Tres de los números son $1+2i,$ $-2+i$ y $-1-2i.$ El cuarto número es

Four complex numbers lie at the vertices of a square in the complex plane. Three of the numbers are $1+2i,$ $-2+i$ and $-1-2i.$ The fourth number is

$2+i$

$2-i$

$1-2i$

$-1+2i$

$-2-i$

Respuesta: B

Conceptos:número complejo cuadrado (geometría)simetría

Nivel de dificultad: 1680

Pista pequeña:

Dos de los vértices dados son opuestos

Two of the listed vertices are opposites

Pista grande:

Su punto medio es el centro del cuadrado; refleja el vértice dado restante respecto de ese punto

Their midpoint is the square’s center, so reflect the remaining given vertex through that point

Solución:

Los puntos $1+2i$ y $-1-2i$ son vértices opuestos, por lo que su punto medio $0$ es el centro del cuadrado. Así, el cuarto vértice es la reflexión de $-2+i$ respecto del origen, es decir, $2-i.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The points $1+2i$ and $-1-2i$ are opposite vertices, so their midpoint $0$ is the center of the square. The fourth vertex is therefore the reflection of $-2+i$ through the origin, namely $2-i.$

Therefore, the correct answer is B.

11.

Una calculadora tiene una tecla que reemplaza el número mostrado por su cuadrado y otra que lo reemplaza por su recíproco. Sea $y$ el resultado final si se comienza con un número $x\ne0$ y se alternan las operaciones de elevar al cuadrado y tomar el recíproco, cada una $n$ veces. Si se supone que la calculadora es completamente exacta (por ejemplo, sin redondeo ni desbordamiento), entonces $y$ es igual a

A calculator has a key which replaces the displayed entry with its square, and another key which replaces the displayed entry with its reciprocal. Let $y$ be the final result if one starts with an entry $x\ne0$ and alternately squares and reciprocates $n$ times each. Assuming the calculator is completely accurate (e.g., no roundoff or overflow), then $y$ equals

$x^{(-2)^n}$

$x^{2n}$

$x^{-2n}$

$x^{-2^n}$

$x^{(-1)^n2n}$

Respuesta: A

Conceptos:exponente simulación de procesos reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1750

Pista pequeña:

Sigue únicamente el exponente de $x$

Track only the exponent of $x$

Pista grande:

Cada par de operaciones, elevar al cuadrado y luego tomar el recíproco, multiplica el exponente por $-2$

One squaring-reciprocating pair multiplies the exponent by $-2$

Solución:

Escribe el valor mostrado como $x^e.$ Elevar al cuadrado cambia $e$ por $2e,$ y luego tomar el recíproco lo cambia por $-2e.$ A partir de $e=1,$ después de $n$ pares de operaciones el exponente es $(-2)^n.$ Por lo tanto, $y=x^{(-2)^n}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Write the displayed value as $x^e.$ Squaring changes $e$ to $2e,$ and then reciprocating changes it to $-2e.$ Starting from $e=1,$ after $n$ such pairs the exponent is $(-2)^n.$ Thus $y=x^{(-2)^n}.$

Therefore, the correct answer is A.

12.

Si la sucesión $\{a_n\}$ se define mediante $\begin{aligned} a_1&=2,\\ a_{n+1}&=a_n+2n\quad(n\ge1), \end{aligned}$ entonces $a_{100}$ es igual a

If the sequence $\{a_n\}$ is defined by $\begin{aligned} a_1&=2,\\ a_{n+1}&=a_n+2n\quad(n\ge1), \end{aligned}$ then $a_{100}$ equals

$9900$

$9902$

$9904$

$10100$

$10102$

Respuesta: B

Conceptos:recursión sucesión aritmética sumatoria

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Suma todos los incrementos desde $a_1$ hasta $a_{100}$

Add all increments from $a_1$ through $a_{100}$

Pista grande:

Usa $a_{100}=2+2(1+2+\cdots+99)$

Use $a_{100}=2+2(1+2+\cdots+99)$

Solución:

Al telescopar la recurrencia se obtiene $\begin{aligned} a_{100} &=a_1+2\sum_{n=1}^{99}n\\ &=2+2\cdot\frac{99\cdot100}{2}\\ &=9902. \end{aligned}$ Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Telescoping the recurrence gives $\begin{aligned} a_{100} &=a_1+2\sum_{n=1}^{99}n\\ &=2+2\cdot\frac{99\cdot100}{2}\\ &=9902. \end{aligned}$ Therefore, the correct answer is B.

13.

$\frac{2\sqrt6}{\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5}$ es igual a

$\frac{2\sqrt6}{\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5}$ equals

$\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5$

$4-\sqrt2-\sqrt3$

$\sqrt2+\sqrt3+\sqrt6-5$

$\frac12(\sqrt2+\sqrt5-\sqrt3)$

$\frac13(\sqrt3+\sqrt5-\sqrt2)$

Respuesta: A

Conceptos:radical racionalización del denominador manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 2150

Pista pequeña:

Agrupa los dos primeros radicales del denominador

Group the first two radicals in the denominator

Pista grande:

Multiplica $\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5$ por $\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5$

Multiply $\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5$ by $\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5$

Solución:

Observa que $\begin{aligned} &(\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5)\\ &\quad{}\cdot(\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5)\\ &=(\sqrt2+\sqrt3)^2-5\\ &=2\sqrt6. \end{aligned}$ Por consiguiente, el cociente es $\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Observe that $\begin{aligned} &(\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5)\\ &\quad{}\cdot(\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5)\\ &=(\sqrt2+\sqrt3)^2-5\\ &=2\sqrt6. \end{aligned}$ Hence the quotient is $\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5.$

Therefore, the correct answer is A.

14.

El producto de todas las raíces reales de la ecuación $x^{\log_{10}x}=10$ es

The product of all real roots of the equation $x^{\log_{10}x}=10$ is

$1$

$-1$

$10$

$10^{-1}$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: A

Conceptos:logaritmo cuadrática sustitución

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Toma el logaritmo en base $10$ de ambos lados

Take the base- $10$ logarithm of both sides

Pista grande:

Sea $t=\log_{10}x$ y resuelve la ecuación resultante en $t$

Let $t=\log_{10}x$ and solve the resulting equation in $t$

Solución:

El logaritmo exige que $x\gt0.$ Al tomar logaritmos en base $10$ se obtiene $(\log_{10}x)^2=1.$ Así, $\log_{10}x=\pm1,$ por lo que las dos raíces son $10$ y $10^{-1},$ cuyo producto es $1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The logarithm requires $x\gt0.$ Taking base- $10$ logarithms gives $(\log_{10}x)^2=1.$ Thus $\log_{10}x=\pm1,$ so the two roots are $10$ and $10^{-1},$ whose product is $1.$

Therefore, the correct answer is A.

15.

Si $\sin2x\sin3x=\cos2x\cos3x,$ entonces un valor posible de $x$ es

If $\sin2x\sin3x=\cos2x\cos3x,$ then one value for $x$ is

$18^\circ$

$30^\circ$

$36^\circ$

$45^\circ$

$60^\circ$

Respuesta: A

Conceptos:identidad trigonométrica suma de ángulos

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Pasa todos los términos a un lado y reconoce una identidad del coseno de una suma

Move all terms to one side and recognize a cosine addition identity

Pista grande:

Usa $\cos2x\cos3x-\sin2x\sin3x$ $=\cos5x$

Use $\cos2x\cos3x-\sin2x\sin3x$ $=\cos5x$

Solución:

La ecuación equivale a $\begin{aligned} &\cos2x\cos3x\\ &\quad-\sin2x\sin3x\\ &=\cos5x=0. \end{aligned}$ Por lo tanto, $5x=90^\circ+180^\circ k.$ Al tomar $k=0$ se obtiene $x=18^\circ,$ el valor que aparece entre las opciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The equation is equivalent to $\begin{aligned} &\cos2x\cos3x\\ &\quad-\sin2x\sin3x\\ &=\cos5x=0. \end{aligned}$ Therefore $5x=90^\circ+180^\circ k.$ Taking $k=0$ gives $x=18^\circ,$ the listed value.

Therefore, the correct answer is A.

16.

La función $f(x)$ satisface $f(2+x)=f(2-x)$ para todo número real $x.$ Si la ecuación $f(x)=0$ tiene exactamente cuatro raíces reales distintas, entonces la suma de estas raíces es

The function $f(x)$ satisfies $f(2+x)=f(2-x)$ for all real numbers $x.$ If the equation $f(x)=0$ has exactly four distinct real roots, then the sum of these roots is

$0$

$2$

$4$

$6$

$8$

Respuesta: E

Conceptos:ecuación funcional simetría (álgebra)emparejamiento y agrupación

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

La ecuación hace que la gráfica sea simétrica respecto de $x=2$

The equation makes the graph symmetric about $x=2$

Pista grande:

Empareja cada raíz $2+r$ con su raíz reflejada $2-r$

Pair each root $2+r$ with its reflected root $2-r$

Solución:

La relación muestra que cada raíz $2+r$ está emparejada con $2-r.$ Por lo tanto, cuatro raíces distintas forman dos pares de este tipo, y cada par suma $4.$ La suma de las cuatro raíces es $2\cdot4=8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The relation shows that every root $2+r$ is paired with $2-r.$ Four distinct roots therefore form two such pairs, and each pair has sum $4.$ The sum of all four roots is $2\cdot4=8.$

Therefore, the correct answer is E.

17.

Un triángulo rectángulo $ABC$ , con hipotenusa $AB$ , tiene lado $AC=15.$ La altura $CH$ divide $AB$ en los segmentos $AH$ y $HB,$ con $HB=16.$ El área de $\triangle ABC$ es

A right triangle $ABC$ with hypotenuse $AB$ has side $AC=15.$ Altitude $CH$ divides $AB$ into segments $AH$ and $HB,$ with $HB=16.$ The area of $\triangle ABC$ is

$120$

$144$

$150$

$216$

$144\sqrt5$

Respuesta: C

Conceptos:triángulo rectángulo altura semejanza área del triángulo

Nivel de dificultad: 1920

Pista pequeña:

Usa la relación de proyección del triángulo rectángulo $AC^2=AH\cdot AB$

Use the right-triangle projection relation $AC^2=AH\cdot AB$

Pista grande:

Después de hallar $AH,$ usa $CH^2=AH\cdot HB$

After finding $AH,$ use $CH^2=AH\cdot HB$

Solución:

Sea $AH=h.$ La semejanza en el triángulo rectángulo da $\begin{aligned} AC^2&=AH\cdot AB,\\ 225&=h(h+16), \end{aligned}$ de donde $h=9.$ Por consiguiente, $AB=25.$ Además, $CH=\sqrt{AH\cdot HB},$ por lo que $CH=\sqrt{9\cdot16}=12.$ El área es $\frac12\cdot25\cdot12=150.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $AH=h.$ Similarity in the right triangle gives $\begin{aligned} AC^2&=AH\cdot AB,\\ 225&=h(h+16), \end{aligned}$ so $h=9.$ Hence $AB=25.$ Also $CH=\sqrt{AH\cdot HB},$ so $CH=\sqrt{9\cdot16}=12.$ The area is $\frac12\cdot25\cdot12=150.$

Therefore, the correct answer is C.

18.

Se elige un punto $(x,y)$ en el plano coordenado de modo que esté a la misma distancia del eje $x$ , del eje $y$ y de la recta $x+y=2.$ Entonces $x$

A point $(x,y)$ is to be chosen in the coordinate plane so that it is equally distant from the $x$ -axis, the $y$ -axis, and the line $x+y=2.$ Then $x$ is

$\sqrt2-1$

$\frac12$

$2-\sqrt2$

$1$

no está determinado de manera única

not uniquely determined

Respuesta: E

Conceptos:fórmula de la distancia bisectriz contraejemplo

Nivel de dificultad: 2130

Pista pequeña:

La misma distancia a los dos ejes implica que $|x|=|y|$

Equal distance from the two axes forces $|x|=|y|$

Pista grande:

Examina las dos rectas $y=x$ y $y=-x$

Check both lines $y=x$ and $y=-x$

Solución:

La misma distancia a los ejes da $y=x$ o $y=-x.$ Sobre $y=-x,$ la distancia a la recta $x+y=2$ es $\sqrt2,$ de modo que tanto $(\sqrt2,-\sqrt2)$ como $(-\sqrt2,\sqrt2)$ satisfacen las tres condiciones de distancia. Sus coordenadas $x$ son distintas, así que $x$ no está determinado de manera única.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Equal distance from the axes gives $y=x$ or $y=-x.$ On $y=-x,$ the distance to the line $x+y=2$ is $\sqrt2,$ so both $(\sqrt2,-\sqrt2)$ and $(-\sqrt2,\sqrt2)$ satisfy all three distance conditions. Their $x$ -coordinates differ, so $x$ is not uniquely determined.

Therefore, the correct answer is E.

19.

Una caja contiene $11$ bolas numeradas $1,$ $2,$ $3,$ $\ldots,$ $11.$ Si se extraen simultáneamente $6$ bolas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los números de las bolas extraídas sea impar?

A box contains $11$ balls, numbered $1,$ $2,$ $3,$ $\ldots,$ $11.$ If $6$ balls are drawn simultaneously at random, what is the probability that the sum of the numbers on the balls drawn is odd?

$\frac{100}{231}$

$\frac{115}{231}$

$\frac12$

$\frac{118}{231}$

$\frac6{11}$

Respuesta: D

Conceptos:combinaciones paridad muestreo sin reemplazo

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

Hay $6$ bolas con número impar y $5$ bolas con número par

There are $6$ odd-numbered balls and $5$ even-numbered balls

Pista grande:

Cuenta las selecciones que contienen $1,$ $3,$ o $5$ bolas impares

Count selections containing $1,$ $3,$ or $5$ odd balls

Solución:

Una suma impar requiere que una cantidad impar de las seis bolas elegidas tenga número impar. Hay $6$ bolas impares y $5$ pares, por lo que la cantidad de casos favorables es $\begin{aligned} &\binom61\binom55+\binom63\binom53\\ &\quad+\binom65\binom51\\ &=6+200+30=236. \end{aligned}$ De las $\binom{11}{6}=462$ selecciones, la probabilidad pedida es $\frac{236}{462}=\frac{118}{231}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

An odd sum requires an odd number of the six selected balls to be odd. There are $6$ odd and $5$ even balls, so the favorable count is $\begin{aligned} &\binom61\binom55+\binom63\binom53\\ &\quad+\binom65\binom51\\ &=6+200+30=236. \end{aligned}$ Of the $\binom{11}{6}=462$ selections, the desired probability is $\frac{236}{462}=\frac{118}{231}.$

Therefore, the correct answer is D.

20.

El número de soluciones distintas de la ecuación $\left|x-|2x+1|\right|=3$ es

The number of distinct solutions of the equation $\left|x-|2x+1|\right|=3$ is

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Respuesta: C

Conceptos:valor absoluto análisis por casos ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1720

Pista pequeña:

Separa el valor absoluto exterior en dos ecuaciones

Split the outer absolute value into two equations

Pista grande:

En cada ecuación, aísla $|2x+1|$ antes de comprobar sus dos casos

For each equation, isolate $|2x+1|$ before checking its two cases

Solución:

Si $x-|2x+1|=3,$ entonces $|2x+1|=x-3,$ lo cual exige $x\ge3$ y no produce ninguna solución. Si $x-|2x+1|=-3,$ entonces $|2x+1|=x+3.$ Sus dos casos lineales dan $x=2$ y $x=-\frac{4}{3},$ ambos válidos. Así, hay $2$ soluciones distintas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

If $x-|2x+1|=3,$ then $|2x+1|=x-3,$ which requires $x\ge3$ and yields no solution. If $x-|2x+1|=-3,$ then $|2x+1|=x+3.$ Its two linear cases give $x=2$ and $x=-\frac{4}{3},$ both valid. Thus there are $2$ distinct solutions.

Therefore, the correct answer is C.

21.

El número de ternas $(a,b,c)$ de enteros positivos que satisfacen simultáneamente las ecuaciones $\begin{aligned} ab+bc&=44,\\ ac+bc&=23 \end{aligned}$ es

The number of triples $(a,b,c)$ of positive integers which satisfy the simultaneous equations $\begin{aligned} ab+bc&=44,\\ ac+bc&=23. \end{aligned}$ is

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Respuesta: C

Conceptos:Ecuación diofántica factor sustitución

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Factoriza la segunda ecuación como $c(a+b)=23$

Factor the second equation as $c(a+b)=23$

Pista grande:

Usa que $23$ es primo y que las variables son positivas para determinar $c$ y $a+b$

Use the primality of $23$ and positivity to determine $c$ and $a+b$

Solución:

Como $c(a+b)=23$ y todas las variables son enteros positivos, $c=1$ y $a+b=23.$ Sustituye $b=23-a$ en $ab+b=44.$ Entonces $(23-a)(a+1)=44,$ o bien $a^2-22a+21=0,$ por lo que $a=1$ o $21.$ Cada valor da un $b$ positivo, y produce exactamente dos ternas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since $c(a+b)=23$ and all variables are positive integers, $c=1$ and $a+b=23.$ Put $b=23-a$ in $ab+b=44.$ Then $(23-a)(a+1)=44,$ or $a^2-22a+21=0,$ so $a=1$ or $21.$ Each gives a positive $b,$ producing exactly two triples.

Therefore, the correct answer is C.

22.

Sean $a$ y $c$ números positivos fijos. Para cada número real $t$ , sea $(x_t,y_t)$ el vértice de la parábola $y=ax^2+tx+c.$ Si el conjunto de vértices $(x_t,y_t)$ para todos los valores reales de $t$ se representa en el plano, la gráfica es

Let $a$ and $c$ be fixed positive numbers. For each real number $t$ let $(x_t,y_t)$ be the vertex of the parabola $y=ax^2+tx+c.$ If the set of vertices $(x_t,y_t)$ for all real values of $t$ is graphed in the plane, the graph is

una recta

a straight line

una parábola

a parabola

una parte de una parábola, pero no toda

part, but not all, of a parabola

una rama de una hipérbola

one branch of a hyperbola

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: B

Conceptos:parábola completar el cuadrado geometría analítica

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Escribe las coordenadas del vértice en función de $t$

Write the vertex coordinates in terms of $t$

Pista grande:

Usa $x_t=-\frac{t}{2a}$ para eliminar $t$ de $y_t$

Use $x_t=-\frac{t}{2a}$ to eliminate $t$ from $y_t$

Solución:

Las coordenadas del vértice son $x_t=-\frac{t}{2a},\qquad y_t=c-\frac{t^2}{4a}.$ Como $t=-2ax_t,$ al eliminar $t$ se obtiene $y_t=c-ax_t^2.$ Cuando $t$ recorre todos los números reales, $x_t$ también lo hace, por lo que se traza la parábola completa.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The vertex coordinates are $x_t=-\frac{t}{2a},\qquad y_t=c-\frac{t^2}{4a}.$ Since $t=-2ax_t,$ eliminating $t$ gives $y_t=c-ax_t^2.$ As $t$ ranges over all reals, so does $x_t,$ so the entire parabola is traced.

Therefore, the correct answer is B.

23.

$\frac{\sin10^\circ+\sin20^\circ}{\cos10^\circ+\cos20^\circ}$ es igual a

$\frac{\sin10^\circ+\sin20^\circ}{\cos10^\circ+\cos20^\circ}$ equals

$\tan10^\circ+\tan20^\circ$

$\tan30^\circ$

$\frac12(\tan10^\circ+\tan20^\circ)$

$\tan15^\circ$

$\frac14\tan60^\circ$

Respuesta: D

Conceptos:identidad trigonométrica manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 2130

Pista pequeña:

Aplica las identidades de suma a producto tanto al numerador como al denominador

Apply the sum-to-product identities to both numerator and denominator

Pista grande:

Las dos sumas transformadas contienen el mismo factor $\cos5^\circ$

Both transformed sums contain the same $\cos5^\circ$ factor

Solución:

Sea $R$ la razón dada. Por las identidades de suma a producto, $\begin{aligned} R&=\frac{\sin10^\circ+\sin20^\circ} {\cos10^\circ+\cos20^\circ},\\ R&=\frac{2\sin15^\circ\cos5^\circ} {2\cos15^\circ\cos5^\circ}\\ &=\tan15^\circ. \end{aligned}$ Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $R$ denote the given ratio. By the sum-to-product identities, $\begin{aligned} R&=\frac{\sin10^\circ+\sin20^\circ} {\cos10^\circ+\cos20^\circ},\\ R&=\frac{2\sin15^\circ\cos5^\circ} {2\cos15^\circ\cos5^\circ}\\ &=\tan15^\circ. \end{aligned}$ Therefore, the correct answer is D.

24.

Si $a$ y $b$ son números reales positivos y cada una de las ecuaciones $\begin{aligned} x^2+ax+2b&=0,\\ x^2+2bx+a&=0 \end{aligned}$ tiene raíces reales, entonces el menor valor posible de $a+b$ es

If $a$ and $b$ are positive real numbers and each of the equations $\begin{aligned} x^2+ax+2b&=0,\\ x^2+2bx+a&=0 \end{aligned}$ has real roots, then the smallest possible value of $a+b$ is

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

Respuesta: E

Conceptos:cuadrática desigualdad

Nivel de dificultad: 2240

Pista pequeña:

Exige que los discriminantes de las dos ecuaciones cuadráticas sean no negativos

Require both quadratic discriminants to be nonnegative

Pista grande:

Combina $a^2\ge8b$ y $b^2\ge a$ para acotar $a$ y $b$

Combine $a^2\ge8b$ and $b^2\ge a$ to bound $a$ and $b$

Solución:

Los dos discriminantes dan $a^2\ge8b$ y $b^2\ge a.$ Por lo tanto, $a^4\ge64b^2\ge64a.$ Como $a\gt0,$ esto implica $a\ge4,$ y entonces $b^2\ge a\ge4$ da $b\ge2.$ Así, $a+b\ge6.$ La igualdad ocurre cuando $a=4,b=2,$ y ambos discriminantes son cero.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The two discriminants give $a^2\ge8b$ and $b^2\ge a.$ Therefore $a^4\ge64b^2\ge64a.$ Since $a\gt0,$ this yields $a\ge4,$ and then $b^2\ge a\ge4$ gives $b\ge2.$ Thus $a+b\ge6.$ Equality occurs at $a=4,b=2,$ for which both discriminants are zero.

Therefore, the correct answer is E.

25.

El área total de todas las caras de un prisma rectangular es $22\text{ cm}^2,$ y la longitud total de todas sus aristas es $24\text{ cm}.$ Entonces la longitud en centímetros de cualquiera de sus diagonales interiores es

The total area of all the faces of a rectangular solid is $22\text{ cm}^2,$ and the total length of all its edges is $24\text{ cm}.$ Then the length in cm of any one of its internal diagonals is

$\sqrt{11}$

$\sqrt{12}$

$\sqrt{13}$

$\sqrt{14}$

no está determinada de manera única

not uniquely determined

Respuesta: D

Conceptos:prisma rectangular área de superficie diagonal

Nivel de dificultad: 1770

Pista pequeña:

Sean las longitudes de las aristas $x,y,z$ y traduce ambos totales en ecuaciones

Let the side lengths be $x,y,z$ and translate both totals into equations

Pista grande:

Expande $(x+y+z)^2$ para hallar $x^2+y^2+z^2$

Expand $(x+y+z)^2$ to find $x^2+y^2+z^2$

Solución:

Las condiciones dan $2(xy+xz+yz)=22$ y $4(x+y+z)=24,$ así que $xy+xz+yz=11$ y $x+y+z=6.$ Por tanto, el cuadrado de una diagonal interior es $x^2+y^2+z^2=6^2-2(11)=14.$ Su longitud es $\sqrt{14}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The conditions give $2(xy+xz+yz)=22$ and $4(x+y+z)=24,$ so $xy+xz+yz=11$ and $x+y+z=6.$ Hence the square of an internal diagonal is $x^2+y^2+z^2=6^2-2(11)=14.$ Its length is $\sqrt{14}.$

Therefore, the correct answer is D.

26.

En el triángulo obtusángulo $ABC,$ $AM=MB,$ $MD\perp BC,$ y $EC\perp BC.$ Si el área de $\triangle ABC$ es $24,$ entonces el área de $\triangle BED$ es

In the obtuse triangle $ABC,$ $AM=MB,$ $MD\perp BC,$ $EC\perp BC.$ If the area of $\triangle ABC$ is $24,$ then the area of $\triangle BED$ is

$9$

$12$

$15$

$18$

no está determinada de manera única

not uniquely determined

Respuesta: B

Conceptos:área del triángulo punto medio descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Traza el segmento $MC$ y compara $\triangle DMC$ con $\triangle DME$

Draw segment $MC$ and compare $\triangle DMC$ with $\triangle DME$

Pista grande:

Esos triángulos tienen la misma base $MD$ y alturas iguales; además, $M$ es el punto medio de $AB$

Those triangles have the same base $MD$ and equal altitudes; also $M$ is the midpoint of $AB$

Solución:

Traza $MC.$ Como $EC\parallel MD,$ los puntos $E$ y $C$ tienen la misma distancia perpendicular a $MD,$ por lo que $[DME]=[DMC].$ Entonces $\begin{aligned} [BED]&=[BMD]+[DME]\\ &=[BMD]+[DMC]\\ &=[BMC]. \end{aligned}$ Como $M$ es el punto medio de $AB,$ el triángulo $BMC$ tiene la mitad del área de $ABC.$ Por consiguiente, $[BED]=12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Draw $MC.$ Since $EC\parallel MD,$ points $E$ and $C$ have equal perpendicular distances from $MD,$ so $[DME]=[DMC].$ Therefore $\begin{aligned} [BED]&=[BMD]+[DME]\\ &=[BMD]+[DMC]\\ &=[BMC]. \end{aligned}$ Because $M$ is the midpoint of $AB,$ triangle $BMC$ has half the area of $ABC.$ Thus $[BED]=12.$

Therefore, the correct answer is B.

27.

En $\triangle ABC,$ $D$ está en $AC$ y $F$ está en $BC.$ Además, $AB\perp AC,$ $AF\perp BC,$ y $BD=DC=FC=1.$ Halla $AC.$

In $\triangle ABC,$ $D$ is on $AC$ and $F$ is on $BC.$ Also, $AB\perp AC,$ $AF\perp BC,$ and $BD=DC=FC=1.$ Find $AC.$

$\sqrt2$

$\sqrt3$

$\sqrt[3]{2}$

$\sqrt[3]{3}$

$\sqrt[4]{3}$

Respuesta: C

Conceptos:triángulo rectángulo semejanza ley de los cosenos

Nivel de dificultad: 2350

Pista pequeña:

Sea $AC=s$ y usa la relación de semejanza entre la altura y la hipotenusa

Let $AC=s$ and use the altitude-to-hypotenuse similarity relation

Pista grande:

Después compara $\cos\angle ACB$ en el triángulo rectángulo $ABC$ y el triángulo isósceles $BDC$

Then compare $\cos\angle ACB$ in right triangle $ABC$ and isosceles triangle $BDC$

Solución:

Sea $AC=s.$ La relación de proyección en el triángulo rectángulo da $AC^2=FC\cdot BC,$ por lo que $BC=s^2.$ Como $BD=DC=1,$ el numerador y el denominador de la ley de cosenos satisfacen $\begin{aligned} BC^2+DC^2-BD^2&=s^4,\\ 2(BC)(DC)&=2s^2. \end{aligned}$ Por tanto, $\cos\angle BCD=\frac{s^2}{2}.$ Pero $D$ está en $AC,$ y en el triángulo rectángulo $ABC,$ $\cos\angle BCA=\frac{AC}{BC}=\frac{1}{s}.$ Así, $\frac{s^2}{2}=\frac{1}{s},$ de modo que $s^3=2$ y $AC=\sqrt[3]{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $AC=s.$ The right-triangle projection relation gives $AC^2=FC\cdot BC,$ so $BC=s^2.$ Since $BD=DC=1,$ the numerator and denominator in the Law of Cosines satisfy $\begin{aligned} BC^2+DC^2-BD^2&=s^4,\\ 2(BC)(DC)&=2s^2. \end{aligned}$ Hence $\cos\angle BCD=\frac{s^2}{2}.$ But $D$ lies on $AC,$ and in right triangle $ABC,$ $\cos\angle BCA=\frac{AC}{BC}=\frac{1}{s}.$ Thus $\frac{s^2}{2}=\frac{1}{s},$ so $s^3=2$ and $AC=\sqrt[3]{2}.$

Therefore, the correct answer is C.

28.

El número de pares distintos de enteros $(x,y)$ tales que $\begin{aligned} 0&\lt x\lt y,\\ \sqrt{1984}&=\sqrt{x}+\sqrt{y} \end{aligned}$ es

The number of distinct pairs of integers $(x,y)$ such that $\begin{aligned} 0&\lt x\lt y,\\ \sqrt{1984}&=\sqrt{x}+\sqrt{y} \end{aligned}$ is

$0$

$1$

$2$

$3$

$7$

Respuesta: D

Conceptos:radical cuadrado perfecto conteo de pares

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

Usa $1984=31\cdot8^2$ y escribe ambos radicandos con la misma parte libre de cuadrados

Use $1984=31\cdot8^2$ and write both radicands with a common squarefree part

Pista grande:

Haz $x=31u^2,\ y=31v^2$ y cuenta los enteros positivos $u\lt v$ tales que $u+v=8$

Set $x=31u^2,\ y=31v^2$ and count positive integers $u\lt v$ with $u+v=8$

Solución:

Como $\sqrt{x}+\sqrt{y}=8\sqrt{31},$ los dos radicales deben tener la misma parte libre de cuadrados, $31.$ Escribe $x=31u^2$ y $y=31v^2$ para enteros positivos $u,v.$ Entonces $u+v=8,\qquad u\lt v.$ Las posibilidades son $(u,v)=(1,7),$ $(2,6),$ y $(3,5),$ que producen tres pares distintos $(x,y).$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Because $\sqrt{x}+\sqrt{y}=8\sqrt{31},$ the two radicals must have common squarefree part $31.$ Write $x=31u^2$ and $y=31v^2$ for positive integers $u,v.$ Then $u+v=8,\qquad u\lt v.$ The possibilities are $(u,v)=(1,7),$ $(2,6),$ and $(3,5),$ producing three distinct pairs $(x,y).$

Therefore, the correct answer is D.

29.

Halla el mayor valor de $\frac{y}{x}$ entre los pares de números reales $(x,y)$ que satisfacen $(x-3)^2+(y-3)^2=6.$

Find the largest value of $\frac{y}{x}$ for pairs of real numbers $(x,y)$ which satisfy $(x-3)^2+(y-3)^2=6.$

$3+2\sqrt2$

$2+\sqrt3$

$3\sqrt3$

$6$

$6+2\sqrt3$

Respuesta: A

Conceptos:círculo pendiente recta tangente optimización

Nivel de dificultad: 2240

Pista pequeña:

Interpreta $\frac{y}{x}$ como la pendiente de una recta que pasa por el origen

Interpret $\frac{y}{x}$ as the slope of a line through the origin

Pista grande:

En una pendiente extrema, la recta $y=mx$ es tangente al círculo

At an extreme slope, the line $y=mx$ is tangent to the circle

Solución:

El círculo está completamente en la región donde $x\gt0,$ así que $\frac{y}{x}$ es la pendiente $m$ de la recta $y=mx$ que pasa por uno de sus puntos. En un extremo, esta recta es tangente. La distancia del centro $(3,3)$ a $mx-y=0$ debe ser $\sqrt6,$ de modo que $\frac{|3m-3|}{\sqrt{m^2+1}}=\sqrt6.$ Al elevar al cuadrado y simplificar se obtiene $m^2-6m+1=0,$ por lo que $m=3\pm2\sqrt2.$ El valor mayor es $3+2\sqrt2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The circle lies entirely where $x\gt0,$ so $\frac{y}{x}$ is the slope $m$ of the line $y=mx$ through a point on it. At an extreme, this line is tangent. The distance from the center $(3,3)$ to $mx-y=0$ must equal $\sqrt6,$ so $\frac{|3m-3|}{\sqrt{m^2+1}}=\sqrt6.$ Squaring and simplifying gives $m^2-6m+1=0,$ hence $m=3\pm2\sqrt2.$ The larger value is $3+2\sqrt2.$

Therefore, the correct answer is A.

30.

Para cualquier número complejo $w=a+bi,$ se define $|w|$ como el número real $\sqrt{a^2+b^2}.$ Si $w=\cos40^\circ+i\sin40^\circ,$ entonces $|w+2w^2+3w^3+\cdots+9w^9|^{-1}$ es igual a

For any complex number $w=a+bi,$ $|w|$ is defined to be the real number $\sqrt{a^2+b^2}.$ If $w=\cos40^\circ+i\sin40^\circ,$ then $|w+2w^2+3w^3+\cdots+9w^9|^{-1}$ equals

$\frac19\sin40^\circ$

$\frac29\sin20^\circ$

$\frac19\cos40^\circ$

$\frac1{18}\cos20^\circ$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: B

Conceptos:número complejo raíces de la unidad serie aritmético-geométrica

Nivel de dificultad: 2460

Pista pequeña:

Sea $S=w+2w^2+\cdots+9w^9$ y resta $wS$ de $S$

Let $S=w+2w^2+\cdots+9w^9$ and subtract $wS$ from $S$

Pista grande:

Usa $w^9=1$ y $|1-e^{i\theta}|=2\sin(\frac{\theta}{2})$

Use $w^9=1$ and $|1-e^{i\theta}|=2\sin(\frac{\theta}{2})$

Solución:

Sea $S=\sum_{k=1}^9kw^k.$ Como $w^9=1$ y $w^{10}=w,$ $\begin{aligned} (1-w)S &=(w+w^2+\cdots+w^9)\\ &\quad-9w^{10}\\ &=-9w. \end{aligned}$ Por lo tanto, $|S|=\frac{9}{|1-w|},$ porque $|w|=1.$ Así, $|S|^{-1}=\frac{|1-w|}{9} =\frac{2}{9}\sin20^\circ.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $S=\sum_{k=1}^9kw^k.$ Since $w^9=1$ and $w^{10}=w,$ $\begin{aligned} (1-w)S &=(w+w^2+\cdots+w^9)\\ &\quad-9w^{10}\\ &=-9w. \end{aligned}$ Therefore $|S|=\frac{9}{|1-w|},$ because $|w|=1.$ Thus $|S|^{-1}=\frac{|1-w|}{9} =\frac{2}{9}\sin20^\circ.$ Therefore, the correct answer is B.

Problemas del 1984 AMC 12

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1210

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1330

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1770

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1720

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1290

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1290

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1750

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1680

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1750

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 2150

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Pista grande: