Question

Una calculadora tiene una tecla que reemplaza el número mostrado por su cuadrado y otra que lo reemplaza por su recíproco. Sea $y$ el resultado final si se comienza con un número $x\ne0$ y se alternan las operaciones de elevar al cuadrado y tomar el recíproco, cada una $n$ veces. Si se supone que la calculadora es completamente exacta (por ejemplo, sin redondeo ni desbordamiento), entonces $y$ es igual a

A calculator has a key which replaces the displayed entry with its square, and another key which replaces the displayed entry with its reciprocal. Let $y$ be the final result if one starts with an entry $x\ne0$ and alternately squares and reciprocates $n$ times each. Assuming the calculator is completely accurate (e.g., no roundoff or overflow), then $y$ equals

$x^{(-2)^n}$

$x^{2n}$

$x^{-2n}$

$x^{-2^n}$

$x^{(-1)^n2n}$

Respuesta: A

Conceptos:exponente simulación de procesos reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1750

Pista pequeña:

Sigue únicamente el exponente de $x$

Track only the exponent of $x$

Pista grande:

Cada par de operaciones, elevar al cuadrado y luego tomar el recíproco, multiplica el exponente por $-2$

One squaring-reciprocating pair multiplies the exponent by $-2$

Solución:

Escribe el valor mostrado como $x^e.$ Elevar al cuadrado cambia $e$ por $2e,$ y luego tomar el recíproco lo cambia por $-2e.$ A partir de $e=1,$ después de $n$ pares de operaciones el exponente es $(-2)^n.$ Por lo tanto, $y=x^{(-2)^n}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Write the displayed value as $x^e.$ Squaring changes $e$ to $2e,$ and then reciprocating changes it to $-2e.$ Starting from $e=1,$ after $n$ such pairs the exponent is $(-2)^n.$ Thus $y=x^{(-2)^n}.$

Therefore, the correct answer is A.

1984 AMC 12 Problema 11

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1750

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 11 en otros años