Question

El límite de la suma de una progresión geométrica infinita es $\dfrac{a}{1-r},$ donde $a$ representa el primer término y $-1\lt r\lt1$ representa la razón común. El límite de la suma de los cuadrados de sus términos es:

The limit of the sum of an infinite number of terms in a geometric progression is $\dfrac{a}{1-r},$ where $a$ denotes the first term and $-1\lt r\lt1$ denotes the common ratio. The limit of the sum of their squares is:

$\dfrac{a^2}{(1-r)^2}$

$\dfrac{a^2}{1+r^2}$

$\dfrac{a^2}{1-r^2}$

$\dfrac{4a^2}{1+r^2}$

Ninguna de las anteriores

None of these

Respuesta: C

Conceptos:sucesión geométrica

Nivel de dificultad: 1470

Pista pequeña:

Al elevar cada término al cuadrado, también se eleva al cuadrado la razón común

Squaring every term also squares the common ratio

Pista grande:

La serie de los cuadrados comienza con $a^2+a^2r^2+a^2r^4+\cdots$

The squared series begins $a^2+a^2r^2+a^2r^4+\cdots$

Solución:

Los cuadrados de los términos forman una serie geométrica cuyo primer término es $a^2$ y cuya razón es $r^2.$ Como $|r|\lt1,$ su suma es $\frac{a^2}{1-r^2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The squared terms form a geometric series with first term $a^2$ and ratio $r^2.$ Since $|r|\lt1,$ its sum is $\frac{a^2}{1-r^2}.$

Thus, the correct answer is C.

1951 AMC 12 Problema 11

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1470

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 11 en otros años