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2016 AMC 12B Problema 11

Intenta el Problema 11 del 2016 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2016 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

11.

¿Cuántos cuadrados cuyos lados son paralelos a los ejes y cuyos vértices tienen coordenadas enteras están contenidos por completo en la región limitada por la recta y=πx,y=\pi x, la recta y=−0.1,y=-0.1, y la recta x=5.1x=5.1?

How many squares whose sides are parallel to the axes and whose vertices have coordinates that are integers lie entirely within the region bounded by the line y=πx,y=\pi x, the line y=−0.1,y=-0.1, and the line x=5.1?x=5.1?

3030

4141

4545

5050

5757

Respuesta: D
Conceptos:conteo de figuras en diagramaspunto reticularanálisis por casos
Nivel de dificultad: 1630
Pista pequeña:

La región está debajo de y=πx;y=\pi x; observa que 3<π<4,3\lt\pi\lt4, 6<2π<7,6\lt2\pi\lt7, y 9<3π<109\lt3\pi\lt10.

The region sits below y=πx;y=\pi x; note 3<π<4,3\lt\pi\lt4, 6<2π<7,6\lt2\pi\lt7, and 9<3π<109\lt3\pi\lt10

Pista grande:

En cada franja vertical k≤x≤k+1,k\le x\le k+1, cuenta los cuadrados 1×1,1\times1, 2×2,2\times2, y 3×33\times3 que caben debajo de la recta, y luego súmalos.

In each vertical strip k≤x≤k+1,k\le x\le k+1, count the 1×1,1\times1, 2×2,2\times2, and 3×33\times3 squares that fit below the line, then add them up

Solución:

Un cuadrado cuyo borde izquierdo es x=kx=k debe caber bajo el punto más bajo de y=πxy=\pi x a lo largo de su anchura, que es y=πk.y=\pi k. Para lado 1,1, los posibles bordes izquierdos k=1,2,3,4k=1,2,3,4 aportan 3+6+9+12=303+6+9+12=30 cuadrados. Para lado 2,2, los bordes k=1,2,3k=1,2,3 aportan 2+5+8=15,2+5+8=15, y para lado 3,3, los bordes k=1,2k=1,2 aportan 1+4=5.1+4=5. Un cuadrado de lado al menos 44 no cabe, así que el total es 30+15+5=50.30+15+5=50.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

A square whose left edge is x=kx=k must fit below the lowest point of y=πxy=\pi x over its width, namely y=πk.y=\pi k. For side length 1,1, the possible left edges k=1,2,3,4k=1,2,3,4 contribute 3+6+9+12=303+6+9+12=30 squares. For side length 2,2, the left edges k=1,2,3k=1,2,3 contribute 2+5+8=15,2+5+8=15, and for side length 3,3, the left edges k=1,2k=1,2 contribute 1+4=5.1+4=5. A square of side at least 44 cannot fit, so the total is 30+15+5=50.30+15+5=50.

Thus, the correct answer is D.

Problema 10#10
Examen completo
Problema 12#12

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