Question

¿Cuántos cuadrados cuyos lados son paralelos a los ejes y cuyos vértices tienen coordenadas enteras están contenidos por completo en la región limitada por la recta $y=\pi x,$ la recta $y=-0.1,$ y la recta $x=5.1$ ?

How many squares whose sides are parallel to the axes and whose vertices have coordinates that are integers lie entirely within the region bounded by the line $y=\pi x,$ the line $y=-0.1,$ and the line $x=5.1?$

$30$

$41$

$45$

$50$

$57$

Solución:

Un cuadrado unitario en la franja $k\le x\le k+1$ cabe debajo de $y=\pi x$ hasta una altura $\lfloor\pi k\rfloor.$ Contando los cuadrados $1\times1$ en las franjas $1\le x\le5$ se obtiene $3+6+9+12=30.$ Los cuadrados $2\times2$ dan $2+5+8=15,$ y los cuadrados $3\times3$ dan $1+4=5.$ No hay cuadrados más grandes, así que el total es $30+15+5=50.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

A unit square in the strip $k\le x\le k+1$ fits below $y=\pi x$ up to height $\lfloor\pi k\rfloor.$ Counting $1\times1$ squares in the strips $1\le x\le5$ gives $3+6+9+12=30.$ The $2\times2$ squares give $2+5+8=15,$ and the $3\times3$ squares give $1+4=5.$ There are no larger squares, so the total is $30+15+5=50.$

Thus, the correct answer is D.

2016 AMC 12B Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años