Question

Una rana ubicada en $(x, y),$ con $x$ y $y$ enteros, hace saltos sucesivos de longitud $5$ y siempre cae en puntos de coordenadas enteras. Supón que la rana parte de $(0, 0)$ y termina en $(1, 0).$ ¿Cuál es el menor número posible de saltos que hace la rana?

A frog located at $(x, y),$ with both $x$ and $y$ integers, makes successive jumps of length $5$ and always lands on points with integer coordinates. Suppose that the frog starts at $(0, 0)$ and ends at $(1, 0).$ What is the smallest possible number of jumps the frog makes?

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

Solución:

Un salto no funciona, ya que $(0,0)$ y $(1,0)$ distan solo $1$ unidad. Dos saltos también fallan: el punto intermedio estaría a distancia $5$ de ambos, lo que lo obliga a estar sobre la mediatriz $x=\dfrac12,$ que no contiene puntos de coordenadas enteras.

Tres saltos bastan, por ejemplo $(0,0)\to(3,4)\to(6,0)\to(1,0),$ donde cada paso tiene longitud $5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

One jump cannot work, since $(0,0)$ and $(1,0)$ are only $1$ apart. Two jumps also fail: the intermediate point would be at distance $5$ from both, forcing it onto the perpendicular bisector $x=\dfrac12,$ which contains no lattice points.

Three jumps suffice, for example $(0,0)\to(3,4)\to(6,0)\to(1,0),$ where each step has length $5.$

Thus, the correct answer is B.

2011 AMC 12B Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años