Question

Llamamos monótono a un entero positivo si es un número de una cifra o si sus dígitos, leídos de izquierda a derecha, forman una sucesión estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Por ejemplo, $3,$ $23578,$ y $987620$ son monótonos, pero $88,$ $7434,$ y $23557$ no lo son. ¿Cuántos enteros positivos monótonos hay?

Call a positive integer monotonous if it is a one-digit number or its digits, when read from left to right, form either a strictly increasing or a strictly decreasing sequence. For example, $3,$ $23578,$ and $987620$ are monotonous, but $88,$ $7434,$ and $23557$ are not. How many monotonous positive integers are there?

$1024$

$1524$

$1533$

$1536$

$2048$

Respuesta: B

Conceptos:subconjuntos biyección inclusión-exclusión

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Cada subconjunto no vacío de $\{1, 2, \ldots, 9\}$ da exactamente un número estrictamente creciente

Each nonempty subset of $\{1, 2, \ldots, 9\}$ gives exactly one strictly increasing number

Pista grande:

Los números decrecientes corresponden a subconjuntos de $\{0, 1, \ldots, 9\}$ salvo $\varnothing$ y $\{0\};$ los dígitos individuales se cuentan dos veces

Decreasing numbers correspond to subsets of $\{0, 1, \ldots, 9\}$ except $\varnothing$ and $\{0\};$ single digits are counted twice

Solución:

Los números monótonos estrictamente crecientes corresponden a subconjuntos no vacíos de $\{1, \ldots, 9\},$ lo que da $2^9 - 1 = 511.$ Los estrictamente decrecientes corresponden a subconjuntos de $\{0, 1, \ldots, 9\}$ distintos de $\varnothing$ y $\{0\}$ (no se permite un $0$ inicial), lo que da $2^{10} - 2 = 1022.$ Los nueve números de una cifra se cuentan en ambos casos, así que el total es $511 + 1022 - 9 = 1524.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Strictly increasing monotonous numbers correspond to nonempty subsets of $\{1, \ldots, 9\},$ giving $2^9 - 1 = 511.$ Strictly decreasing ones correspond to subsets of $\{0, 1, \ldots, 9\}$ other than $\varnothing$ and $\{0\}$ (a leading $0$ is not allowed), giving $2^{10} - 2 = 1022.$ The nine single-digit numbers are counted in both, so the total is $511 + 1022 - 9 = 1524.$

Thus, the correct answer is B.

2017 AMC 12B Problema 11

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 11 en otros años