Question

El triángulo $ABC$ tiene $AB=13,$ $BC=14,$ y $AC=15.$ Sea $P$ el punto en $\overline{AC}$ tal que $PC=10.$ Hay exactamente dos puntos $D$ y $E$ en la recta $BP$ tales que los cuadriláteros $ABCD$ y $ABCE$ son trapecios. ¿Cuál es la distancia $DE$ ?

Triangle $ABC$ has $AB=13,$ $BC=14,$ and $AC=15.$ Let $P$ be the point on $\overline{AC}$ such that $PC=10.$ There are exactly two points $D$ and $E$ on line $BP$ such that quadrilaterals $ABCD$ and $ABCE$ are trapezoids. What is the distance $DE?$

$\dfrac{42}{5}$

$6\sqrt2$

$\dfrac{84}{5}$

$12\sqrt2$

$18$

Respuesta: D

Conceptos:geometría analítica rectas paralelas trapecio

Nivel de dificultad: 1690

Pista pequeña:

Coloca $A=(0,0),$ $C=(15,0);$ entonces $B=\left(\tfrac{33}{5},\tfrac{56}{5}\right)$ y $P=(5,0)$

Place $A=(0,0),$ $C=(15,0);$ then $B=\left(\tfrac{33}{5},\tfrac{56}{5}\right)$ and $P=(5,0)$

Pista grande:

Un trapecio requiere $CD\parallel AB,$ el otro requiere $AE\parallel BC;$ halla dónde corta cada recta paralela a la recta $BP$

One trapezoid needs $CD\parallel AB,$ the other needs $AE\parallel BC;$ find where each parallel line meets line $BP$

Solución:

Coloca $A=(0,0)$ y $C=(15,0).$ Entonces $B=\left(\tfrac{33}{5},\tfrac{56}{5}\right),$ y como $PC=10,$ $P=(5,0).$ La recta $BP$ tiene pendiente $7,$ así que es $y=7(x-5).$

Para que $ABCD$ sea un trapecio con $D$ en la recta $BP,$ toma $CD\parallel AB.$ La recta por $C$ paralela a $AB$ corta a la recta $BP$ en $(\tfrac95,-\tfrac{112}{5}).$

Para $ABCE$ con $E$ en la recta $BP,$ toma $AE\parallel BC.$ La recta por $A$ paralela a $BC$ corta a la recta $BP$ en $(\tfrac{21}{5},-\tfrac{28}{5}).$

Las diferencias entre sus coordenadas son $\tfrac{12}{5}$ y $\tfrac{84}{5},$ por lo que $DE=\tfrac15\sqrt{12^2+84^2}=12\sqrt2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Place $A=(0,0)$ and $C=(15,0).$ Then $B=\left(\tfrac{33}{5},\tfrac{56}{5}\right),$ and since $PC=10,$ $P=(5,0).$ Line $BP$ has slope $7,$ so it is $y=7(x-5).$

For $ABCD$ to be a trapezoid with $D$ on line $BP,$ take $CD\parallel AB.$ The line through $C$ parallel to $AB$ meets line $BP$ at $(\tfrac95,-\tfrac{112}{5}).$

For $ABCE$ with $E$ on line $BP,$ take $AE\parallel BC.$ The line through $A$ parallel to $BC$ meets line $BP$ at $(\tfrac{21}{5},-\tfrac{28}{5}).$

Their coordinate differences are $\tfrac{12}{5}$ and $\tfrac{84}{5},$ so $DE=\tfrac15\sqrt{12^2+84^2}=12\sqrt2.$

Thus, the correct answer is D.

2021 AMC 12B Spring Problema 11

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1690

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 11 en otros años