Question

El triángulo $ABC$ tiene $AB=13, BC=14,$ y $AC=15.$ Sea $P$ el punto en $\overline{AC}$ tal que $PC=10.$ Hay exactamente dos puntos $D$ y $E$ en la recta $BP$ tales que los cuadriláteros $ABCD$ y $ABCE$ son trapecios. ¿Cuál es la distancia $DE$ ?

Triangle $ABC$ has $AB=13, BC=14,$ and $AC=15.$ Let $P$ be the point on $\overline{AC}$ such that $PC=10.$ There are exactly two points $D$ and $E$ on line $BP$ such that quadrilaterals $ABCD$ and $ABCE$ are trapezoids. What is the distance $DE?$

$\dfrac{42}{5}$

$6\sqrt2$

$\dfrac{84}{5}$

$12\sqrt2$

$18$

Solución:

Coloca $A=(0,0)$ y $C=(15,0).$ Entonces $B=\left(\tfrac{33}{5},\tfrac{56}{5}\right),$ y como $PC=10,$ $P=(5,0).$ La recta $BP$ tiene pendiente $7,$ así que es $y=7(x-5).$

Para que $ABCD$ sea un trapecio con $D$ en la recta $BP,$ toma $CD\parallel AB.$ La recta por $C$ paralela a $AB$ corta a la recta $BP$ en $(1.8,-22.4).$

Para $ABCE$ con $E$ en la recta $BP,$ toma $AE\parallel BC.$ La recta por $A$ paralela a $BC$ corta a la recta $BP$ en $(4.2,-5.6).$

La distancia es $\sqrt{(4.2-1.8)^2+(-5.6+22.4)^2}$ $=\sqrt{2.4^2+16.8^2}$ $=\sqrt{288}=12\sqrt2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Place $A=(0,0)$ and $C=(15,0).$ Then $B=\left(\tfrac{33}{5},\tfrac{56}{5}\right),$ and since $PC=10,$ $P=(5,0).$ Line $BP$ has slope $7,$ so it is $y=7(x-5).$

For $ABCD$ to be a trapezoid with $D$ on line $BP,$ take $CD\parallel AB.$ The line through $C$ parallel to $AB$ meets line $BP$ at $(1.8,-22.4).$

For $ABCE$ with $E$ on line $BP,$ take $AE\parallel BC.$ The line through $A$ parallel to $BC$ meets line $BP$ at $(4.2,-5.6).$

The distance is $\sqrt{(4.2-1.8)^2+(-5.6+22.4)^2}$ $=\sqrt{2.4^2+16.8^2}$ $=\sqrt{288}=12\sqrt2.$

Thus, the correct answer is D.

2021 AMC 12B Spring Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años