Question

Para cierto entero positivo $k,$ la representación periódica en base $k$ de la fracción (en base diez) $\dfrac{7}{51}$ es $0.\overline{23}_k = 0.232323\ldots_k.$ ¿Cuánto vale $k$ ?

For some positive integer $k,$ the repeating base- $k$ representation of the (base-ten) fraction $\dfrac{7}{51}$ is $0.\overline{23}_k = 0.232323\ldots_k.$ What is $k?$

$13$

$14$

$15$

$16$

$17$

Solución:

El bloque periódico da $0.\overline{23}_k = \dfrac{2k + 3}{k^2 - 1} = \dfrac{7}{51}.$

Multiplicando en cruz, $51(2k + 3) = 7(k^2 - 1),$ así que $7k^2 - 102k - 160 = 0.$

La fórmula cuadrática da $\begin{aligned} k &= \dfrac{102 + \sqrt{14884}}{14} \\ &= \dfrac{102 + 122}{14} = 16. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The repeating block gives $0.\overline{23}_k = \dfrac{2k + 3}{k^2 - 1} = \dfrac{7}{51}.$

Cross-multiplying, $51(2k + 3) = 7(k^2 - 1),$ so $7k^2 - 102k - 160 = 0.$

The quadratic formula gives $\begin{aligned} k &= \dfrac{102 + \sqrt{14884}}{14} \\ &= \dfrac{102 + 122}{14} = 16. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is D.

2019 AMC 12A Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años