Question

Todos los estudiantes de una clase de álgebra hicieron un examen de $100$ puntos. Cinco estudiantes obtuvieron $100,$ cada estudiante obtuvo al menos $60,$ y la nota media fue $76.$ ¿Cuál es el menor número posible de estudiantes en la clase?

All the students in an algebra class took a $100$ -point test. Five students scored $100,$ each student scored at least $60,$ and the mean score was $76.$ What is the smallest possible number of students in the class?

$10$

$11$

$12$

$13$

$14$

Respuesta: D

Conceptos:media acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1440

Pista pequeña:

Mide cada nota como su desviación respecto de la media $76$ .

Measure each score as its deviation from the mean $76$

Pista grande:

Los cinco $100$ están $120$ puntos por encima de la media; cada uno de los demás estudiantes está a lo sumo $16$ por debajo de ella.

The five $100$ s are $120$ points above the mean; each other student is at most $16$ below it

Solución:

Cada nota de $100$ está $24$ por encima de la media, así que las cinco aportan $120$ puntos por encima de $76.$ Estos deben compensarse con puntos por debajo de la media, y cada estudiante restante está a lo sumo $76 - 60 = 16$ por debajo. Entonces se necesitan al menos $\dfrac{120}{16} = 7.5,$ es decir, $8$ estudiantes más, para un total de $13.$ Cinco $100$ y ocho $61$ logran esto.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Each score of $100$ is $24$ above the mean, so the five contribute $120$ points above $76.$ These must be balanced by points below the mean, and each remaining student is at most $76 - 60 = 16$ below. So at least $\dfrac{120}{16} = 7.5,$ hence $8$ more students are needed, for a total of $13.$ Five $100$ s and eight $61$ s achieve this.

Thus, the correct answer is D.

2004 AMC 12B Problema 11

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1440

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 11 en otros años