Question

Hay exactamente $K$ enteros positivos $b$ con $5\le b\le2024$ tales que el entero $2024_b$ en base $b$ es divisible por $16$ (donde $16$ está en base diez). ¿Cuál es la suma de las cifras de $K$ ?

There are exactly $K$ positive integers $b$ with $5\le b\le2024$ such that the base- $b$ integer $2024_b$ is divisible by $16$ (where $16$ is in base ten). What is the sum of the digits of $K?$

$16$

$17$

$18$

$20$

$21$

Solución:

Aquí $2024_b=2b^3+2b+4$ $=2(b^3+b+2),$ así que $16\mid2024_b$ exactamente cuando $8\mid b^3+b+2.$ Revisando los residuos $\bmod 8,$ $b^3+b+2\equiv0$ precisamente para $b\equiv3,6,7\pmod8.$

Contando los $b$ en $[5,2024]:$ el residuo $3$ da $11,\ldots,2019$ ( $252$ valores), el residuo $6$ da $6,\ldots,2022$ ( $253$ valores), y el residuo $7$ da $7,\ldots,2023$ ( $253$ valores). Así que $K=252+253+253=758,$ y su suma de cifras es $7+5+8=20.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Here $2024_b=2b^3+2b+4$ $=2(b^3+b+2),$ so $16\mid2024_b$ exactly when $8\mid b^3+b+2.$ Checking residues $\bmod 8,$ $b^3+b+2\equiv0$ precisely for $b\equiv3,6,7\pmod8.$

Counting $b$ in $[5,2024]:$ residue $3$ gives $11,\ldots,2019$ ( $252$ values), residue $6$ gives $6,\ldots,2022$ ( $253$ values), and residue $7$ gives $7,\ldots,2023$ ( $253$ values). So $K=252+253+253=758,$ and its digit sum is $7+5+8=20.$

Thus, the correct answer is D.

2024 AMC 12A Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años