Question

¿Cuál es el producto de todos los números reales $x$ tales que la distancia en la recta numérica entre $\log_6 x$ y $\log_6 9$ es el doble de la distancia en la recta numérica entre $\log_6 10$ y $1$ ?

What is the product of all real numbers $x$ such that the distance on the number line between $\log_6 x$ and $\log_6 9$ is twice the distance on the number line between $\log_6 10$ and $1?$

$10$

$18$

$25$

$36$

$81$

Solución:

La distancia del lado derecho es $|\log_6 10-1|=\log_6\dfrac53,$ así que su doble es $2\log_6\dfrac53=\log_6\dfrac{25}{9}.$

Por lo tanto $\left|\log_6\dfrac{x}{9}\right|=\log_6\dfrac{25}{9},$ lo que da $\dfrac{x}{9}=\dfrac{25}{9}$ o $\dfrac{x}{9}=\dfrac{9}{25},$ así que $x=25$ o $x=\dfrac{81}{25}.$

Su producto es $25\cdot\dfrac{81}{25}=81.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The right-hand distance is $|\log_6 10-1|=\log_6\dfrac53,$ so twice it is $2\log_6\dfrac53=\log_6\dfrac{25}{9}.$

Thus $\left|\log_6\dfrac{x}{9}\right|=\log_6\dfrac{25}{9},$ giving $\dfrac{x}{9}=\dfrac{25}{9}$ or $\dfrac{x}{9}=\dfrac{9}{25},$ so $x=25$ or $x=\dfrac{81}{25}.$

Their product is $25\cdot\dfrac{81}{25}=81.$

Thus, the correct answer is E.

2022 AMC 12A Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años