Question

En la ecuación de abajo, $A$ y $B$ son enteros positivos consecutivos, y $A,$ $B,$ y $A + B$ representan bases numéricas: $132_A + 43_B = 69_{A+B}.$ ¿Cuánto vale $A + B$ ?

In the equation below, $A$ and $B$ are consecutive positive integers, and $A,$ $B,$ and $A + B$ represent number bases: $132_A + 43_B = 69_{A+B}.$ What is $A + B?$

$9$

$11$

$13$

$15$

$17$

Respuesta: C

Conceptos:base numérica cuadrática

Nivel de dificultad: 1560

Pista pequeña:

Reescribe cada numeral en términos de su base, por ejemplo $132_A = A^2+3A+2$

Rewrite each numeral in terms of its base, e.g. $132_A = A^2+3A+2$

Pista grande:

Prueba tanto $B=A-1$ como $B=A+1$ y resuelve la ecuación cuadrática resultante en $A$

Try both $B=A-1$ and $B=A+1$ and solve the resulting quadratic in $A$

Solución:

Escribiendo los numerales, $132_A=A^2+3A+2,$ $43_B=4B+3,$ y $69_{A+B}=6(A+B)+9.$

Con $B=A+1,$ la ecuación se convierte en $A^2+3A+2$ $+4(A+1)+3$ $=6(2A+1)+9,$ que se simplifica a $(A-6)(A+1)=0.$ La solución positiva es $A=6,$ así que $B=7.$

(El caso $B=A-1$ da $A^2-5A-2=0,$ que no tiene solución entera.)

Por lo tanto $A+B=13.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Writing the numerals out, $132_A=A^2+3A+2,$ $43_B=4B+3,$ and $69_{A+B}=6(A+B)+9.$

With $B=A+1,$ the equation becomes $A^2+3A+2$ $+4(A+1)+3$ $=6(2A+1)+9,$ which simplifies to $(A-6)(A+1)=0.$ The positive solution is $A=6,$ so $B=7.$

(The case $B=A-1$ gives $A^2-5A-2=0,$ which has no integer solution.)

Therefore $A+B=13.$

Thus, the correct answer is C.

2012 AMC 12B Problema 11

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1560

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 11 en otros años