Question

Se elige al azar un palíndromo entre $1000$ y $10{,}000$ . ¿Cuál es la probabilidad de que sea divisible por $7$ ?

A palindrome between $1000$ and $10{,}000$ is chosen at random. What is the probability that it is divisible by $7?$

$\dfrac{1}{10}$

$\dfrac{1}{9}$

$\dfrac{1}{7}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{5}$

Solución:

Un palíndromo de cuatro dígitos tiene la forma $\overline{abba}=1001a+110b$ con $1\le a\le9$ y $0\le b\le9.$

Como $1001=7\cdot11\cdot13$ es divisible por $7$ y $110$ no lo es, el número es divisible por $7$ exactamente cuando $7\mid b,$ es decir $b=0$ o $b=7.$

Para cada $a,$ eso son $2$ de las $10$ opciones de $b,$ una probabilidad de $\dfrac{2}{10}=\dfrac15.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

A four-digit palindrome has the form $\overline{abba}=1001a+110b$ with $1\le a\le9$ and $0\le b\le9.$

Since $1001=7\cdot11\cdot13$ is divisible by $7$ and $110$ is not, the number is divisible by $7$ exactly when $7\mid b,$ that is $b=0$ or $b=7.$

For each $a,$ that is $2$ of the $10$ choices of $b,$ a probability of $\dfrac{2}{10}=\dfrac15.$

Thus, the correct answer is E.

2010 AMC 12B Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años