Soluciones del 2010 AMC 12B | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Makayla asistió a dos reuniones durante su jornada laboral de $9$ horas. La primera reunión duró $45$ minutos y la segunda duró el doble. ¿Qué porcentaje de su jornada laboral pasó asistiendo a reuniones?

Makayla attended two meetings during her $9$ -hour work day. The first meeting took $45$ minutes and the second meeting took twice as long. What percent of her work day was spent attending meetings?

$15$

$20$

$25$

$30$

$35$

Conceptos:porcentaje conversión de unidades

Nivel de dificultad: 800

Solución:

Las dos reuniones duraron $45+90=135$ minutos, y la jornada laboral es de $9\cdot60=540$ minutos.

La fracción del día dedicada a reuniones es $\frac{135}{540}=\frac14=25\%.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The two meetings lasted $45+90=135$ minutes, and the work day is $9\cdot60=540$ minutes.

The fraction of the day spent in meetings is $\frac{135}{540}=\frac14=25\%.$

Thus, the correct answer is C.

2.

Se forma una gran L como se muestra. ¿Cuál es su área?

A big L is formed as shown. What is its area?

$22$

$24$

$26$

$28$

$30$

Conceptos:descomposición de áreas rectángulo

Nivel de dificultad: 880

Solución:

La región se divide en un rectángulo vertical de $8\times2$ y un pie horizontal de $2\times3$ , cuyo ancho es $5-2=3.$

El área total es $8\cdot2+3\cdot2=16+6=22.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The region splits into an $8\times2$ vertical rectangle and a $2\times3$ horizontal foot, whose width is $5-2=3.$

The total area is $8\cdot2+3\cdot2=16+6=22.$

Thus, the correct answer is A.

3.

Una entrada para una obra escolar cuesta $x$ dólares, donde $x$ es un número entero. Un grupo de estudiantes de $9$ º grado compra entradas por un total de $\$48$ , y un grupo de estudiantes de $10$ º grado compra entradas por un total de $\$64$ . ¿Cuántos valores son posibles para $x$ ?

A ticket to a school play costs $x$ dollars, where $x$ is a whole number. A group of $9$ th graders buys tickets costing a total of $\$48$ , and a group of $10$ th graders buys tickets costing a total of $\$64$ . How many values for $x$ are possible?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Conceptos:máximo común divisor conteo de factores

Nivel de dificultad: 1010

Solución:

El precio $x$ debe dividir ambos totales, así que $x$ es un divisor común de $48$ y $64.$

Como $\gcd(48,64)=16,$ los divisores comunes son $1, 2, 4, 8,$ y $16.$ Hay $5$ valores posibles.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The price $x$ must divide both totals, so $x$ is a common divisor of $48$ and $64.$

Since $\gcd(48,64)=16,$ the common divisors are $1, 2, 4, 8,$ and $16.$ There are $5$ possible values.

Thus, the correct answer is E.

4.

Un mes con $31$ días tiene el mismo número de lunes y miércoles. ¿Cuántos de los siete días de la semana podrían ser el primer día de este mes?

A month with $31$ days has the same number of Mondays and Wednesdays. How many of the seven days of the week could be the first day of this month?

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

Conceptos:fecha y hora análisis por casos

Nivel de dificultad: 1240

Solución:

Como $31=4\cdot7+3,$ los primeros tres días del mes ocurren cinco veces cada uno, y los otros cuatro días ocurren cuatro veces.

Los lunes y los miércoles son iguales en número exactamente cuando ambos caen en el grupo de cinco veces o ambos caen en el grupo de cuatro veces.

Si el primer día es lunes, los días de cinco veces son lunes, martes y miércoles (ambos aparecen cinco veces). Si el primer día es jueves o viernes, los días de cinco veces no incluyen ni al lunes ni al miércoles (ambos aparecen cuatro veces). Cualquier otro día de inicio incluye exactamente uno de lunes o miércoles.

Así que el primer día puede ser lunes, jueves o viernes, dando $3$ posibilidades.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since $31=4\cdot7+3,$ the first three days of the month each occur five times, and the other four days occur four times.

Mondays and Wednesdays are equal in number exactly when both fall in the five-time group or both fall in the four-time group.

If the first day is Monday, the five-time days are Mon, Tue, Wed (both appear five times). If the first day is Thursday or Friday, the five-time days miss both Monday and Wednesday (both appear four times). Every other starting day includes exactly one of Monday or Wednesday.

So the first day can be Monday, Thursday, or Friday, giving $3$ possibilities.

Thus, the correct answer is B.

5.

La maestra del afortunado Larry le pidió sustituir números por $a$ , $b$ , $c$ , $d$ y $e$ en la expresión $a-(b-(c-(d+e)))$ y evaluar el resultado. Larry ignoró los paréntesis pero sumó y restó correctamente, y obtuvo por coincidencia el resultado correcto. Los números que Larry sustituyó por $a$ , $b$ , $c$ y $d$ fueron $1$ , $2$ , $3$ y $4$ , respectivamente. ¿Qué número sustituyó Larry por $e$ ?

Lucky Larry's teacher asked him to substitute numbers for $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , and $e$ in the expression $a-(b-(c-(d+e)))$ and evaluate the result. Larry ignored the parentheses but added and subtracted correctly and obtained the correct result by coincidence. The numbers Larry substituted for $a$ , $b$ , $c$ , and $d$ were $1$ , $2$ , $3$ , and $4$ , respectively. What number did Larry substitute for $e$ ?

$-5$

$-3$

$0$

$3$

$5$

Conceptos:orden de las operaciones ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1100

Solución:

El valor correcto es $a-(b-(c-(d+e)))=$ $a-b+c-d-e.$ Con $a, b, c, d=1, 2, 3, 4,$ esto es igual a $1-2+3-4-e=-2-e.$

Larry omitió los paréntesis y calculó $1-2-3-4+e=-8+e.$

Igualando $-2-e=-8+e$ se obtiene $2e=6,$ así que $e=3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The correct value is $a-(b-(c-(d+e)))=$ $a-b+c-d-e.$ With $a, b, c, d=1, 2, 3, 4,$ this equals $1-2+3-4-e=-2-e.$

Larry dropped the parentheses and computed $1-2-3-4+e=-8+e.$

Setting $-2-e=-8+e$ gives $2e=6,$ so $e=3.$

Thus, the correct answer is D.

6.

Al comienzo del año escolar, $50\%$ de todos los estudiantes en la clase de matemáticas del Sr. Wells respondieron "Sí" a la pregunta "¿Amas las matemáticas?", y $50\%$ respondieron "No". Al final del año escolar, $70\%$ respondieron "Sí" y $30\%$ respondieron "No". En total, $x\%$ de los estudiantes dieron una respuesta diferente al comienzo y al final del año escolar. ¿Cuál es la diferencia entre los valores máximo y mínimo posibles de $x$ ?

At the beginning of the school year, $50\%$ of all students in Mr. Wells' math class answered "Yes" to the question "Do you love math", and $50\%$ answered "No." At the end of the school year, $70\%$ answered "Yes" and $30\%$ answered "No." Altogether, $x\%$ of the students gave a different answer at the beginning and end of the school year. What is the difference between the maximum and the minimum possible values of $x?$

$0$

$20$

$40$

$60$

$80$

Conceptos:porcentaje argumento extremal

Nivel de dificultad: 1410

Solución:

Supón $100$ estudiantes. El número de respuestas "Sí" sube de $50$ a $70,$ así que al menos $70-50=20$ estudiantes cambiaron de "No" a "Sí"; por lo tanto $x\ge20.$

Como solo $30$ estudiantes responden "No" al final, al menos $50-30=20$ de los estudiantes que originalmente respondieron "Sí" siguen respondiendo "Sí", así que a lo sumo $80$ estudiantes cambiaron; por lo tanto $x\le80.$

Ambos extremos son alcanzables, así que la diferencia es $80-20=60.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Assume $100$ students. The number of "Yes" answers rises from $50$ to $70,$ so at least $70-50=20$ students switched from "No" to "Yes"; thus $x\ge20.$

Since only $30$ students answer "No" at the end, at least $50-30=20$ of the original "Yes" students still answer "Yes," so at most $80$ students switched; thus $x\le80.$

Both extremes are achievable, so the difference is $80-20=60.$

Thus, the correct answer is D.

7.

Shelby conduce su scooter a una velocidad de $30$ millas por hora si no llueve, y $20$ millas por hora si llueve. Hoy condujo bajo el sol por la mañana y bajo la lluvia por la tarde, para un total de $16$ millas en $40$ minutos. ¿Cuántos minutos condujo bajo la lluvia?

Shelby drives her scooter at a speed of $30$ miles per hour if it is not raining, and $20$ miles per hour if it is raining. Today she drove in the sun in the morning and in the rain in the evening, for a total of $16$ miles in $40$ minutes. How many minutes did she drive in the rain?

$18$

$21$

$24$

$27$

$30$

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1240

Solución:

Sea $t$ el número de minutos conducidos bajo la lluvia. Recorre $20\cdot\frac{t}{60}$ millas bajo la lluvia y $30\cdot\frac{40-t}{60}$ millas bajo el sol.

Al fijar el total en $16$ se obtiene $\frac{20t+30(40-t)}{60}=16,$ así que $1200-10t=960$ y $t=24.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $t$ be the number of minutes driven in the rain. She covers $20\cdot\frac{t}{60}$ miles in the rain and $30\cdot\frac{40-t}{60}$ miles in the sun.

Setting the total to $16$ gives $\frac{20t+30(40-t)}{60}=16,$ so $1200-10t=960$ and $t=24.$

Thus, the correct answer is C.

8.

Cada escuela secundaria de la ciudad de Euclid envió un equipo de $3$ estudiantes a un concurso de matemáticas. Cada participante en el concurso recibió una puntuación diferente. La puntuación de Andrea fue la mediana entre todos los estudiantes, y la suya fue la puntuación más alta de su equipo. Las compañeras de equipo de Andrea, Beth y Carla, quedaron en los puestos $37$ y $64$ , respectivamente. ¿Cuántas escuelas hay en la ciudad?

Every high school in the city of Euclid sent a team of $3$ students to a math contest. Each participant in the contest received a different score. Andrea's score was the median among all students, and hers was the highest score on her team. Andrea's teammates Beth and Carla placed $37$ th and $64$ th, respectively. How many schools are in the city?

$22$

$23$

$24$

$25$

$26$

Conceptos:mediana (datos)paridad desigualdad

Nivel de dificultad: 1490

Solución:

Con $n$ escuelas hay $3n$ estudiantes. Carla quedó en el puesto $64$ , así que $3n\ge64$ y $n\ge22.$

Las puntuaciones son distintas y Andrea es la mediana, así que $3n$ es impar, lo que fuerza $n$ impar y $n\ge23.$

La posición de Andrea es $\dfrac{3n+1}{2},$ y ella superó a Beth (puesto $37$ ), así que $\dfrac{3n+1}{2}\lt37,$ lo que da $3n\lt73$ y $n\le24.$ El único valor impar es $n=23.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

With $n$ schools there are $3n$ students. Carla placed $64$ th, so $3n\ge64$ and $n\ge22.$

The scores are distinct and Andrea is the median, so $3n$ is odd, forcing $n$ odd and $n\ge23.$

Andrea's position is $\dfrac{3n+1}{2},$ and she beat Beth ( $37$ th), so $\dfrac{3n+1}{2}\lt37,$ giving $3n\lt73$ and $n\le24.$ The only odd value is $n=23.$

Thus, the correct answer is B.

9.

Sea $n$ el menor entero positivo tal que $n$ es divisible por $20,$ $n^2$ es un cubo perfecto, y $n^3$ es un cuadrado perfecto. ¿Cuántos dígitos tiene $n$ ?

Let $n$ be the smallest positive integer such that $n$ is divisible by $20,$ $n^2$ is a perfect cube, and $n^3$ is a perfect square. What is the number of digits of $n?$

$3$

$4$

$5$

$6$

$7$

Conceptos:factorización en primos potencia perfecta mínimo común múltiplo

Nivel de dificultad: 1520

Solución:

Para ser el menor, $n$ usa solo los primos de $20,$ así que $n=2^a\cdot5^b$ con $a\ge2$ y $b\ge1.$

Como $n^2=2^{2a}5^{2b}$ es un cubo perfecto, $3\mid a$ y $3\mid b.$ Como $n^3=2^{3a}5^{3b}$ es un cuadrado perfecto, $2\mid a$ y $2\mid b.$ Por lo tanto $6\mid a$ y $6\mid b.$

La menor elección es $a=b=6,$ así que $n=2^6\cdot5^6=10^6=1{,}000{,}000,$ que tiene $7$ dígitos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

To be smallest, $n$ uses only the primes of $20,$ so $n=2^a\cdot5^b$ with $a\ge2$ and $b\ge1.$

Since $n^2=2^{2a}5^{2b}$ is a perfect cube, $3\mid a$ and $3\mid b.$ Since $n^3=2^{3a}5^{3b}$ is a perfect square, $2\mid a$ and $2\mid b.$ Hence $6\mid a$ and $6\mid b.$

The smallest choice is $a=b=6,$ so $n=2^6\cdot5^6=10^6=1{,}000{,}000,$ which has $7$ digits.

Thus, the correct answer is E.

10.

El promedio de los números $1, 2, 3, \ldots, 98, 99,$ y $x$ es $100x.$ ¿Cuánto vale $x$ ?

The average of the numbers $1, 2, 3, \ldots, 98, 99,$ and $x$ is $100x.$ What is $x?$

$\dfrac{49}{101}$

$\dfrac{50}{101}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{51}{101}$

$\dfrac{50}{99}$

Conceptos:media sumatoria ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1410

Solución:

Los números del $1$ al $99$ suman $\dfrac{99\cdot100}{2}=4950.$

La condición del promedio es $\frac{4950+x}{100}=100x,$ así que $4950+x=10000x$ y $9999x=4950.$

Por lo tanto $x=\dfrac{4950}{9999}=\dfrac{50}{101}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The numbers $1$ through $99$ sum to $\dfrac{99\cdot100}{2}=4950.$

The average condition is $\frac{4950+x}{100}=100x,$ so $4950+x=10000x$ and $9999x=4950.$

Thus $x=\dfrac{4950}{9999}=\dfrac{50}{101}.$

Thus, the correct answer is B.

11.

Se elige al azar un palíndromo entre $1000$ y $10{,}000$ . ¿Cuál es la probabilidad de que sea divisible por $7$ ?

A palindrome between $1000$ and $10{,}000$ is chosen at random. What is the probability that it is divisible by $7?$

$\dfrac{1}{10}$

$\dfrac{1}{9}$

$\dfrac{1}{7}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{5}$

Conceptos:palíndromo divisibilidad probabilidad básica

Nivel de dificultad: 1500

Solución:

Un palíndromo de cuatro dígitos tiene la forma $\overline{abba}=1001a+110b$ con $1\le a\le9$ y $0\le b\le9.$

Como $1001=7\cdot11\cdot13$ es divisible por $7$ y $110$ no lo es, el número es divisible por $7$ exactamente cuando $7\mid b,$ es decir $b=0$ o $b=7.$

Para cada $a,$ eso son $2$ de las $10$ opciones de $b,$ una probabilidad de $\dfrac{2}{10}=\dfrac15.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

A four-digit palindrome has the form $\overline{abba}=1001a+110b$ with $1\le a\le9$ and $0\le b\le9.$

Since $1001=7\cdot11\cdot13$ is divisible by $7$ and $110$ is not, the number is divisible by $7$ exactly when $7\mid b,$ that is $b=0$ or $b=7.$

For each $a,$ that is $2$ of the $10$ choices of $b,$ a probability of $\dfrac{2}{10}=\dfrac15.$

Thus, the correct answer is E.

12.

¿Para qué valor de $x$ se cumple $\begin{aligned} &\log_{\sqrt2}\sqrt{x}+\log_2 x \\ &\quad {}+\log_4\left(x^2\right)+\log_8\left(x^3\right) \\ &\quad {}+\log_{16}\left(x^4\right)=40? \end{aligned}$

For what value of $x$ does $\begin{aligned} &\log_{\sqrt2}\sqrt{x}+\log_2 x \\ &\quad {}+\log_4\left(x^2\right)+\log_8\left(x^3\right) \\ &\quad {}+\log_{16}\left(x^4\right)=40? \end{aligned}$

$8$

$16$

$32$

$256$

$1024$

Conceptos:logaritmo

Nivel de dificultad: 1500

Solución:

Sea $L=\log_2 x.$ Convirtiendo cada término a base $2:$

$\log_{\sqrt2}\sqrt{x}=\dfrac{L/2}{1/2}=L,$ $\log_2 x=L,$ $\log_4 x^2=\dfrac{2L}{2}=L,$ $\log_8 x^3=\dfrac{3L}{3}=L,$ y $\log_{16}x^4=\dfrac{4L}{4}=L.$

La ecuación se convierte en $5L=40,$ así que $L=8$ y $x=2^8=256.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $L=\log_2 x.$ Converting each term to base $2:$

$\log_{\sqrt2}\sqrt{x}=\dfrac{L/2}{1/2}=L,$ $\log_2 x=L,$ $\log_4 x^2=\dfrac{2L}{2}=L,$ $\log_8 x^3=\dfrac{3L}{3}=L,$ and $\log_{16}x^4=\dfrac{4L}{4}=L.$

The equation becomes $5L=40,$ so $L=8$ and $x=2^8=256.$

Thus, the correct answer is D.

13.

En $\triangle ABC,$ $\cos(2A-B)+\sin(A+B)=2$ y $AB=4.$ ¿Cuánto vale $BC$ ?

In $\triangle ABC,$ $\cos(2A-B)+\sin(A+B)=2$ and $AB=4.$ What is $BC?$

$\sqrt{2}$

$\sqrt{3}$

$2$

$2\sqrt{2}$

$2\sqrt{3}$

Conceptos:trigonometría triángulo rectángulo especial acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1560

Solución:

Un coseno más un seno es igual a $2$ solo cuando cada uno es igual a $1.$ Así que $\cos(2A-B)=1$ y $\sin(A+B)=1,$ dando $2A-B=0^\circ$ y $A+B=90^\circ.$

Resolviendo, $A=30^\circ$ y $B=60^\circ,$ así que $\triangle ABC$ es un triángulo rectángulo $30\text{-}60\text{-}90$ con el ángulo recto en $C.$

Con hipotenusa $AB=4,$ el lado $BC$ opuesto al ángulo $30^\circ$ es la mitad de la hipotenusa, así que $BC=2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

A cosine plus a sine equals $2$ only when each equals $1.$ So $\cos(2A-B)=1$ and $\sin(A+B)=1,$ giving $2A-B=0^\circ$ and $A+B=90^\circ.$

Solving, $A=30^\circ$ and $B=60^\circ,$ so $\triangle ABC$ is a $30\text{-}60\text{-}90$ right triangle with the right angle at $C.$

With hypotenuse $AB=4,$ the side $BC$ opposite the $30^\circ$ angle is half the hypotenuse, so $BC=2.$

Thus, the correct answer is C.

14.

Sean $a$ , $b$ , $c$ , $d$ y $e$ enteros positivos con $a+b+c+d+e=2010$ , y sea $M$ el mayor de las sumas $a+b$ , $b+c$ , $c+d$ y $d+e$ . ¿Cuál es el menor valor posible de $M$ ?

Let $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , and $e$ be positive integers with $a+b+c+d+e=2010$ , and let $M$ be the largest of the sums $a+b$ , $b+c$ , $c+d$ , and $d+e$ . What is the smallest possible value of $M$ ?

$670$

$671$

$802$

$803$

$804$

Conceptos:optimización desigualdad argumento extremal

Nivel de dificultad: 1670

Solución:

Cada uno de $a+b,$ $d+e,$ y $c$ es a lo sumo $M$ (nota que $c\le c+d\le M$ ). Sumando, $2010=(a+b)+c+(d+e)$ $\le3M,$ así que $M\ge670.$

Si $M=670,$ entonces $c=670,$ pero entonces $b+c\ge671\gt M,$ una contradicción. Por lo tanto $M\ge671.$

El valor $671$ se alcanza con $(a,b,c,d,e)=$ $(669,1,670,1,669),$ cuyas sumas de pares consecutivos son $670,671,671,670.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Each of $a+b,$ $d+e,$ and $c$ is at most $M$ (note $c\le c+d\le M$ ). Adding, $2010=(a+b)+c+(d+e)$ $\le3M,$ so $M\ge670.$

If $M=670,$ then $c=670,$ but then $b+c\ge671\gt M,$ a contradiction. Hence $M\ge671.$

The value $671$ is reached by $(a,b,c,d,e)=$ $(669,1,670,1,669),$ whose consecutive-pair sums are $670,671,671,670.$

Thus, the correct answer is B.

15.

¿Para cuántas ternas ordenadas $(x, y, z)$ de enteros no negativos menores que $20$ hay exactamente dos elementos distintos en el conjunto $\{i^x, (1+i)^y, z\},$ donde $i=\sqrt{-1}$ ?

For how many ordered triples $(x, y, z)$ of nonnegative integers less than $20$ are there exactly two distinct elements in the set $\{i^x, (1+i)^y, z\},$ where $i=\sqrt{-1}?$

$149$

$205$

$215$

$225$

$235$

Conceptos:número complejo análisis por casos conteo básico

Nivel de dificultad: 2070

Solución:

Necesitamos que exactamente dos de $i^x,$ $(1+i)^y,$ $z$ sean iguales, con el tercero diferente. Los tres casos son los tres posibles pares iguales.

Caso $i^x=(1+i)^y:$ como $|i^x|=1$ pero $|(1+i)^y|=2^{y/2}\gt1$ para $y\ge1,$ necesitamos $y=0,$ así que $(1+i)^0=1$ y $i^x=1,$ es decir $x\in\{0,4,8,12,16\}.$ Entonces $z$ es cualquiera de los $19$ valores distintos de $1.$ Esto da $5\cdot19=95$ ternas.

Caso $i^x=z:$ el único valor entero no negativo de $i^x$ es $1$ (con $x$ múltiplo de $4$ ), así que $z=1$ y $(1+i)^y\ne1,$ lo que significa $y\ge1.$ Esto da $5\cdot19=95$ ternas.

Caso $(1+i)^y=z:$ como $(1+i)^2=2i,$ la potencia $(1+i)^y$ es un entero no negativo menor que $20$ solo para $y=0$ (valor $1$ ) o $y=8$ (valor $16$ ). Si $y=0,\ z=1,$ necesitamos $i^x\ne1,$ así que $x$ no es múltiplo de $4$ ( $15$ valores). Si $y=8,\ z=16,$ entonces $i^x$ nunca es $16,$ así que $x$ es libre ( $20$ valores). Esto da $15+20=35$ ternas.

En total $95+95+35=225.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

We need exactly two of $i^x,$ $(1+i)^y,$ $z$ equal, with the third different. The three cases are the three possible equal pairs.

Case $i^x=(1+i)^y:$ since $|i^x|=1$ but $|(1+i)^y|=2^{y/2}\gt1$ for $y\ge1,$ we need $y=0,$ so $(1+i)^0=1$ and $i^x=1,$ i.e. $x\in\{0,4,8,12,16\}.$ Then $z$ is any of the $19$ values other than $1.$ This gives $5\cdot19=95$ triples.

Case $i^x=z:$ the only nonnegative-integer value of $i^x$ is $1$ (with $x$ a multiple of $4$ ), so $z=1$ and $(1+i)^y\ne1,$ meaning $y\ge1.$ This gives $5\cdot19=95$ triples.

Case $(1+i)^y=z:$ since $(1+i)^2=2i,$ the power $(1+i)^y$ is a nonnegative integer below $20$ only for $y=0$ (value $1$ ) or $y=8$ (value $16$ ). If $y=0,\ z=1,$ we need $i^x\ne1,$ so $x$ is not a multiple of $4$ ( $15$ values). If $y=8,\ z=16,$ then $i^x$ is never $16,$ so $x$ is free ( $20$ values). This gives $15+20=35$ triples.

Altogether $95+95+35=225.$

Thus, the correct answer is D.

16.

Los enteros positivos $a, b,$ y $c$ se seleccionan al azar e independientemente con reemplazo del conjunto $\{1, 2, 3, \ldots, 2010\}.$ ¿Cuál es la probabilidad de que $abc+ab+a$ sea divisible por $3$ ?

Positive integers $a, b,$ and $c$ are randomly and independently selected with replacement from the set $\{1, 2, 3, \ldots, 2010\}.$ What is the probability that $abc+ab+a$ is divisible by $3?$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{29}{81}$

$\dfrac{31}{81}$

$\dfrac{11}{27}$

$\dfrac{13}{27}$

Conceptos:aritmética modular probabilidad básica análisis por casos

Nivel de dificultad: 1810

Solución:

Factoriza $abc+ab+a=a(bc+b+1).$ Como $2010$ es múltiplo de $3,$ cada uno de $a, b, c$ es uniforme módulo $3.$

Si $3\mid a$ (probabilidad $\tfrac13$ ), el producto es divisible por $3.$

Si $3\nmid a$ (probabilidad $\tfrac23$ ), necesitamos $3\mid bc+b+1.$ Comprobando residuos, esto se cumple exactamente cuando $(b,c)\equiv(1,1)$ o $(2,0)\pmod3,$ una probabilidad de $\tfrac13\cdot\tfrac13+\tfrac13\cdot\tfrac13=\tfrac29.$

La probabilidad total es $\frac13+\frac23\cdot\frac29=\frac13+\frac{4}{27}=\frac{13}{27}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Factor $abc+ab+a=a(bc+b+1).$ Since $2010$ is a multiple of $3,$ each of $a, b, c$ is uniform modulo $3.$

If $3\mid a$ (probability $\tfrac13$ ), the product is divisible by $3.$

If $3\nmid a$ (probability $\tfrac23$ ), we need $3\mid bc+b+1.$ Checking residues, this holds exactly when $(b,c)\equiv(1,1)$ or $(2,0)\pmod3,$ a probability of $\tfrac13\cdot\tfrac13+\tfrac13\cdot\tfrac13=\tfrac29.$

The total probability is $\frac13+\frac23\cdot\frac29=\frac13+\frac{4}{27}=\frac{13}{27}.$

Thus, the correct answer is E.

17.

Las entradas de un arreglo $3\times3$ incluyen todos los dígitos del $1$ al $9,$ dispuestos de modo que las entradas de cada fila y columna estén en orden creciente. ¿Cuántos de estos arreglos hay?

The entries in a $3\times3$ array include all the digits from $1$ through $9,$ arranged so that the entries in every row and column are in increasing order. How many such arrays are there?

$18$

$24$

$36$

$42$

$60$

Conceptos:arreglos con restricciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 1980

Solución:

Escribe $a_{ij}$ para la entrada en la fila $i,$ columna $j.$ Las condiciones fuerzan $a_{11}=1,$ $a_{33}=9,$ y $a_{22}\in\{4,5,6\}.$

Si $a_{22}=4,$ entonces $\{a_{12},a_{21}\}=\{2,3\}$ y $\{5,6,7,8\}$ se divide en pares complementarios que llenan el resto de la última fila y columna: $\binom42=6$ divisiones por $2$ órdenes para $\{2,3\}$ da $12$ arreglos. Por simetría $a_{22}=6$ también da $12.$

Si $a_{22}=5,$ entonces $\{a_{12},a_{13},a_{23}\}$ y $\{a_{21},a_{31},a_{32}\}$ son subconjuntos complementarios de $\{2,3,4,6,7,8\}$ sujetos a las restricciones de orden, lo que fuerza que el primer conjunto sea $\{2,3,4\}$ o $\{6,7,8\};$ esto da $\binom63-2=18$ arreglos.

En total $12+12+18=42.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Write $a_{ij}$ for the entry in row $i,$ column $j.$ The conditions force $a_{11}=1,$ $a_{33}=9,$ and $a_{22}\in\{4,5,6\}.$

If $a_{22}=4,$ then $\{a_{12},a_{21}\}=\{2,3\}$ and $\{5,6,7,8\}$ split as complementary pairs filling the rest of the last row and column: $\binom42=6$ splits times $2$ orders for $\{2,3\}$ gives $12$ arrays. By symmetry $a_{22}=6$ also gives $12.$

If $a_{22}=5,$ then $\{a_{12},a_{13},a_{23}\}$ and $\{a_{21},a_{31},a_{32}\}$ are complementary subsets of $\{2,3,4,6,7,8\}$ subject to the ordering constraints, forcing the first set to be $\{2,3,4\}$ or $\{6,7,8\};$ this gives $\binom63-2=18$ arrays.

Altogether $12+12+18=42.$

Thus, the correct answer is D.

18.

Una rana da $3$ saltos, cada uno exactamente de $1$ metro de largo. Las direcciones de los saltos se eligen independientemente y al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la posición final de la rana esté a no más de $1$ metro de su posición inicial?

A frog makes $3$ jumps, each exactly $1$ meter long. The directions of the jumps are chosen independently and at random. What is the probability that the frog's final position is no more than $1$ meter from its starting position?

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

Conceptos:probabilidad geométrica camino aleatorio

Nivel de dificultad: 2030

Solución:

Esta es una probabilidad continua (geométrica). Fija el segundo salto de $P=(0,0)$ a $Q=(1,0),$ y sean $\alpha,\beta$ las direcciones del primer y tercer salto, así el inicio es $A=(\cos\alpha,\sin\alpha)$ y el final es $B=(1+\cos\beta,\sin\beta).$

Tomando $0\le\alpha\le\pi$ y $0\le\beta\le2\pi,$ el requisito $AB\le1$ se cumple exactamente cuando $\alpha\le\beta\le\pi.$

En el rectángulo $\alpha\beta$ de área $2\pi^2,$ la región favorable es un triángulo de área $\tfrac{\pi^2}{2},$ así que la probabilidad es $\dfrac{\pi^2/2}{2\pi^2}=\dfrac14.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

This is a continuous (geometric) probability. Anchor the second jump from $P=(0,0)$ to $Q=(1,0),$ and let $\alpha,\beta$ be the directions of the first and third jumps, so the start is $A=(\cos\alpha,\sin\alpha)$ and the end is $B=(1+\cos\beta,\sin\beta).$

Taking $0\le\alpha\le\pi$ and $0\le\beta\le2\pi,$ the requirement $AB\le1$ holds exactly when $\alpha\le\beta\le\pi.$

In the $\alpha\beta$ -rectangle of area $2\pi^2,$ the favorable region is a triangle of area $\tfrac{\pi^2}{2},$ so the probability is $\dfrac{\pi^2/2}{2\pi^2}=\dfrac14.$

Thus, the correct answer is C.

19.

Un partido de baloncesto de secundaria entre los Raiders y los Wildcats estaba empatado al final del primer cuarto. El número de puntos anotados por los Raiders en cada uno de los cuatro cuartos formó una sucesión geométrica creciente, y el número de puntos anotados por los Wildcats en cada uno de los cuatro cuartos formó una sucesión aritmética creciente. Al final del cuarto período, los Raiders habían ganado por un punto. Ninguno de los dos equipos anotó más de $100$ puntos. ¿Cuál fue el número total de puntos anotados por los dos equipos en la primera mitad?

A high school basketball game between the Raiders and the Wildcats was tied at the end of the first quarter. The number of points scored by the Raiders in each of the four quarters formed an increasing geometric sequence, and the number of points scored by the Wildcats in each of the four quarters formed an increasing arithmetic sequence. At the end of the fourth quarter, the Raiders had won by one point. Neither team scored more than $100$ points. What was the total number of points scored by the two teams in the first half?

$30$

$31$

$32$

$33$

$34$

Conceptos:sucesión geométrica sucesión aritmética acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 2180

Solución:

Sea el puntaje de los Raiders $a, ar, ar^2, ar^3$ (geométrica creciente, $r\gt1$ ) y el de los Wildcats $a, a+d, a+2d, a+3d$ (aritmética creciente), empatados en el primer cuarto en $a.$

El puntaje de cada cuarto es un entero positivo y cada total es menor que $100,$ así que la razón y el primer término son pequeños. Probando $r=2$ da a los Raiders $5, 10, 20, 40$ con total $75.$

Los Wildcats entonces suman $74=4a+6d=20+6d,$ así que $d=9,$ dando $5, 14, 23, 32.$ Los Raiders ganaron $75$ a $74.$

El total de la primera mitad es $(5+10)+(5+14)=34.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let the Raiders score $a, ar, ar^2, ar^3$ (increasing geometric, $r\gt1$ ) and the Wildcats $a, a+d, a+2d, a+3d$ (increasing arithmetic), tied in the first quarter at $a.$

Every quarter score is a positive integer and each total is under $100,$ so the ratio and first term are small. Testing $r=2$ gives Raiders $5, 10, 20, 40$ with total $75.$

The Wildcats then total $74=4a+6d=20+6d,$ so $d=9,$ giving $5, 14, 23, 32.$ The Raiders won $75$ to $74.$

The first-half total is $(5+10)+(5+14)=34.$

Thus, the correct answer is E.

20.

Una sucesión geométrica $(a_n)$ tiene $a_1=\sin x,$ $a_2=\cos x,$ y $a_3=\tan x$ para algún número real $x.$ ¿Para qué valor de $n$ se cumple $a_n=1+\cos x$ ?

A geometric sequence $(a_n)$ has $a_1=\sin x,$ $a_2=\cos x,$ and $a_3=\tan x$ for some real number $x.$ For what value of $n$ does $a_n=1+\cos x?$

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

Conceptos:sucesión geométrica identidad trigonométrica

Nivel de dificultad: 2240

Solución:

La razón común es $r=\dfrac{a_2}{a_1}=\cot x.$ Entonces $a_4=a_3\cdot r=\tan x\cot x=1.$

De $a_3=a_1r^2,$ obtenemos $\tan x=\sin x\cot^2 x=\dfrac{\cos^2 x}{\sin x},$ así que $\sin^2 x=\cos^3 x,$ es decir $(\cos^2 x)(1+\cos x)=1.$

Por lo tanto $1+\cos x=\dfrac{1}{\cos^2 x}.$ También $r^2=\dfrac{\cos^2 x}{\sin^2 x}=\dfrac{\cos^2 x}{\cos^3 x}=\dfrac{1}{\cos x},$ así que $r^4=\dfrac{1}{\cos^2 x}=1+\cos x.$

Por lo tanto $1+\cos x=a_4\cdot r^4=a_8,$ así que $n=8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The common ratio is $r=\dfrac{a_2}{a_1}=\cot x.$ Then $a_4=a_3\cdot r=\tan x\cot x=1.$

From $a_3=a_1r^2,$ we get $\tan x=\sin x\cot^2 x=\dfrac{\cos^2 x}{\sin x},$ so $\sin^2 x=\cos^3 x,$ i.e. $(\cos^2 x)(1+\cos x)=1.$

Hence $1+\cos x=\dfrac{1}{\cos^2 x}.$ Also $r^2=\dfrac{\cos^2 x}{\sin^2 x}=\dfrac{\cos^2 x}{\cos^3 x}=\dfrac{1}{\cos x},$ so $r^4=\dfrac{1}{\cos^2 x}=1+\cos x.$

Therefore $1+\cos x=a_4\cdot r^4=a_8,$ so $n=8.$

Thus, the correct answer is E.

21.

Sea $a\gt0,$ y sea $P(x)$ un polinomio con coeficientes enteros tal que $\begin{aligned} &P(1)=P(3)=P(5) \\ &\quad {}=P(7)=a, \end{aligned}$ y $\begin{aligned} &P(2)=P(4)=P(6) \\ &\quad {}=P(8)=-a. \end{aligned}$ ¿Cuál es el menor valor posible de $a$ ?

Let $a\gt0,$ and let $P(x)$ be a polynomial with integer coefficients such that $\begin{aligned} &P(1)=P(3)=P(5) \\ &\quad {}=P(7)=a, \end{aligned}$ and $\begin{aligned} &P(2)=P(4)=P(6) \\ &\quad {}=P(8)=-a. \end{aligned}$ What is the smallest possible value of $a?$

$105$

$315$

$945$

$7!$

$8!$

Conceptos:polinomio divisibilidad mínimo común múltiplo

Nivel de dificultad: 2300

Solución:

Como $1, 3, 5, 7$ son raíces de $P(x)-a,$ escribe $P(x)-a=(x-1)(x-3)$ $\cdot(x-5)(x-7)Q(x)$ con $Q$ teniendo coeficientes enteros.

Evaluando en $x=2, 4, 6, 8$ (donde $P=-a$ ) se obtiene $\begin{aligned} -2a &=-15\,Q(2) \\ &=9\,Q(4) \\ &=-15\,Q(6) \\ &=105\,Q(8). \end{aligned}$

Así que $15, 9,$ y $105$ dividen todos a $2a,$ por lo que $\operatorname{lcm}(15,9,105)=315$ divide a $2a.$ Como $315$ es impar, $315\mid a,$ así que $a\ge315.$

El valor $a=315$ es alcanzable, así que el menor es $315.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since $1, 3, 5, 7$ are roots of $P(x)-a,$ write $P(x)-a=(x-1)(x-3)$ $\cdot(x-5)(x-7)Q(x)$ with $Q$ having integer coefficients.

Evaluating at $x=2, 4, 6, 8$ (where $P=-a$ ) gives $\begin{aligned} -2a &=-15\,Q(2) \\ &=9\,Q(4) \\ &=-15\,Q(6) \\ &=105\,Q(8). \end{aligned}$

So $15, 9,$ and $105$ all divide $2a,$ hence $\operatorname{lcm}(15,9,105)=315$ divides $2a.$ Since $315$ is odd, $315\mid a,$ so $a\ge315.$

The value $a=315$ is attainable, so the smallest is $315.$

Thus, the correct answer is B.

22.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico. Las longitudes de los lados de $ABCD$ son enteros distintos menores que $15$ tales que $BC\cdot CD=AB\cdot DA.$ ¿Cuál es el mayor valor posible de $BD$ ?

Let $ABCD$ be a cyclic quadrilateral. The side lengths of $ABCD$ are distinct integers less than $15$ such that $BC\cdot CD=AB\cdot DA.$ What is the largest possible value of $BD?$

$\sqrt{\dfrac{325}{2}}$

$\sqrt{185}$

$\sqrt{\dfrac{389}{2}}$

$\sqrt{\dfrac{425}{2}}$

$\sqrt{\dfrac{533}{2}}$

Conceptos:cuadrilátero cíclico Teorema de Ptolomeo optimización

Nivel de dificultad: 2420

Solución:

Sea $a=AB,$ $b=BC,$ $c=CD,$ $d=DA$ y $k=bc=ad.$ Escribiendo el área de cada triángulo en términos del circunradio y usando $[ABC]+[CDA]=$ $[BCD]+[ABD]$ se obtiene $(ab+cd)\cdot AC=2k\cdot BD.$

El teorema de Ptolomeo da $AC\cdot BD=ac+bd.$ Eliminando $AC,$ $\begin{aligned} BD^2 &=\frac{(ac+bd)(ab+cd)}{2k} \\ &=\frac12\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right). \end{aligned}$

Los lados son enteros distintos menores que $15$ con $bc=ad,$ así que ni $11$ ni $13$ pueden aparecer (cada uno es primo y necesitaría un factor coincidente en el otro lado).

Para maximizar, toma el lado más grande $14.$ Escribiendo los otros como $s_1\gt s_2\gt s_3$ con $14s_3=s_1s_2,$ el mejor caso es $s_2=7,$ dando $s_1=2s_3$ y $(a,b,c,d)=(14,12,7,6).$ Entonces $\begin{aligned} 2BD^2 &=14^2+12^2+7^2+6^2 \\ &=425, \end{aligned}$ así que $BD=\sqrt{\dfrac{425}{2}}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $a=AB,$ $b=BC,$ $c=CD,$ $d=DA$ and $k=bc=ad.$ Writing each triangle's area in terms of the circumradius and using $[ABC]+[CDA]=$ $[BCD]+[ABD]$ gives $(ab+cd)\cdot AC=2k\cdot BD.$

Ptolemy's theorem gives $AC\cdot BD=ac+bd.$ Eliminating $AC,$ $\begin{aligned} BD^2 &=\frac{(ac+bd)(ab+cd)}{2k} \\ &=\frac12\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right). \end{aligned}$

The sides are distinct integers below $15$ with $bc=ad,$ so neither $11$ nor $13$ can appear (each is prime and would need a matching factor on the other side).

To maximize, take the largest side $14.$ Writing the others as $s_1\gt s_2\gt s_3$ with $14s_3=s_1s_2,$ the best case is $s_2=7,$ giving $s_1=2s_3$ and $(a,b,c,d)=(14,12,7,6).$ Then $\begin{aligned} 2BD^2 &=14^2+12^2+7^2+6^2 \\ &=425, \end{aligned}$ so $BD=\sqrt{\dfrac{425}{2}}.$

Thus, the correct answer is D.

23.

Los polinomios cuadráticos mónicos $P(x)$ y $Q(x)$ tienen la propiedad de que $P(Q(x))$ tiene ceros en $x=-23, -21, -17,$ y $-15,$ y $Q(P(x))$ tiene ceros en $x=-59, -57, -51,$ y $-49.$ ¿Cuál es la suma de los valores mínimos de $P(x)$ y $Q(x)$ ?

Monic quadratic polynomials $P(x)$ and $Q(x)$ have the property that $P(Q(x))$ has zeros at $x=-23, -21, -17,$ and $-15,$ and $Q(P(x))$ has zeros at $x=-59, -57, -51,$ and $-49.$ What is the sum of the minimum values of $P(x)$ and $Q(x)?$

$-100$

$-82$

$-73$

$-64$

$0$

Conceptos:polinomio completar el cuadrado simetría (álgebra)

Nivel de dificultad: 2420

Solución:

Escribe $P(x)=(x-h_1)^2-k_1^2$ y $Q(x)=(x-h_2)^2-k_2^2,$ con valores mínimos $-k_1^2$ y $-k_2^2.$

Los ceros de $P(Q(x))$ ocurren donde $Q(x)=h_1\pm k_1;$ sus cuatro soluciones son simétricas respecto a $h_2,$ así que $h_2$ es el promedio $\tfrac{-23-21-17-15}{4}=-19.$ Entonces $Q(-15)-Q(-17)$ $=(16-k_2^2)-(4-k_2^2)$ $=12,$ y esta diferencia es igual a $2k_1,$ así que $k_1=6.$

Simétricamente, $h_1=\tfrac{-59-57-51-49}{4}=-54,$ y $P(-49)-P(-51)$ $=(25-k_1^2)-(9-k_1^2)$ $=16=2k_2,$ así que $k_2=8.$

La suma de los valores mínimos es $-k_1^2-k_2^2=-36-64=-100.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Write $P(x)=(x-h_1)^2-k_1^2$ and $Q(x)=(x-h_2)^2-k_2^2,$ with minimum values $-k_1^2$ and $-k_2^2.$

The zeros of $P(Q(x))$ occur where $Q(x)=h_1\pm k_1;$ their four solutions are symmetric about $h_2,$ so $h_2$ is the average $\tfrac{-23-21-17-15}{4}=-19.$ Then $Q(-15)-Q(-17)$ $=(16-k_2^2)-(4-k_2^2)$ $=12,$ and this difference equals $2k_1,$ so $k_1=6.$

Symmetrically, $h_1=\tfrac{-59-57-51-49}{4}=-54,$ and $P(-49)-P(-51)$ $=(25-k_1^2)-(9-k_1^2)$ $=16=2k_2,$ so $k_2=8.$

The sum of the minimum values is $-k_1^2-k_2^2=-36-64=-100.$

Thus, the correct answer is A.

24.

El conjunto de números reales $x$ para los cuales $\begin{aligned} &\frac{1}{x-2009}+\frac{1}{x-2010} \\ &\quad {}+\frac{1}{x-2011}\ge1 \end{aligned}$ es la unión de intervalos de la forma $a\lt x\le b.$ ¿Cuál es la suma de las longitudes de estos intervalos?

The set of real numbers $x$ for which $\begin{aligned} &\frac{1}{x-2009}+\frac{1}{x-2010} \\ &\quad {}+\frac{1}{x-2011}\ge1 \end{aligned}$ is the union of intervals of the form $a\lt x\le b.$ What is the sum of the lengths of these intervals?

$\dfrac{1003}{335}$

$\dfrac{1004}{335}$

$3$

$\dfrac{403}{134}$

$\dfrac{202}{67}$

Conceptos:ecuación racional desigualdad Fórmulas de Vieta

Nivel de dificultad: 2320

Solución:

Sea $f(x)$ el lado izquierdo. En cada intervalo entre asíntotas consecutivas $2009, 2010, 2011,$ la función $f$ es decreciente, y $f\lt1$ para todo $x\lt2009.$

En cada uno de $(2009,2010),$ $(2010,2011),$ y $(2011,\infty),$ la solución es la parte desde la asíntota izquierda hasta un valor $x_i$ donde $f(x_i)=1.$ Así que el conjunto solución consta de tres intervalos con extremos izquierdos $2009, 2010, 2011$ y extremos derechos $x_1, x_2, x_3.$

La longitud total es $(x_1-2009)$ $+(x_2-2010)$ $+(x_3-2011)$ $=x_1+x_2+x_3-6030.$

Al eliminar los denominadores en $f(x)=1$ se obtiene $\begin{aligned} &x^3 \\ &\quad \small{}-(2009+2010+2011+3)x^2 \\ &\quad {}+\cdots=0, \end{aligned}$ cuyas raíces son $x_1, x_2, x_3.$ Por Vieta, $x_1+x_2+x_3=6033,$ así que la suma de las longitudes es $6033-6030=3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $f(x)$ be the left-hand side. On each interval between consecutive asymptotes $2009, 2010, 2011,$ the function $f$ is decreasing, and $f\lt1$ for all $x\lt2009.$

On each of $(2009,2010),$ $(2010,2011),$ and $(2011,\infty),$ the solution is the part from the left asymptote up to a value $x_i$ where $f(x_i)=1.$ So the solution set consists of three intervals with left endpoints $2009, 2010, 2011$ and right endpoints $x_1, x_2, x_3.$

The total length is $(x_1-2009)$ $+(x_2-2010)$ $+(x_3-2011)$ $=x_1+x_2+x_3-6030.$

Clearing denominators in $f(x)=1$ gives $\begin{aligned} &x^3 \\ &\quad \small{}-(2009+2010+2011+3)x^2 \\ &\quad {}+\cdots=0, \end{aligned}$ whose roots are $x_1, x_2, x_3.$ By Vieta, $x_1+x_2+x_3=6033,$ so the sum of lengths is $6033-6030=3.$

Thus, the correct answer is C.

25.

Para todo entero $n\ge2,$ sea $\operatorname{pow}(n)$ la mayor potencia del mayor primo que divide a $n.$ Por ejemplo, $\operatorname{pow}(144)=\operatorname{pow}(2^4\cdot3^2)=3^2.$ ¿Cuál es el mayor entero $m$ tal que $2010^m$ divide a $\prod_{n=2}^{5300}\operatorname{pow}(n)?$

For every integer $n\ge2,$ let $\operatorname{pow}(n)$ be the largest power of the largest prime that divides $n.$ For example, $\operatorname{pow}(144)=\operatorname{pow}(2^4\cdot3^2)=3^2.$ What is the largest integer $m$ such that $2010^m$ divides $\prod_{n=2}^{5300}\operatorname{pow}(n)?$

$74$

$75$

$76$

$77$

$78$

Conceptos:factorización en primos primo conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 2640

Solución:

Como $2010=2\cdot3\cdot5\cdot67,$ escribe el producto como $2^A3^B5^C67^D$ por un factor coprimo con los cuatro primos; entonces $m=\min(A,B,C,D).$

Primo $2:$ $\operatorname{pow}(n)$ es una potencia de $2$ solo cuando $n=2^k.$ Como $2^{12}=4096\lt5300\lt2^{13},$ los valores $k=1,\ldots,12$ aportan $A=1+2+\cdots+12=78.$

Primo $67:$ $\operatorname{pow}(n)=67$ cuando $67$ es el mayor factor primo, es decir $n=67j$ con $1\le j\le79$ y todo factor primo de $j$ a lo sumo $67;$ excluyendo $j=67, 71, 73, 79$ quedan $75$ valores. El único $n$ con $\operatorname{pow}(n)=67^2$ es $n=67^2\lt5300,$ añadiendo $2.$ Así que $D=75+2=77.$

Un conteo similar muestra que los exponentes de $3$ y $5$ son cada uno al menos $77.$

Por lo tanto $m=\min(78,B,C,77)=77.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $2010=2\cdot3\cdot5\cdot67,$ write the product as $2^A3^B5^C67^D$ times a factor coprime to all four primes; then $m=\min(A,B,C,D).$

Prime $2:$ $\operatorname{pow}(n)$ is a power of $2$ only when $n=2^k.$ Since $2^{12}=4096\lt5300\lt2^{13},$ the values $k=1,\ldots,12$ contribute $A=1+2+\cdots+12=78.$

Prime $67:$ $\operatorname{pow}(n)=67$ when $67$ is the largest prime factor, i.e. $n=67j$ with $1\le j\le79$ and every prime factor of $j$ at most $67;$ excluding $j=67, 71, 73, 79$ leaves $75$ values. The one $n$ with $\operatorname{pow}(n)=67^2$ is $n=67^2\lt5300,$ adding $2.$ So $D=75+2=77.$

A similar count shows the exponents of $3$ and $5$ are each at least $77.$

Therefore $m=\min(78,B,C,77)=77.$

Thus, the correct answer is D.