Soluciones del 2010 AMC 12B | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Makayla asistió a dos reuniones durante su jornada laboral de $9$ horas. La primera reunión duró $45$ minutos y la segunda duró el doble. ¿Qué porcentaje de su jornada laboral pasó asistiendo a reuniones?

Makayla attended two meetings during her $9$ -hour work day. The first meeting took $45$ minutes and the second meeting took twice as long. What percent of her work day was spent attending meetings?

$15$

$20$

$25$

$30$

$35$

Conceptos:porcentaje conversión de unidades

Nivel de dificultad: 800

Pista pequeña:

Convierte la jornada laboral a minutos: $9$ horas son $540$ minutos

Convert the work day to minutes: $9$ hours is $540$ minutes

Pista grande:

Las dos reuniones juntas duran $45+2\cdot45$ minutos

The two meetings together last $45+2\cdot45$ minutes

Solución:

Las dos reuniones duraron $45+90=135$ minutos, y la jornada laboral es de $9\cdot60=540$ minutos.

La fracción del día dedicada a reuniones es $\frac{135}{540}=\frac14=25\%.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The two meetings lasted $45+90=135$ minutes, and the work day is $9\cdot60=540$ minutes.

The fraction of the day spent in meetings is $\frac{135}{540}=\frac14=25\%.$

Thus, the correct answer is C.

2.

Se forma una gran L como se muestra. ¿Cuál es su área?

A big L is formed as shown. What is its area?

$22$

$24$

$26$

$28$

$30$

Conceptos:descomposición de áreas rectángulo

Nivel de dificultad: 880

Pista pequeña:

Divide la L en dos rectángulos

Split the L into two rectangles

Pista grande:

La barra vertical es $2\times8,$ y el pie añade una pieza de $2\times3$ ya que $5-2=3$

The vertical bar is $2\times8,$ and the foot adds a $2\times3$ piece since $5-2=3$

Solución:

La región se divide en un rectángulo vertical de $8\times2$ y un pie horizontal de $2\times3$ , cuyo ancho es $5-2=3.$

El área total es $8\cdot2+3\cdot2=16+6=22.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The region splits into an $8\times2$ vertical rectangle and a $2\times3$ horizontal foot, whose width is $5-2=3.$

The total area is $8\cdot2+3\cdot2=16+6=22.$

Thus, the correct answer is A.

3.

Una entrada para una obra escolar cuesta $x$ dólares, donde $x$ es un número entero. Un grupo de estudiantes de $9$ º grado compra entradas por un total de $\$48,$ y un grupo de estudiantes de $10$ º grado compra entradas por un total de $\$64.$ ¿Cuántos valores son posibles para $x$ ?

A ticket to a school play costs $x$ dollars, where $x$ is a whole number. A group of $9$ th graders buys tickets costing a total of $\$48,$ and a group of $10$ th graders buys tickets costing a total of $\$64.$ How many values for $x$ are possible?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Conceptos:máximo común divisor conteo de factores

Nivel de dificultad: 1010

Pista pequeña:

$x$ debe dividir tanto a $48$ como a $64$

$x$ must divide both $48$ and $64$

Pista grande:

Cuenta los divisores comunes de $48$ y $64$

Count the common divisors of $48$ and $64$

Solución:

El precio $x$ debe dividir ambos totales, así que $x$ es un divisor común de $48$ y $64.$

Como $\gcd(48,64)=16,$ los divisores comunes son $1, 2, 4, 8,$ y $16.$ Hay $5$ valores posibles.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The price $x$ must divide both totals, so $x$ is a common divisor of $48$ and $64.$

Since $\gcd(48,64)=16,$ the common divisors are $1, 2, 4, 8,$ and $16.$ There are $5$ possible values.

Thus, the correct answer is E.

4.

Un mes con $31$ días tiene el mismo número de lunes y miércoles. ¿Cuántos de los siete días de la semana podrían ser el primer día de este mes?

A month with $31$ days has the same number of Mondays and Wednesdays. How many of the seven days of the week could be the first day of this month?

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

Conceptos:fecha y hora análisis por casos

Nivel de dificultad: 1240

Pista pequeña:

$31=4\cdot7+3,$ así que exactamente tres días de la semana ocurren cinco veces

$31=4\cdot7+3,$ so exactly three weekdays occur five times

Pista grande:

Esos tres días son los primeros tres días del mes; verifica cuándo coinciden lunes y miércoles

Those three days are the first three days of the month; check when Monday and Wednesday match

Solución:

Como $31=4\cdot7+3,$ los primeros tres días del mes ocurren cinco veces cada uno, y los otros cuatro días ocurren cuatro veces.

Los lunes y los miércoles son iguales en número exactamente cuando ambos caen en el grupo de cinco veces o ambos caen en el grupo de cuatro veces.

Si el primer día es lunes, los días de cinco veces son lunes, martes y miércoles (ambos aparecen cinco veces). Si el primer día es jueves o viernes, los días de cinco veces no incluyen ni al lunes ni al miércoles (ambos aparecen cuatro veces). Cualquier otro día de inicio incluye exactamente uno de lunes o miércoles.

Así que el primer día puede ser lunes, jueves o viernes, dando $3$ posibilidades.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since $31=4\cdot7+3,$ the first three days of the month each occur five times, and the other four days occur four times.

Mondays and Wednesdays are equal in number exactly when both fall in the five-time group or both fall in the four-time group.

If the first day is Monday, the five-time days are Mon, Tue, Wed (both appear five times). If the first day is Thursday or Friday, the five-time days miss both Monday and Wednesday (both appear four times). Every other starting day includes exactly one of Monday or Wednesday.

So the first day can be Monday, Thursday, or Friday, giving $3$ possibilities.

Thus, the correct answer is B.

5.

La maestra del afortunado Larry le pidió sustituir números por $a$ , $b$ , $c$ , $d$ y $e$ en la expresión $a-(b-(c-(d+e)))$ y evaluar el resultado. Larry ignoró los paréntesis pero sumó y restó correctamente, y obtuvo por coincidencia el resultado correcto. Los números que Larry sustituyó por $a$ , $b$ , $c$ y $d$ fueron $1$ , $2$ , $3$ y $4$ , respectivamente. ¿Qué número sustituyó Larry por $e$ ?

Lucky Larry’s teacher asked him to substitute numbers for $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ and $e$ in the expression $a-(b-(c-(d+e)))$ and evaluate the result. Larry ignored the parentheses but added and subtracted correctly and obtained the correct result by coincidence. The numbers Larry substituted for $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ were $1,$ $2,$ $3,$ and $4,$ respectively. What number did Larry substitute for $e?$

$-5$

$-3$

$0$

$3$

$5$

Conceptos:orden de las operaciones ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1100

Pista pequeña:

Expande la expresión correcta a $a-b+c-d-e$

Expand the correct expression to $a-b+c-d-e$

Pista grande:

Larry en cambio calculó $a-b-c-d+e;$ iguala las dos

Larry instead computed $a-b-c-d+e;$ set the two equal

Solución:

El valor correcto es $a-(b-(c-(d+e)))=$ $a-b+c-d-e.$ Con $a, b, c, d=1, 2, 3, 4,$ esto es igual a $1-2+3-4-e=-2-e.$

Larry omitió los paréntesis y calculó $1-2-3-4+e=-8+e.$

Igualando $-2-e=-8+e$ se obtiene $2e=6,$ así que $e=3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The correct value is $a-(b-(c-(d+e)))=$ $a-b+c-d-e.$ With $a, b, c, d=1, 2, 3, 4,$ this equals $1-2+3-4-e=-2-e.$

Larry dropped the parentheses and computed $1-2-3-4+e=-8+e.$

Setting $-2-e=-8+e$ gives $2e=6,$ so $e=3.$

Thus, the correct answer is D.

6.

Al comienzo del año escolar, $50\%$ de todos los estudiantes en la clase de matemáticas del Sr. Wells respondieron “Sí” a la pregunta “¿Amas las matemáticas?”, y $50\%$ respondieron “No”. Al final del año escolar, $70\%$ respondieron “Sí” y $30\%$ respondieron “No”. En total, $x\%$ de los estudiantes dieron una respuesta diferente al comienzo y al final del año escolar. ¿Cuál es la diferencia entre los valores máximo y mínimo posibles de $x$ ?

At the beginning of the school year, $50\%$ of all students in Mr. Wells’ math class answered “Yes” to the question “Do you love math”, and $50\%$ answered “No.” At the end of the school year, $70\%$ answered “Yes” and $30\%$ answered “No.” Altogether, $x\%$ of the students gave a different answer at the beginning and end of the school year. What is the difference between the maximum and the minimum possible values of $x?$

$0$

$20$

$40$

$60$

$80$

Conceptos:porcentaje argumento extremal

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

Supón $100$ estudiantes; el número de “Sí” sube de $50$ a $70$

Assume $100$ students; the “Yes” count rises from $50$ to $70$

Pista grande:

Al menos $20$ deben cambiar, y solo $30$ terminan con “No”, lo que acota cuántos pueden cambiar

At least $20$ must switch, and only $30$ end with “No,” bounding how many can switch

Solución:

Supón $100$ estudiantes. El número de respuestas “Sí” sube de $50$ a $70,$ así que al menos $70-50=20$ estudiantes cambiaron de “No” a “Sí”; por lo tanto $x\ge20.$

Como solo $30$ estudiantes responden “No” al final, al menos $50-30=20$ de los estudiantes que originalmente respondieron “Sí” siguen respondiendo “Sí”, así que a lo sumo $80$ estudiantes cambiaron; por lo tanto $x\le80.$

Ambos extremos son alcanzables, así que la diferencia es $80-20=60.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Assume $100$ students. The number of “Yes” answers rises from $50$ to $70,$ so at least $70-50=20$ students switched from “No” to “Yes”; thus $x\ge20.$

Since only $30$ students answer “No” at the end, at least $50-30=20$ of the original “Yes” students still answer “Yes,” so at most $80$ students switched; thus $x\le80.$

Both extremes are achievable, so the difference is $80-20=60.$

Thus, the correct answer is D.

7.

Shelby conduce su scooter a una velocidad de $30$ millas por hora si no llueve, y $20$ millas por hora si llueve. Hoy condujo bajo el sol por la mañana y bajo la lluvia por la tarde, para un total de $16$ millas en $40$ minutos. ¿Cuántos minutos condujo bajo la lluvia?

Shelby drives her scooter at a speed of $30$ miles per hour if it is not raining, and $20$ miles per hour if it is raining. Today she drove in the sun in the morning and in the rain in the evening, for a total of $16$ miles in $40$ minutes. How many minutes did she drive in the rain?

$18$

$21$

$24$

$27$

$30$

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1240

Pista pequeña:

Sea $t$ los minutos bajo la lluvia; convierte cada velocidad a millas por minuto

Let $t$ be the minutes in the rain; convert each speed to miles per minute

Pista grande:

La distancia bajo la lluvia $20\cdot\dfrac{t}{60}$ más la distancia bajo el sol $30\cdot\dfrac{40-t}{60}$ es igual a $16$

Rain distance $20\cdot\dfrac{t}{60}$ plus sun distance $30\cdot\dfrac{40-t}{60}$ equals $16$

Solución:

Sea $t$ el número de minutos conducidos bajo la lluvia. Recorre $20\cdot\frac{t}{60}$ millas bajo la lluvia y $30\cdot\frac{40-t}{60}$ millas bajo el sol.

Al fijar el total en $16$ se obtiene $\frac{20t+30(40-t)}{60}=16,$ así que $1200-10t=960$ y $t=24.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $t$ be the number of minutes driven in the rain. She covers $20\cdot\frac{t}{60}$ miles in the rain and $30\cdot\frac{40-t}{60}$ miles in the sun.

Setting the total to $16$ gives $\frac{20t+30(40-t)}{60}=16,$ so $1200-10t=960$ and $t=24.$

Thus, the correct answer is C.

8.

Cada escuela secundaria de la ciudad de Euclid envió un equipo de $3$ estudiantes a un concurso de matemáticas. Cada participante en el concurso recibió una puntuación diferente. La puntuación de Andrea fue la mediana entre todos los estudiantes, y la suya fue la puntuación más alta de su equipo. Las compañeras de equipo de Andrea, Beth y Carla, quedaron en los puestos $37$ y $64$ , respectivamente. ¿Cuántas escuelas hay en la ciudad?

Every high school in the city of Euclid sent a team of $3$ students to a math contest. Each participant in the contest received a different score. Andrea’s score was the median among all students, and hers was the highest score on her team. Andrea’s teammates Beth and Carla placed $37$ th and $64$ th, respectively. How many schools are in the city?

$22$

$23$

$24$

$25$

$26$

Conceptos:mediana (datos)paridad desigualdad

Nivel de dificultad: 1490

Pista pequeña:

Con $n$ escuelas hay $3n$ estudiantes, y la mediana se ubica en la posición $\dfrac{3n+1}{2}$

With $n$ schools there are $3n$ students, and the median sits at position $\dfrac{3n+1}{2}$

Pista grande:

$3n\ge64,$ y Andrea quedó por delante del puesto $37$ de Beth, así que $\dfrac{3n+1}{2}\lt37$

$3n\ge64,$ and Andrea placed ahead of Beth’s $37$ th, so $\dfrac{3n+1}{2}\lt37$

Solución:

Con $n$ escuelas hay $3n$ estudiantes. Carla quedó en el puesto $64$ , así que $3n\ge64$ y $n\ge22.$

Las puntuaciones son distintas y Andrea es la mediana, así que $3n$ es impar, lo que fuerza $n$ impar y $n\ge23.$

La posición de Andrea es $\dfrac{3n+1}{2},$ y ella superó a Beth (puesto $37$ ), así que $\dfrac{3n+1}{2}\lt37,$ lo que da $3n\lt73$ y $n\le24.$ El único valor impar es $n=23.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

With $n$ schools there are $3n$ students. Carla placed $64$ th, so $3n\ge64$ and $n\ge22.$

The scores are distinct and Andrea is the median, so $3n$ is odd, forcing $n$ odd and $n\ge23.$

Andrea’s position is $\dfrac{3n+1}{2},$ and she beat Beth ( $37$ th), so $\dfrac{3n+1}{2}\lt37,$ giving $3n\lt73$ and $n\le24.$ The only odd value is $n=23.$

Thus, the correct answer is B.

9.

Sea $n$ el menor entero positivo tal que $n$ es divisible por $20,$ $n^2$ es un cubo perfecto, y $n^3$ es un cuadrado perfecto. ¿Cuántos dígitos tiene $n$ ?

Let $n$ be the smallest positive integer such that $n$ is divisible by $20,$ $n^2$ is a perfect cube, and $n^3$ is a perfect square. What is the number of digits of $n?$

$3$

$4$

$5$

$6$

$7$

Conceptos:factorización en primos potencia perfecta mínimo común múltiplo

Nivel de dificultad: 1520

Pista pequeña:

Escribe $n=2^a\cdot5^b;$ cualquier factor primo adicional solo hace $n$ más grande

Write $n=2^a\cdot5^b;$ any extra prime factor only makes $n$ larger

Pista grande:

$n^2$ cubo fuerza que $a$ y $b$ sean múltiplos de $3;$ $n^3$ cuadrado fuerza que $a$ y $b$ sean múltiplos de $2$

$n^2$ a cube forces $a$ and $b$ to be multiples of $3;$ $n^3$ a square forces $a$ and $b$ to be multiples of $2$

Solución:

Para ser el menor, $n$ usa solo los primos de $20,$ así que $n=2^a\cdot5^b$ con $a\ge2$ y $b\ge1.$

Como $n^2=2^{2a}5^{2b}$ es un cubo perfecto, $a$ y $b$ son múltiplos de $3.$ Como $n^3=2^{3a}5^{3b}$ es un cuadrado perfecto, $a$ y $b$ son múltiplos de $2.$ Por lo tanto $a$ y $b$ son múltiplos de $6.$

La menor elección es $a=b=6,$ así que $n=2^6\cdot5^6=10^6=1{,}000{,}000,$ que tiene $7$ dígitos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

To be smallest, $n$ uses only the primes of $20,$ so $n=2^a\cdot5^b$ with $a\ge2$ and $b\ge1.$

Since $n^2=2^{2a}5^{2b}$ is a perfect cube, $a$ and $b$ are multiples of $3.$ Since $n^3=2^{3a}5^{3b}$ is a perfect square, $a$ and $b$ are multiples of $2.$ Hence $a$ and $b$ are multiples of $6.$

The smallest choice is $a=b=6,$ so $n=2^6\cdot5^6=10^6=1{,}000{,}000,$ which has $7$ digits.

Thus, the correct answer is E.

10.

El promedio de los números $1,$ $2,$ $3,$ $\ldots,$ $98,$ $99,$ y $x$ es $100x.$ ¿Cuánto vale $x$ ?

The average of the numbers $1,$ $2,$ $3,$ $\ldots,$ $98,$ $99,$ and $x$ is $100x.$ What is $x?$

$\dfrac{49}{101}$

$\dfrac{50}{101}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{51}{101}$

$\dfrac{50}{99}$

Conceptos:media sumatoria ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

La suma $1+2+\cdots+99$ es igual a $4950$

The sum $1+2+\cdots+99$ equals $4950$

Pista grande:

$\dfrac{4950+x}{100}=100x$

Solución:

Los números del $1$ al $99$ suman $\dfrac{99\cdot100}{2}=4950.$

La condición del promedio es $\frac{4950+x}{100}=100x,$ así que $4950+x=10000x$ y $9999x=4950.$

Por lo tanto $x=\dfrac{4950}{9999}=\dfrac{50}{101}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The numbers $1$ through $99$ sum to $\dfrac{99\cdot100}{2}=4950.$

The average condition is $\frac{4950+x}{100}=100x,$ so $4950+x=10000x$ and $9999x=4950.$

Thus $x=\dfrac{4950}{9999}=\dfrac{50}{101}.$

Thus, the correct answer is B.

11.

Se elige al azar un palíndromo entre $1000$ y $10{,}000$ . ¿Cuál es la probabilidad de que sea divisible por $7$ ?

A palindrome between $1000$ and $10{,}000$ is chosen at random. What is the probability that it is divisible by $7?$

$\dfrac{1}{10}$

$\dfrac{1}{9}$

$\dfrac{1}{7}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{5}$

Conceptos:palíndromo divisibilidad probabilidad básica

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Un palíndromo de cuatro dígitos $\overline{abba}$ es igual a $1001a+110b$

A four-digit palindrome $\overline{abba}$ equals $1001a+110b$

Pista grande:

$1001=7\cdot11\cdot13$ es divisible por $7,$ pero $110$ no lo es

$1001=7\cdot11\cdot13$ is divisible by $7,$ but $110$ is not

Solución:

Un palíndromo de cuatro dígitos tiene la forma $\overline{abba}=1001a+110b$ con $1\le a\le9$ y $0\le b\le9.$

Como $1001=7\cdot11\cdot13$ es divisible por $7$ y $110$ no lo es, el número es divisible por $7$ exactamente cuando $b$ es divisible por $7,$ es decir $b=0$ o $b=7.$

Para cada $a,$ eso son $2$ de las $10$ opciones de $b,$ una probabilidad de $\dfrac{2}{10}=\dfrac15.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

A four-digit palindrome has the form $\overline{abba}=1001a+110b$ with $1\le a\le9$ and $0\le b\le9.$

Since $1001=7\cdot11\cdot13$ is divisible by $7$ and $110$ is not, the number is divisible by $7$ exactly when $b$ is divisible by $7,$ that is $b=0$ or $b=7.$

For each $a,$ that is $2$ of the $10$ choices of $b,$ a probability of $\dfrac{2}{10}=\dfrac15.$

Thus, the correct answer is E.

12.

¿Para qué valor de $x$ se cumple $\begin{aligned} &\log_{\sqrt2}\sqrt{x}+\log_2 x \\ &\quad {}+\log_4\left(x^2\right)+\log_8\left(x^3\right) \\ &\quad {}+\log_{16}\left(x^4\right)=40? \end{aligned}$

For what value of $x$ does $\begin{aligned} &\log_{\sqrt2}\sqrt{x}+\log_2 x \\ &\quad {}+\log_4\left(x^2\right)+\log_8\left(x^3\right) \\ &\quad {}+\log_{16}\left(x^4\right)=40? \end{aligned}$

$8$

$16$

$32$

$256$

$1024$

Conceptos:logaritmo

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Convierte cada término a base $2;$ sea $L=\log_2 x$

Convert every term to base $2;$ let $L=\log_2 x$

Pista grande:

Cada uno de los cinco términos se simplifica a $L$

Each of the five terms simplifies to $L$

Solución:

Sea $L=\log_2 x.$ Convirtiendo cada término a base $2:$

$\log_{\sqrt2}\sqrt{x}=\dfrac{\frac{L}{2}}{\frac{1}{2}}=L,$ $\log_2 x=L,$ $\log_4 x^2=\dfrac{2L}{2}=L,$ $\log_8 x^3=\dfrac{3L}{3}=L,$ y $\log_{16}x^4=\dfrac{4L}{4}=L.$

La ecuación se convierte en $5L=40,$ así que $L=8$ y $x=2^8=256.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $L=\log_2 x.$ Converting each term to base $2:$

$\log_{\sqrt2}\sqrt{x}=\dfrac{\frac{L}{2}}{\frac{1}{2}}=L,$ $\log_2 x=L,$ $\log_4 x^2=\dfrac{2L}{2}=L,$ $\log_8 x^3=\dfrac{3L}{3}=L,$ and $\log_{16}x^4=\dfrac{4L}{4}=L.$

The equation becomes $5L=40,$ so $L=8$ and $x=2^8=256.$

Thus, the correct answer is D.

13.

En $\triangle ABC,$ $\cos(2A-B)+\sin(A+B)=2$ y $AB=4.$ ¿Cuánto vale $BC$ ?

In $\triangle ABC,$ $\cos(2A-B)+\sin(A+B)=2$ and $AB=4.$ What is $BC?$

$\sqrt{2}$

$\sqrt{3}$

$2$

$2\sqrt{2}$

$2\sqrt{3}$

Conceptos:trigonometría triángulo rectángulo especial acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1560

Pista pequeña:

Tanto un coseno como un seno son a lo sumo $1,$ así que cada uno debe ser igual a $1$

Both a cosine and a sine are at most $1,$ so each must equal $1$

Pista grande:

Resuelve $2A-B=0^\circ$ y $A+B=90^\circ$ para identificar el triángulo

Solve $2A-B=0^\circ$ and $A+B=90^\circ$ to identify the triangle

Solución:

Un coseno más un seno es igual a $2$ solo cuando cada uno es igual a $1.$ Así que $\cos(2A-B)=1$ y $\sin(A+B)=1,$ dando $2A-B=0^\circ$ y $A+B=90^\circ.$

Resolviendo, $A=30^\circ$ y $B=60^\circ,$ así que $\triangle ABC$ es un triángulo rectángulo $30\text{-}60\text{-}90$ con el ángulo recto en $C.$

Con hipotenusa $AB=4,$ el lado $BC$ opuesto al ángulo $30^\circ$ es la mitad de la hipotenusa, así que $BC=2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

A cosine plus a sine equals $2$ only when each equals $1.$ So $\cos(2A-B)=1$ and $\sin(A+B)=1,$ giving $2A-B=0^\circ$ and $A+B=90^\circ.$

Solving, $A=30^\circ$ and $B=60^\circ,$ so $\triangle ABC$ is a $30\text{-}60\text{-}90$ right triangle with the right angle at $C.$

With hypotenuse $AB=4,$ the side $BC$ opposite the $30^\circ$ angle is half the hypotenuse, so $BC=2.$

Thus, the correct answer is C.

14.

Sean $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ y $e$ enteros positivos con $a+b+c+d+e=2010,$ y sea $M$ el mayor de las sumas $a+b,$ $b+c,$ $c+d,$ y $d+e.$ ¿Cuál es el menor valor posible de $M$ ?

Let $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ and $e$ be positive integers with $a+b+c+d+e=2010,$ and let $M$ be the largest of the sums $a+b,$ $b+c,$ $c+d,$ and $d+e.$ What is the smallest possible value of $M?$

$670$

$671$

$802$

$803$

$804$

Conceptos:optimización desigualdad argumento extremal

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

$(a+b)+c+(d+e)=2010,$ y cada uno de $a+b,$ $c,$ y $d+e$ es a lo sumo $M$

$(a+b)+c+(d+e)=2010,$ and each of $a+b,$ $c,$ and $d+e$ is at most $M$

Pista grande:

Esto fuerza $3M\ge2010;$ descarta $M=670,$ luego construye un ejemplo que alcance la cota

This forces $3M\ge2010;$ rule out $M=670,$ then build an example reaching the bound

Solución:

Cada uno de $a+b,$ $d+e,$ y $c$ es a lo sumo $M$ (nota que $c\le c+d\le M$ ). Sumando, $2010=(a+b)+c+(d+e)$ $\le3M,$ así que $M\ge670.$

Si $M=670,$ entonces $c=670,$ pero entonces $b+c\ge671\gt M,$ una contradicción. Por lo tanto $M\ge671.$

El valor $671$ se alcanza con $(a,b,c,d,e)=$ $(669,1,670,1,669),$ cuyas sumas de pares consecutivos son $670,671,671,670.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Each of $a+b,$ $d+e,$ and $c$ is at most $M$ (note $c\le c+d\le M$ ). Adding, $2010=(a+b)+c+(d+e)$ $\le3M,$ so $M\ge670.$

If $M=670,$ then $c=670,$ but then $b+c\ge671\gt M,$ a contradiction. Hence $M\ge671.$

The value $671$ is reached by $(a,b,c,d,e)=$ $(669,1,670,1,669),$ whose consecutive-pair sums are $670,671,671,670.$

Thus, the correct answer is B.

15.

¿Para cuántas ternas ordenadas $(x, y, z)$ de enteros no negativos menores que $20$ hay exactamente dos elementos distintos en el conjunto $\{i^x, (1+i)^y, z\},$ donde $i=\sqrt{-1}$ ?

For how many ordered triples $(x, y, z)$ of nonnegative integers less than $20$ are there exactly two distinct elements in the set $\{i^x, (1+i)^y, z\},$ where $i=\sqrt{-1}?$

$149$

$205$

$215$

$225$

$235$

Conceptos:número complejo análisis por casos conteo básico

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

$|i^x|=1$ siempre, mientras que $(1+i)^y$ tiene magnitud $2^{\frac{y}{2}}$

$|i^x|=1$ always, while $(1+i)^y$ has magnitude $2^{\frac{y}{2}}$

Pista grande:

Divide en tres casos según cuáles dos de las tres entradas coinciden, manteniendo la tercera distinta

Split into three cases by which two of the three entries coincide, keeping the third distinct

Solución:

Necesitamos que exactamente dos de $i^x,$ $(1+i)^y,$ $z$ sean iguales, con el tercero diferente. Los tres casos son los tres posibles pares iguales.

Caso $i^x=(1+i)^y:$ como $|i^x|=1$ pero $|(1+i)^y|=2^{\frac{y}{2}}\gt1$ para $y\ge1,$ necesitamos $y=0,$ así que $(1+i)^0=1$ y $i^x=1,$ es decir $x\in\{0,4,8,12,16\}.$ Entonces $z$ es cualquiera de los $19$ valores distintos de $1.$ Esto da $5\cdot19=95$ ternas.

Caso $i^x=z:$ el único valor entero no negativo de $i^x$ es $1$ (con $x$ múltiplo de $4$ ), así que $z=1$ y $(1+i)^y\ne1,$ lo que significa $y\ge1.$ Esto da $5\cdot19=95$ ternas.

Caso $(1+i)^y=z:$ como $(1+i)^2=2i,$ la potencia $(1+i)^y$ es un entero no negativo menor que $20$ solo para $y=0$ (valor $1$ ) o $y=8$ (valor $16$ ). Si $y=0,\ z=1,$ necesitamos $i^x\ne1,$ así que $x$ no es múltiplo de $4$ ( $15$ valores). Si $y=8,\ z=16,$ entonces $i^x$ nunca es $16,$ así que $x$ es libre ( $20$ valores). Esto da $15+20=35$ ternas.

En total $95+95+35=225.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

We need exactly two of $i^x,$ $(1+i)^y,$ $z$ equal, with the third different. The three cases are the three possible equal pairs.

Case $i^x=(1+i)^y:$ since $|i^x|=1$ but $|(1+i)^y|=2^{\frac{y}{2}}\gt1$ for $y\ge1,$ we need $y=0,$ so $(1+i)^0=1$ and $i^x=1,$ i.e. $x\in\{0,4,8,12,16\}.$ Then $z$ is any of the $19$ values other than $1.$ This gives $5\cdot19=95$ triples.

Case $i^x=z:$ the only nonnegative-integer value of $i^x$ is $1$ (with $x$ a multiple of $4$ ), so $z=1$ and $(1+i)^y\ne1,$ meaning $y\ge1.$ This gives $5\cdot19=95$ triples.

Case $(1+i)^y=z:$ since $(1+i)^2=2i,$ the power $(1+i)^y$ is a nonnegative integer below $20$ only for $y=0$ (value $1$ ) or $y=8$ (value $16$ ). If $y=0,\ z=1,$ we need $i^x\ne1,$ so $x$ is not a multiple of $4$ ( $15$ values). If $y=8,\ z=16,$ then $i^x$ is never $16,$ so $x$ is free ( $20$ values). This gives $15+20=35$ triples.

Altogether $95+95+35=225.$

Thus, the correct answer is D.

16.

Los enteros positivos $a,$ $b,$ y $c$ se seleccionan al azar e independientemente con reemplazo del conjunto $\{1, 2, 3, \ldots, 2010\}.$ ¿Cuál es la probabilidad de que $abc+ab+a$ sea divisible por $3$ ?

Positive integers $a,$ $b,$ and $c$ are randomly and independently selected with replacement from the set $\{1, 2, 3, \ldots, 2010\}.$ What is the probability that $abc+ab+a$ is divisible by $3?$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{29}{81}$

$\dfrac{31}{81}$

$\dfrac{11}{27}$

$\dfrac{13}{27}$

Conceptos:aritmética modular probabilidad básica análisis por casos

Nivel de dificultad: 1810

Pista pequeña:

Factoriza $abc+ab+a=a(bc+b+1);$ cada residuo módulo $3$ es igualmente probable

Factor $abc+ab+a=a(bc+b+1);$ each residue mod $3$ is equally likely

Pista grande:

Si $a$ es divisible por $3$ funciona; de lo contrario se requiere que $bc+b+1$ sea divisible por $3$

If $a$ is divisible by $3$ it works; otherwise require $bc+b+1$ to be divisible by $3$

Solución:

Factoriza $abc+ab+a=a(bc+b+1).$ Como $2010$ es múltiplo de $3,$ cada uno de $a, b, c$ es uniforme módulo $3.$

Si $a$ es divisible por $3$ (probabilidad $\tfrac13$ ), el producto es divisible por $3.$

Si $a$ no es divisible por $3$ (probabilidad $\tfrac23$ ), necesitamos que $bc+b+1$ sea divisible por $3.$ Comprobando residuos, esto se cumple exactamente cuando $(b,c)\equiv(1,1)$ o $(2,0)\pmod3,$ una probabilidad de $\tfrac13\cdot\tfrac13+\tfrac13\cdot\tfrac13=\tfrac29.$

La probabilidad total es $\frac13+\frac23\cdot\frac29=\frac13+\frac{4}{27}=\frac{13}{27}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Factor $abc+ab+a=a(bc+b+1).$ Since $2010$ is a multiple of $3,$ each of $a, b, c$ is uniform modulo $3.$

If $a$ is divisible by $3$ (probability $\tfrac13$ ), the product is divisible by $3.$

If $a$ is not divisible by $3$ (probability $\tfrac23$ ), we need $bc+b+1$ to be divisible by $3.$ Checking residues, this holds exactly when $(b,c)\equiv(1,1)$ or $(2,0)\pmod3,$ a probability of $\tfrac13\cdot\tfrac13+\tfrac13\cdot\tfrac13=\tfrac29.$

The total probability is $\frac13+\frac23\cdot\frac29=\frac13+\frac{4}{27}=\frac{13}{27}.$

Thus, the correct answer is E.

17.

Las entradas de un arreglo $3\times3$ incluyen todos los dígitos del $1$ al $9,$ dispuestos de modo que las entradas de cada fila y columna estén en orden creciente. ¿Cuántos de estos arreglos hay?

The entries in a $3\times3$ array include all the digits from $1$ through $9,$ arranged so that the entries in every row and column are in increasing order. How many such arrays are there?

$18$

$24$

$36$

$42$

$60$

Conceptos:arreglos con restricciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 1980

Pista pequeña:

La entrada superior izquierda debe ser $1$ y la inferior derecha debe ser $9$

The top-left entry is forced to be $1$ and the bottom-right to be $9$

Pista grande:

Divide en casos según la entrada central, que debe ser $4, 5,$ o $6$

Split into cases by the center entry, which must be $4, 5,$ or $6$

Solución:

Escribe $a_{ij}$ para la entrada en la fila $i,$ columna $j.$ Las condiciones fuerzan $a_{11}=1,$ $a_{33}=9,$ y $a_{22}\in\{4,5,6\}.$

Si $a_{22}=4,$ entonces $\{a_{12},a_{21}\}=\{2,3\}$ y $\{5,6,7,8\}$ se divide en pares complementarios que llenan el resto de la última fila y columna: $\binom42=6$ divisiones por $2$ órdenes para $\{2,3\}$ da $12$ arreglos. Por simetría $a_{22}=6$ también da $12.$

Si $a_{22}=5,$ entonces $\{a_{12},a_{13},a_{23}\}$ y $\{a_{21},a_{31},a_{32}\}$ son subconjuntos complementarios de $\{2,3,4,6,7,8\}$ sujetos a las restricciones de orden. El primer conjunto puede ser cualquier subconjunto de tres elementos excepto $\{2,3,4\}$ o $\{6,7,8\},$ lo que da $\binom63-2=18$ arreglos.

En total $12+12+18=42.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Write $a_{ij}$ for the entry in row $i,$ column $j.$ The conditions force $a_{11}=1,$ $a_{33}=9,$ and $a_{22}\in\{4,5,6\}.$

If $a_{22}=4,$ then $\{a_{12},a_{21}\}=\{2,3\}$ and $\{5,6,7,8\}$ split as complementary pairs filling the rest of the last row and column: $\binom42=6$ splits times $2$ orders for $\{2,3\}$ gives $12$ arrays. By symmetry $a_{22}=6$ also gives $12.$

If $a_{22}=5,$ then $\{a_{12},a_{13},a_{23}\}$ and $\{a_{21},a_{31},a_{32}\}$ are complementary subsets of $\{2,3,4,6,7,8\}$ subject to the ordering constraints. The first set can be any three-element subset except $\{2,3,4\}$ or $\{6,7,8\},$ giving $\binom63-2=18$ arrays.

Altogether $12+12+18=42.$

Thus, the correct answer is D.

18.

Una rana da $3$ saltos, cada uno exactamente de $1$ metro de largo. Las direcciones de los saltos se eligen independientemente y al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la posición final de la rana esté a no más de $1$ metro de su posición inicial?

A frog makes $3$ jumps, each exactly $1$ meter long. The directions of the jumps are chosen independently and at random. What is the probability that the frog’s final position is no more than $1$ meter from its starting position?

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

Conceptos:probabilidad geométrica camino aleatorio

Nivel de dificultad: 2030

Pista pequeña:

Fija el salto del medio en un segmento fijo; el inicio y el final dependen de dos ángulos independientes

Anchor the middle jump on a fixed segment; the start and end depend on two independent angles

Pista grande:

Reduce la condición a una región en el plano de esos dos ángulos, luego compara áreas

Reduce the condition to a region in the plane of those two angles, then compare areas

Solución:

Esta es una probabilidad continua (geométrica). Fija el segundo salto de $P=(0,0)$ a $Q=(1,0),$ y sean $\alpha,\beta$ las direcciones del primer y tercer salto, así el inicio es $A=(\cos\alpha,\sin\alpha)$ y el final es $B=(1+\cos\beta,\sin\beta).$

Tomando $0\le\alpha\le\pi$ y $0\le\beta\le2\pi,$ el requisito $AB\le1$ se cumple exactamente cuando $\alpha\le\beta\le\pi.$

En el rectángulo $\alpha\beta$ de área $2\pi^2,$ la región favorable es un triángulo de área $\tfrac{\pi^2}{2},$ así que la probabilidad es $\dfrac{\frac{\pi^2}{2}}{2\pi^2}=\dfrac14.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

This is a continuous (geometric) probability. Anchor the second jump from $P=(0,0)$ to $Q=(1,0),$ and let $\alpha,\beta$ be the directions of the first and third jumps, so the start is $A=(\cos\alpha,\sin\alpha)$ and the end is $B=(1+\cos\beta,\sin\beta).$

Taking $0\le\alpha\le\pi$ and $0\le\beta\le2\pi,$ the requirement $AB\le1$ holds exactly when $\alpha\le\beta\le\pi.$

In the $\alpha\beta$ -rectangle of area $2\pi^2,$ the favorable region is a triangle of area $\tfrac{\pi^2}{2},$ so the probability is $\dfrac{\frac{\pi^2}{2}}{2\pi^2}=\dfrac14.$

Thus, the correct answer is C.

19.

Un partido de baloncesto de secundaria entre los Raiders y los Wildcats estaba empatado al final del primer cuarto. El número de puntos anotados por los Raiders en cada uno de los cuatro cuartos formó una sucesión geométrica creciente, y el número de puntos anotados por los Wildcats en cada uno de los cuatro cuartos formó una sucesión aritmética creciente. Al final del cuarto período, los Raiders habían ganado por un punto. Ninguno de los dos equipos anotó más de $100$ puntos. ¿Cuál fue el número total de puntos anotados por los dos equipos en la primera mitad?

A high school basketball game between the Raiders and the Wildcats was tied at the end of the first quarter. The number of points scored by the Raiders in each of the four quarters formed an increasing geometric sequence, and the number of points scored by the Wildcats in each of the four quarters formed an increasing arithmetic sequence. At the end of the fourth quarter, the Raiders had won by one point. Neither team scored more than $100$ points. What was the total number of points scored by the two teams in the first half?

$30$

$31$

$32$

$33$

$34$

Conceptos:sucesión geométrica sucesión aritmética acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 2180

Pista pequeña:

Sea el puntaje de los Raiders $a, ar, ar^2, ar^3$ y el de los Wildcats $a, a+d, a+2d, a+3d,$ empatados en $a$

Let the Raiders score $a, ar, ar^2, ar^3$ and the Wildcats $a, a+d, a+2d, a+3d,$ tied at $a$

Pista grande:

Los totales difieren en $1$ y ambos se mantienen por debajo de $100,$ lo que fuerza valores pequeños

The totals differ by $1$ and both stay under $100,$ which forces small values

Solución:

Sean los puntajes de los Raiders $a, ar, ar^2, ar^3$ (una progresión geométrica creciente, $r\gt1$ ) y los de los Wildcats $a, a+d, a+2d, a+3d$ (una progresión aritmética creciente), con empate en el primer cuarto en $a.$

Escribamos $r=\frac{m}{n}$ en términos mínimos, con $m\gt n.$ Como $ar^3$ es entero, $a$ es divisible por $n^3;$ sea $a=A n^3.$ El total de los Raiders es $R=A(n^3+mn^2+m^2n+m^3).$ Como $m^3\lt R\le100,$ tenemos $m\le4.$ El par $(4,3)$ ya hace que la suma entre paréntesis sea $175,$ así que los únicos pares coprimos posibles $(m,n)$ son $(2,1),(3,1),(3,2),(4,1).$

Los valores correspondientes de $\frac{R}{A}$ son $15,40,65,85.$ Para $(4,1)$ y $(3,2),$ la cota obliga a que $A=1,$ pero $R-1=4a+6d$ da un valor no entero de $d.$ Para $(3,1),$ se obtendría $36A-1=6d,$ lo cual es imposible módulo $6.$

Para $(m,n)=(2,1),$ tenemos $R=15A$ y $a=A,$ de modo que $11A-1=6d.$ Por tanto, $A\equiv5\pmod6,$ y $R\le100$ obliga a $A=5.$ Entonces $d=9,$ con puntajes de los Raiders $5,10,20,40$ y de los Wildcats $5,14,23,32.$ Los Raiders ganan $75$ a $74.$

El total de la primera mitad es $(5+10)+(5+14)=34.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let the Raiders score $a, ar, ar^2, ar^3$ (increasing geometric, $r\gt1$ ) and the Wildcats $a, a+d, a+2d, a+3d$ (increasing arithmetic), tied in the first quarter at $a.$

Write $r=\frac{m}{n}$ in lowest terms, with $m\gt n.$ Since $ar^3$ is an integer, $a$ is divisible by $n^3;$ put $a=A n^3.$ The Raiders’ total is $R=A(n^3+mn^2+m^2n+m^3).$ Since $m^3\lt R\le100,$ we have $m\le4.$ The pair $(4,3)$ already makes the parenthesized sum $175,$ so the only possible coprime pairs $(m,n)$ are $(2,1),(3,1),(3,2),(4,1).$

The corresponding base values of $\frac{R}{A}$ are $15,40,65,85.$ For $(4,1)$ and $(3,2),$ the bound forces $A=1,$ but $R-1=4a+6d$ gives a nonintegral $d.$ For $(3,1),$ it would give $36A-1=6d,$ which is impossible modulo $6.$

For $(m,n)=(2,1),$ we have $R=15A$ and $a=A,$ so $11A-1=6d.$ Thus $A\equiv5\pmod6,$ and $R\le100$ forces $A=5.$ Then $d=9,$ giving Raiders scores $5,10,20,40$ and Wildcats scores $5,14,23,32.$ The Raiders win $75$ to $74.$

The first-half total is $(5+10)+(5+14)=34.$

Thus, the correct answer is E.

20.

Una sucesión geométrica $(a_n)$ tiene $a_1=\sin x,$ $a_2=\cos x,$ y $a_3=\tan x$ para algún número real $x.$ ¿Para qué valor de $n$ se cumple $a_n=1+\cos x$ ?

A geometric sequence $(a_n)$ has $a_1=\sin x,$ $a_2=\cos x,$ and $a_3=\tan x$ for some real number $x.$ For what value of $n$ does $a_n=1+\cos x?$

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

Conceptos:sucesión geométrica identidad trigonométrica

Nivel de dificultad: 2240

Pista pequeña:

La razón común es $r=\dfrac{\cos x}{\sin x}=\cot x;$ calcula $a_4=a_3\cdot r$

The common ratio is $r=\dfrac{\cos x}{\sin x}=\cot x;$ compute $a_4=a_3\cdot r$

Pista grande:

Muestra que $a_4=1$ y $1+\cos x=r^4,$ luego escribe $1+\cos x$ como $a_4\cdot r^4$

Show $a_4=1$ and $1+\cos x=r^4,$ then write $1+\cos x$ as $a_4\cdot r^4$

Solución:

La razón común es $r=\dfrac{a_2}{a_1}=\cot x.$ Entonces $a_4=a_3\cdot r=\tan x\cot x=1.$

De $a_3=a_1r^2,$ obtenemos $\tan x=\sin x\cot^2 x=\dfrac{\cos^2 x}{\sin x},$ así que $\sin^2 x=\cos^3 x,$ es decir $(\cos^2 x)(1+\cos x)=1.$

Por lo tanto $1+\cos x=\dfrac{1}{\cos^2 x}.$ También $r^2=\dfrac{\cos^2 x}{\sin^2 x}=\dfrac{\cos^2 x}{\cos^3 x}=\dfrac{1}{\cos x},$ así que $r^4=\dfrac{1}{\cos^2 x}=1+\cos x.$

Por lo tanto $1+\cos x=a_4\cdot r^4=a_8,$ así que $n=8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The common ratio is $r=\dfrac{a_2}{a_1}=\cot x.$ Then $a_4=a_3\cdot r=\tan x\cot x=1.$

From $a_3=a_1r^2,$ we get $\tan x=\sin x\cot^2 x=\dfrac{\cos^2 x}{\sin x},$ so $\sin^2 x=\cos^3 x,$ i.e. $(\cos^2 x)(1+\cos x)=1.$

Hence $1+\cos x=\dfrac{1}{\cos^2 x}.$ Also $r^2=\dfrac{\cos^2 x}{\sin^2 x}=\dfrac{\cos^2 x}{\cos^3 x}=\dfrac{1}{\cos x},$ so $r^4=\dfrac{1}{\cos^2 x}=1+\cos x.$

Therefore $1+\cos x=a_4\cdot r^4=a_8,$ so $n=8.$

Thus, the correct answer is E.

21.

Sea $a\gt0,$ y sea $P(x)$ un polinomio con coeficientes enteros tal que $\begin{aligned} &P(1)=P(3)=P(5) \\ &\quad {}=P(7)=a, \end{aligned}$ y $\begin{aligned} &P(2)=P(4)=P(6) \\ &\quad {}=P(8)=-a. \end{aligned}$ ¿Cuál es el menor valor posible de $a$ ?

Let $a\gt0,$ and let $P(x)$ be a polynomial with integer coefficients such that $\begin{aligned} &P(1)=P(3)=P(5) \\ &\quad {}=P(7)=a, \end{aligned}$ and $\begin{aligned} &P(2)=P(4)=P(6) \\ &\quad {}=P(8)=-a. \end{aligned}$ What is the smallest possible value of $a?$

$105$

$315$

$945$

$7!$

$8!$

Conceptos:polinomio divisibilidad mínimo común múltiplo

Nivel de dificultad: 2300

Pista pequeña:

$P(x)-a=(x-1)(x-3)$ $\cdot(x-5)(x-7)Q(x)$ para algún polinomio entero $Q$

$P(x)-a=(x-1)(x-3)$ $\cdot(x-5)(x-7)Q(x)$ for some integer polynomial $Q$

Pista grande:

Evalúa en $x=2,4,6,8$ para forzar que $2a$ sea divisible por $\operatorname{lcm}(15,9,105)$

Evaluate at $x=2,4,6,8$ to force $2a$ to be divisible by $\operatorname{lcm}(15,9,105)$

Solución:

Como $1, 3, 5, 7$ son raíces de $P(x)-a,$ escribe $P(x)-a=(x-1)(x-3)$ $\cdot(x-5)(x-7)Q(x)$ con $Q$ teniendo coeficientes enteros.

Evaluando en $x=2, 4, 6, 8$ (donde $P=-a$ ) se obtiene $\begin{aligned} -2a &=-15\,Q(2) \\ &=9\,Q(4) \\ &=-15\,Q(6) \\ &=105\,Q(8). \end{aligned}$

Así que $15, 9,$ y $105$ dividen todos a $2a,$ por lo que $\operatorname{lcm}(15,9,105)=315$ divide a $2a.$ Como $315$ es impar, $a$ es divisible por $315,$ así que $a\ge315.$

Para alcanzar esa cota, sea $\begin{aligned} F(x)&=(x-1)(x-3) \\ &\quad\cdot(x-5)(x-7), \\ Q(x)&=42+(x-2)(x-6) \\ &\quad\cdot(60-8x), \\ P(x)&=315+F(x)Q(x). \end{aligned}$ Este polinomio de coeficientes enteros vale $315$ en $1,3,5,7.$ En $2,4,$ los pares $(F(x),Q(x))$ son $(-15,42),(9,-70),$ y en $6,8$ son $(-15,42),(105,-6).$ Así, $F(x)Q(x)=-630$ en cada caso y $P(x)=-315.$ Por lo tanto, la cota es alcanzable.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since $1, 3, 5, 7$ are roots of $P(x)-a,$ write $P(x)-a=(x-1)(x-3)$ $\cdot(x-5)(x-7)Q(x)$ with $Q$ having integer coefficients.

Evaluating at $x=2, 4, 6, 8$ (where $P=-a$ ) gives $\begin{aligned} -2a &=-15\,Q(2) \\ &=9\,Q(4) \\ &=-15\,Q(6) \\ &=105\,Q(8). \end{aligned}$

So $15, 9,$ and $105$ all divide $2a,$ hence $\operatorname{lcm}(15,9,105)=315$ divides $2a.$ Since $315$ is odd, $a$ is divisible by $315,$ so $a\ge315.$

To attain the bound, let $\begin{aligned} F(x)&=(x-1)(x-3) \\ &\quad\cdot(x-5)(x-7), \\ Q(x)&=42+(x-2)(x-6) \\ &\quad\cdot(60-8x), \\ P(x)&=315+F(x)Q(x). \end{aligned}$ This integer polynomial equals $315$ at $1,3,5,7.$ At $2,4,$ the pairs $(F(x),Q(x))$ are $(-15,42),(9,-70),$ and at $6,8$ they are $(-15,42),(105,-6).$ Thus $F(x)Q(x)=-630$ each time and $P(x)=-315.$ Hence the bound is attainable.

Thus, the correct answer is B.

22.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico. Las longitudes de los lados de $ABCD$ son enteros distintos menores que $15$ tales que $BC\cdot CD=AB\cdot DA.$ ¿Cuál es el mayor valor posible de $BD$ ?

Let $ABCD$ be a cyclic quadrilateral. The side lengths of $ABCD$ are distinct integers less than $15$ such that $BC\cdot CD=AB\cdot DA.$ What is the largest possible value of $BD?$

$\sqrt{\dfrac{325}{2}}$

$\sqrt{185}$

$\sqrt{\dfrac{389}{2}}$

$\sqrt{\dfrac{425}{2}}$

$\sqrt{\dfrac{533}{2}}$

Conceptos:cuadrilátero cíclico Teorema de Ptolomeo optimización

Nivel de dificultad: 2420

Pista pequeña:

Sea $a=AB,$ $b=BC,$ $c=CD,$ $d=DA$ con $bc=ad=k;$ comparar áreas da $(ab+cd)\cdot AC=2k\cdot BD$

Let $a=AB,$ $b=BC,$ $c=CD,$ $d=DA$ with $bc=ad=k;$ comparing areas gives $(ab+cd)\cdot AC=2k\cdot BD$

Pista grande:

Con Ptolomeo $AC\cdot BD=ac+bd,$ elimina $AC$ para obtener $BD^2=\tfrac12(a^2+b^2+c^2+d^2)$

With Ptolemy’s $AC\cdot BD=ac+bd,$ eliminate $AC$ to get $BD^2=\tfrac12(a^2+b^2+c^2+d^2)$

Solución:

Sean $a=AB,$ $b=BC,$ $c=CD,$ $d=DA$ y $k=bc=ad.$ Al expresar el área de cada triángulo mediante el circunradio y usar $[ABC]+[CDA]=$ $[BCD]+[ABD]$ , se obtiene $(ab+cd)\cdot AC=2k\cdot BD.$

El teorema de Ptolomeo da $AC\cdot BD=ac+bd.$ Al eliminar $AC,$ $\begin{aligned} BD^2 &=\frac{(ac+bd)(ab+cd)}{2k} \\ &=\frac12\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right). \end{aligned}$

Los lados son enteros distintos menores que $15$ con $bc=ad,$ así que no puede aparecer ni $11$ ni $13$ (cada uno es primo y necesitaría un factor correspondiente en el otro lado).

Si el lado mayor es a lo sumo $12,$ la suma de los cuatro cuadrados es a lo sumo $12^2+10^2+9^2+8^2=389,$ pues no se puede usar $11$ .

Supongamos ahora que el lado mayor es $14,$ y escribamos los demás como $s_1\gt s_2\gt s_3.$ La condición de productos debe emparejar $14$ con $s_3,$ por lo que $14s_3=s_1s_2.$ Entonces uno de $s_1,s_2$ es $7.$ Si $s_1=7,$ la suma de cuadrados es menor que $14^2+7^2+6^2+5^2=306.$ Si $s_2=7,$ entonces $s_1=2s_3,$ y la mayor posibilidad es $(s_1,s_2,s_3)=(12,7,6).$ Así, $\begin{aligned} 2BD^2 &=14^2+12^2+7^2+6^2 \\ &=425, \end{aligned}$ de modo que $BD\le\sqrt{\dfrac{425}{2}}.$ Se alcanza la igualdad con el cuadrilátero cíclico de lados en orden $(a,b,c,d)=(14,12,7,6),$ para el cual $bc=ad=84.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $a=AB,$ $b=BC,$ $c=CD,$ $d=DA$ and $k=bc=ad.$ Writing each triangle’s area in terms of the circumradius and using $[ABC]+[CDA]=$ $[BCD]+[ABD]$ gives $(ab+cd)\cdot AC=2k\cdot BD.$

Ptolemy’s theorem gives $AC\cdot BD=ac+bd.$ Eliminating $AC,$ $\begin{aligned} BD^2 &=\frac{(ac+bd)(ab+cd)}{2k} \\ &=\frac12\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right). \end{aligned}$

The sides are distinct integers below $15$ with $bc=ad,$ so neither $11$ nor $13$ can appear (each is prime and would need a matching factor on the other side).

If the largest side is at most $12,$ the four squares sum to at most $12^2+10^2+9^2+8^2=389,$ because $11$ is unavailable.

Now suppose the largest side is $14,$ and write the others as $s_1\gt s_2\gt s_3.$ The product condition must pair $14$ with $s_3,$ so $14s_3=s_1s_2.$ Hence one of $s_1,s_2$ equals $7.$ If $s_1=7,$ the sum of squares is less than $14^2+7^2+6^2+5^2=306.$ If $s_2=7,$ then $s_1=2s_3,$ so the largest possibility is $(s_1,s_2,s_3)=(12,7,6).$ Thus $\begin{aligned} 2BD^2 &=14^2+12^2+7^2+6^2 \\ &=425, \end{aligned}$ so $BD\le\sqrt{\dfrac{425}{2}}.$ Equality is attained by the cyclic quadrilateral with side order $(a,b,c,d)=(14,12,7,6),$ for which $bc=ad=84.$

Thus, the correct answer is D.

23.

Los polinomios cuadráticos mónicos $P(x)$ y $Q(x)$ tienen la propiedad de que $P(Q(x))$ tiene ceros en $x=-23,$ $-21,$ $-17,$ y $-15,$ y $Q(P(x))$ tiene ceros en $x=-59,$ $-57,$ $-51,$ y $-49.$ ¿Cuál es la suma de los valores mínimos de $P(x)$ y $Q(x)$ ?

Monic quadratic polynomials $P(x)$ and $Q(x)$ have the property that $P(Q(x))$ has zeros at $x=-23,$ $-21,$ $-17,$ and $-15,$ and $Q(P(x))$ has zeros at $x=-59,$ $-57,$ $-51,$ and $-49.$ What is the sum of the minimum values of $P(x)$ and $Q(x)?$

$-100$

$-82$

$-73$

$-64$

$0$

Conceptos:polinomio completar el cuadrado simetría (álgebra)

Nivel de dificultad: 2420

Pista pequeña:

Escribe $P(x)=(x-h_1)^2-k_1^2$ y $Q(x)=(x-h_2)^2-k_2^2;$ los ceros de $P(Q(x))$ son simétricos respecto a $x=h_2$

Write $P(x)=(x-h_1)^2-k_1^2$ and $Q(x)=(x-h_2)^2-k_2^2;$ the zeros of $P(Q(x))$ are symmetric about $x=h_2$

Pista grande:

Los valores mínimos son $-k_1^2$ y $-k_2^2;$ halla $k_1,k_2$ a partir de los espaciamientos de los ceros dados

The minimum values are $-k_1^2$ and $-k_2^2;$ find $k_1,k_2$ from the spacings of the given zeros

Solución:

Si $P$ tuviera una sola raíz real, entonces $P(Q(x))=0$ tendría a lo sumo dos soluciones reales, no cuatro. Por tanto, $P$ tiene dos raíces reales distintas, y el mismo argumento se aplica a $Q.$ Escribamos $P(x)=(x-h_1)^2-k_1^2$ y $Q(x)=(x-h_2)^2-k_2^2,$ con $k_1,k_2\gt0$ y valores mínimos $-k_1^2$ y $-k_2^2.$

Los ceros de $P(Q(x))$ ocurren cuando $Q(x)=h_1\pm k_1;$ sus cuatro soluciones son simétricas respecto de $h_2,$ así que $h_2$ es el promedio $\tfrac{-23-21-17-15}{4}=-19.$ Entonces $Q(-15)-Q(-17)$ $=(16-k_2^2)-(4-k_2^2)$ $=12,$ y esta diferencia es $2k_1,$ por lo que $k_1=6.$

Simétricamente, $h_1=\tfrac{-59-57-51-49}{4}=-54,$ y $P(-49)-P(-51)$ $=(25-k_1^2)-(9-k_1^2)$ $=16=2k_2,$ así que $k_2=8.$

La suma de los valores mínimos es $-k_1^2-k_2^2=-36-64=-100.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

If $P$ had only one real root, then $P(Q(x))=0$ would have at most two real solutions, not four. Thus $P$ has two distinct real roots, and the same argument applies to $Q.$ Write $P(x)=(x-h_1)^2-k_1^2$ and $Q(x)=(x-h_2)^2-k_2^2,$ with $k_1,k_2\gt0$ and minimum values $-k_1^2$ and $-k_2^2.$

The zeros of $P(Q(x))$ occur where $Q(x)=h_1\pm k_1;$ their four solutions are symmetric about $h_2,$ so $h_2$ is the average $\tfrac{-23-21-17-15}{4}=-19.$ Then $Q(-15)-Q(-17)$ $=(16-k_2^2)-(4-k_2^2)$ $=12,$ and this difference equals $2k_1,$ so $k_1=6.$

Symmetrically, $h_1=\tfrac{-59-57-51-49}{4}=-54,$ and $P(-49)-P(-51)$ $=(25-k_1^2)-(9-k_1^2)$ $=16=2k_2,$ so $k_2=8.$

The sum of the minimum values is $-k_1^2-k_2^2=-36-64=-100.$

Thus, the correct answer is A.

24.

El conjunto de números reales $x$ para los cuales $\begin{aligned} &\frac{1}{x-2009}+\frac{1}{x-2010} \\ &\quad {}+\frac{1}{x-2011}\ge1 \end{aligned}$ es la unión de intervalos de la forma $a\lt x\le b.$ ¿Cuál es la suma de las longitudes de estos intervalos?

The set of real numbers $x$ for which $\begin{aligned} &\frac{1}{x-2009}+\frac{1}{x-2010} \\ &\quad {}+\frac{1}{x-2011}\ge1 \end{aligned}$ is the union of intervals of the form $a\lt x\le b.$ What is the sum of the lengths of these intervals?

$\dfrac{1003}{335}$

$\dfrac{1004}{335}$

$3$

$\dfrac{403}{134}$

$\dfrac{202}{67}$

Conceptos:ecuación racional desigualdad Fórmulas de Vieta

Nivel de dificultad: 2320

Pista pequeña:

El lado izquierdo es decreciente en cada intervalo entre sus asíntotas verticales, así que cada intervalo solución termina en una raíz de la ecuación $=1$

The left side is decreasing on each interval between its vertical asymptotes, so each solution interval ends at a root of the equation $=1$

Pista grande:

Los tres extremos derechos son las raíces de una cúbica; súmalos con Vieta

The three right endpoints are the roots of a cubic; sum them with Vieta

Solución:

Sea $f(x)$ el lado izquierdo. En cada intervalo entre asíntotas consecutivas $2009, 2010, 2011,$ la función $f$ es decreciente, y $f\lt1$ para todo $x\lt2009.$

En cada uno de $(2009,2010),$ $(2010,2011),$ y $(2011,\infty),$ la solución es la parte desde la asíntota izquierda hasta un valor $x_i$ donde $f(x_i)=1.$ Así que el conjunto solución consta de tres intervalos con extremos izquierdos $2009, 2010, 2011$ y extremos derechos $x_1, x_2, x_3.$

La longitud total es $(x_1-2009)$ $+(x_2-2010)$ $+(x_3-2011)$ $=x_1+x_2+x_3-6030.$

Al eliminar los denominadores en $f(x)=1$ se obtiene $\begin{aligned} &x^3 \\ &\quad \small{}-(2009+2010+2011+3)x^2 \\ &\quad {}+\cdots=0, \end{aligned}$ cuyas raíces son $x_1, x_2, x_3.$ Por Vieta, $x_1+x_2+x_3=6033,$ así que la suma de las longitudes es $6033-6030=3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $f(x)$ be the left-hand side. On each interval between consecutive asymptotes $2009, 2010, 2011,$ the function $f$ is decreasing, and $f\lt1$ for all $x\lt2009.$

On each of $(2009,2010),$ $(2010,2011),$ and $(2011,\infty),$ the solution is the part from the left asymptote up to a value $x_i$ where $f(x_i)=1.$ So the solution set consists of three intervals with left endpoints $2009, 2010, 2011$ and right endpoints $x_1, x_2, x_3.$

The total length is $(x_1-2009)$ $+(x_2-2010)$ $+(x_3-2011)$ $=x_1+x_2+x_3-6030.$

Clearing denominators in $f(x)=1$ gives $\begin{aligned} &x^3 \\ &\quad \small{}-(2009+2010+2011+3)x^2 \\ &\quad {}+\cdots=0, \end{aligned}$ whose roots are $x_1, x_2, x_3.$ By Vieta, $x_1+x_2+x_3=6033,$ so the sum of lengths is $6033-6030=3.$

Thus, the correct answer is C.

25.

Para todo entero $n\ge2,$ sea $\operatorname{pow}(n)$ la mayor potencia del mayor primo que divide a $n.$ Por ejemplo, $\operatorname{pow}(144)=\operatorname{pow}(2^4\cdot3^2)=3^2.$ ¿Cuál es el mayor entero $m$ tal que $2010^m$ divide a $\prod_{n=2}^{5300}\operatorname{pow}(n)?$

For every integer $n\ge2,$ let $\operatorname{pow}(n)$ be the largest power of the largest prime that divides $n.$ For example, $\operatorname{pow}(144)=\operatorname{pow}(2^4\cdot3^2)=3^2.$ What is the largest integer $m$ such that $2010^m$ divides $\prod_{n=2}^{5300}\operatorname{pow}(n)?$

$74$

$75$

$76$

$77$

$78$

Conceptos:factorización en primos primo conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 2640

Pista pequeña:

$2010=2\cdot3\cdot5\cdot67;$ halla el exponente de cada primo en el producto y toma el mínimo

$2010=2\cdot3\cdot5\cdot67;$ find the exponent of each prime in the product and take the minimum

Pista grande:

$\operatorname{pow}(n)$ aporta un primo $p$ solo cuando $p$ es el mayor factor primo de $n$

$\operatorname{pow}(n)$ contributes a prime $p$ only when $p$ is the largest prime factor of $n$

Solución:

Como $2010=2\cdot3\cdot5\cdot67,$ escribamos el producto como $2^A3^B5^C67^D$ multiplicado por un factor coprimo con los cuatro primos; entonces $m=\min(A,B,C,D).$

Primo $2:$ $\operatorname{pow}(n)$ es una potencia de $2$ solo cuando $n=2^k.$ Como $2^{12}=4096\lt5300\lt2^{13},$ los valores $k=1,\ldots,12$ aportan $A=1+2+\cdots+12=78.$

Primo $67:$ Tenemos $\operatorname{pow}(n)=67$ cuando $67$ es el mayor factor primo, es decir, $n=67j$ con $1\le j\le79$ y todo factor primo de $j$ a lo sumo $67;$ al excluir $j=67, 71, 73, 79$ quedan $75$ valores. El único $n$ con $\operatorname{pow}(n)=67^2$ es $n=67^2\lt5300,$ que agrega $2.$ Por tanto, $D=75+2=77.$

Primo $3:$ Para $n=2^a3^b$ con $b=1,2,3,4,$ las cantidades de exponentes permitidos $a$ son $11,10,8,7,$ respectivamente. Estos términos por sí solos aportan $\begin{aligned} B&\ge11+2\cdot10 \\ &\quad+3\cdot8+4\cdot7=83. \end{aligned}$

Primo $5:$ Escribamos $n=2^a3^c5^b.$ Para $b=1,$ los conteos sobre $c=0,\ldots,6$ suman $11+9+7+6+4+3+1=41.$ Para $b=2,$ suman $8+7+5+3+2=25,$ y cada uno aporta dos factores de $5.$ Por tanto, $C\ge41+2\cdot25=91.$

Así, $m=\min(78,B,C,77)=77.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $2010=2\cdot3\cdot5\cdot67,$ write the product as $2^A3^B5^C67^D$ times a factor coprime to all four primes; then $m=\min(A,B,C,D).$

Prime $2:$ $\operatorname{pow}(n)$ is a power of $2$ only when $n=2^k.$ Since $2^{12}=4096\lt5300\lt2^{13},$ the values $k=1,\ldots,12$ contribute $A=1+2+\cdots+12=78.$

Prime $67:$ $\operatorname{pow}(n)=67$ when $67$ is the largest prime factor, i.e. $n=67j$ with $1\le j\le79$ and every prime factor of $j$ at most $67;$ excluding $j=67, 71, 73, 79$ leaves $75$ values. The one $n$ with $\operatorname{pow}(n)=67^2$ is $n=67^2\lt5300,$ adding $2.$ So $D=75+2=77.$

Prime $3:$ For $n=2^a3^b$ with $b=1,2,3,4,$ the numbers of allowable exponents $a$ are $11,10,8,7,$ respectively. These terms alone contribute $\begin{aligned} B&\ge11+2\cdot10 \\ &\quad+3\cdot8+4\cdot7=83. \end{aligned}$

Prime $5:$ Write $n=2^a3^c5^b.$ For $b=1,$ the counts over $c=0,\ldots,6$ total $11+9+7+6+4+3+1=41.$ For $b=2,$ the counts total $8+7+5+3+2=25,$ each contributing two factors of $5.$ Hence $C\ge41+2\cdot25=91.$

Therefore $m=\min(78,B,C,77)=77.$

Thus, the correct answer is D.