Question

Una lista de $11$ enteros positivos tiene una media de $10,$ una mediana de $9,$ y una única moda de $8.$ ¿Cuál es el mayor valor posible de un entero de la lista?

A list of $11$ positive integers has a mean of $10,$ a median of $9,$ and a unique mode of $8.$ What is the largest possible value of an integer in the list?

$24$

$30$

$31$

$33$

$35$

Solución:

La lista suma $11 \cdot 10 = 110.$ Para maximizar una entrada, minimiza la suma de las otras diez.

Ordenados, el sexto número debe ser $9$ (la mediana), y $8$ debe aparecer más veces que cualquier otro valor. Probando $8$ tres veces, los diez números más pequeños posibles son $1,1,8,8,8,9,9,10,10,11,$ que suman $75$ y mantienen a $8$ como la única moda.

La entrada más grande es entonces $110 - 75 = 35.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The list sums to $11 \cdot 10 = 110.$ To maximize one entry, minimize the sum of the other ten.

Sorted, the sixth number must be $9$ (the median), and $8$ must appear more often than any other value. Trying $8$ three times, the smallest possible ten numbers are $1,1,8,8,8,9,9,10,10,11,$ which sum to $75$ and keep $8$ the unique mode.

The largest entry is then $110 - 75 = 35.$

Thus, the correct answer is E.

2014 AMC 12B Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años