Soluciones del 2014 AMC 12B | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Leah tiene $13$ monedas, todas de un centavo (pennies) y de cinco centavos (nickels). Si tuviera un nickel más de los que tiene ahora, entonces tendría la misma cantidad de pennies y de nickels. En centavos, ¿cuánto valen las monedas de Leah?

Leah has $13$ coins, all of which are pennies and nickels. If she had one more nickel than she has now, then she would have the same number of pennies and nickels. In cents, how much are Leah’s coins worth?

$33$

$35$

$37$

$39$

$41$

Conceptos:ecuación lineal dinero

Nivel de dificultad: 920

Pista pequeña:

Sea $n$ el número de nickels, de modo que hay $13-n$ pennies.

Let $n$ be the number of nickels, so there are $13-n$ pennies

Pista grande:

Agregar un nickel da $n+1$ nickels, que debe ser igual a los $13-n$ pennies.

Adding one nickel gives $n+1$ nickels, which must equal the $13-n$ pennies

Solución:

Sea $n$ el número de nickels, así que Leah tiene $13-n$ pennies. Un nickel más le daría $n+1$ nickels, y esto es igual al número de pennies: $n+1 = 13-n.$ Al resolver se obtiene $n=6,$ por lo que hay $6$ nickels y $7$ pennies.

El valor total es $6\cdot5 + 7 = 37$ centavos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $n$ be the number of nickels, so Leah has $13-n$ pennies. One more nickel would give her $n+1$ nickels, and this equals the number of pennies: $n+1 = 13-n.$ Solving gives $n=6,$ so there are $6$ nickels and $7$ pennies.

The total value is $6\cdot5 + 7 = 37$ cents.

Thus, the correct answer is C.

2.

Orvin fue a la tienda con dinero justo para comprar $30$ globos. Al llegar descubrió que la tienda tenía una oferta especial en globos: compra $1$ globo al precio regular y obtén un segundo con $\tfrac13$ de descuento sobre el precio regular. ¿Cuál es el mayor número de globos que Orvin podría comprar?

Orvin went to the store with just enough money to buy $30$ balloons. When he arrived he discovered that the store had a special sale on balloons: buy $1$ balloon at the regular price and get a second at $\tfrac13$ off the regular price. What is the greatest number of balloons Orvin could buy?

$33$

$34$

$36$

$38$

$39$

Conceptos:razón y proporción dinero

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

Agrupa los globos en parejas, uno a precio completo y otro a $\tfrac23$ del precio.

Group the balloons into pairs, one at full price and one at $\tfrac23$ of the price

Pista grande:

Cada pareja cuesta $\tfrac53$ del precio de un globo regular.

Each pair costs $\tfrac53$ of a regular balloon’s price

Solución:

Con la oferta, una pareja de globos cuesta $1 + \tfrac23 = \tfrac53$ veces el precio regular de un globo.

El dinero de Orvin compra $30$ globos al precio regular, así que puede pagar $30 \div \tfrac53 = 18$ parejas, es decir $36$ globos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Under the sale, a pair of balloons costs $1 + \tfrac23 = \tfrac53$ times the regular price of one balloon.

Orvin’s money buys $30$ balloons at the regular price, so he can afford $30 \div \tfrac53 = 18$ pairs, which is $36$ balloons.

Thus, the correct answer is C.

3.

Randy condujo el primer tercio de su viaje por un camino de grava, las siguientes $20$ millas por pavimento, y el quinto restante por un camino de tierra. En millas, ¿qué tan largo fue el viaje de Randy?

Randy drove the first third of his trip on a gravel road, the next $20$ miles on pavement, and the remaining one-fifth on a dirt road. In miles, how long was Randy’s trip?

$30$

$\dfrac{400}{11}$

$\dfrac{75}{2}$

$40$

$\dfrac{300}{7}$

Conceptos:fracción ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1150

Pista pequeña:

El tramo pavimentado es la fracción del viaje que no está en grava ni en tierra.

The paved stretch is the fraction of the trip not on gravel or dirt

Pista grande:

Esa fracción pavimentada $1-\tfrac13-\tfrac15$ es igual a $20$ millas.

That paved fraction $1-\tfrac13-\tfrac15$ equals $20$ miles

Solución:

La fracción del viaje sobre pavimento es $1 - \tfrac13 - \tfrac15 = \tfrac{7}{15}.$

Como esto es igual a $20$ millas, el viaje completo mide $20 \div \tfrac{7}{15} = \tfrac{300}{7}$ millas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The fraction of the trip on pavement is $1 - \tfrac13 - \tfrac15 = \tfrac{7}{15}.$

Since this equals $20$ miles, the whole trip is $20 \div \tfrac{7}{15} = \tfrac{300}{7}$ miles.

Thus, the correct answer is E.

4.

Susie paga $4$ muffins y $3$ plátanos. Calvin gasta el doble pagando $2$ muffins y $16$ plátanos. ¿Cuántas veces más caro es un muffin que un plátano?

Susie pays for $4$ muffins and $3$ bananas. Calvin spends twice as much paying for $2$ muffins and $16$ bananas. A muffin is how many times as expensive as a banana?

$\dfrac{3}{2}$

$\dfrac{5}{3}$

$\dfrac{7}{4}$

$2$

$\dfrac{13}{4}$

Conceptos:ecuación lineal razón y proporción

Nivel de dificultad: 1230

Pista pequeña:

Sea $m$ el precio de un muffin y $b$ el de un plátano.

Let a muffin cost $m$ and a banana cost $b$

Pista grande:

Que Calvin gaste el doble significa $2(4m+3b)=2m+16b$ .

Calvin spending twice as much means $2(4m+3b)=2m+16b$

Solución:

El precio de un muffin es $m$ y el de un plátano es $b.$ Entonces $2(4m+3b) = 2m+16b.$

Al desarrollar se obtiene $8m+6b = 2m+16b,$ así que $6m = 10b$ y $m = \tfrac53 b.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let a muffin cost $m$ and a banana cost $b.$ Then $2(4m+3b) = 2m+16b.$

Expanding gives $8m+6b = 2m+16b,$ so $6m = 10b$ and $m = \tfrac53 b.$

Thus, the correct answer is B.

5.

Doug construye una ventana cuadrada usando $8$ paneles de vidrio del mismo tamaño, como se muestra. La razón entre la altura y el ancho de cada panel es $5 : 2,$ y los bordes alrededor y entre los paneles tienen $2$ pulgadas de ancho. En pulgadas, ¿cuál es la longitud del lado de la ventana cuadrada?

Doug constructs a square window using $8$ equal-size panes of glass, as shown. The ratio of the height to width for each pane is $5 : 2,$ and the borders around and between the panes are $2$ inches wide. In inches, what is the side length of the square window?

$26$

$28$

$30$

$32$

$34$

Conceptos:razón y proporción ecuación lineal rectángulo

Nivel de dificultad: 1400

Pista pequeña:

Sea cada panel de $2x$ de ancho y $5x$ de alto.

Let each pane be $2x$ wide and $5x$ tall

Pista grande:

El ancho de la ventana $4(2x)+5\cdot2$ es igual a su altura $2(5x)+3\cdot2$ .

The window’s width $4(2x)+5\cdot2$ equals its height $2(5x)+3\cdot2$

Solución:

Sea cada panel de ancho $2x$ y de altura $5x.$ La ventana tiene $4$ paneles de ancho con $5$ bordes verticales, así que su ancho es $4(2x) + 5\cdot2 = 8x+10.$

Tiene $2$ paneles de alto con $3$ bordes horizontales, así que su altura es $2(5x) + 3\cdot2 = 10x+6.$

Igualar el ancho con la altura da $8x+10 = 10x+6,$ así que $x=2$ y la longitud del lado es $10\cdot2+6 = 26.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let each pane have width $2x$ and height $5x.$ The window is $4$ panes wide with $5$ vertical borders, so its width is $4(2x) + 5\cdot2 = 8x+10.$

It is $2$ panes tall with $3$ horizontal borders, so its height is $2(5x) + 3\cdot2 = 10x+6.$

Setting width equal to height gives $8x+10 = 10x+6,$ so $x=2$ and the side length is $10\cdot2+6 = 26.$

Thus, the correct answer is A.

6.

Ed y Ann toman limonada con su almuerzo. Ed pide el tamaño regular. Ann pide la limonada grande, que es $50\%$ más que la regular. Después de que ambos consumen $\tfrac34$ de sus bebidas, Ann le da a Ed un tercio de lo que le queda, y $2$ onzas adicionales. Cuando terminan sus limonadas se dan cuenta de que ambos bebieron la misma cantidad. ¿Cuántas onzas de limonada bebieron entre los dos?

Ed and Ann both have lemonade with their lunch. Ed orders the regular size. Ann gets the large lemonade, which is $50\%$ more than the regular. After both consume $\tfrac34$ of their drinks, Ann gives Ed a third of what she has left, and $2$ additional ounces. When they finish their lemonades they realize that they both drank the same amount. How many ounces of lemonade did they drink together?

$30$

$32$

$36$

$40$

$50$

Conceptos:fracción ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1460

Pista pequeña:

Sea una limonada regular de $a$ onzas, de modo que la grande es $\tfrac32 a$ .

Let a regular lemonade be $a$ ounces, so the large is $\tfrac32 a$

Pista grande:

Después de beber $\tfrac34,$ a Ann le quedan $\tfrac38 a$ y le entrega a Ed $\tfrac13$ de eso más $2$ .

After drinking $\tfrac34,$ Ann has $\tfrac38 a$ left and hands Ed $\tfrac13$ of that plus $2$

Solución:

Sea una limonada regular de $a$ onzas, de modo que la grande de Ann contiene $\tfrac32 a.$ Después de que cada uno bebe $\tfrac34,$ a Ann le quedan $\tfrac14\cdot\tfrac32 a = \tfrac38 a$ , y le da a Ed $\tfrac13\cdot\tfrac38 a + 2 = \tfrac18 a + 2$ onzas.

Ed bebe sus $a$ onzas completas más ese regalo, y Ann bebe sus $\tfrac32 a$ menos el regalo. Igualando ambos, $a + \left(\tfrac18 a + 2\right) = \tfrac32 a - \left(\tfrac18 a + 2\right),$ lo que da $4 = \tfrac14 a,$ así que $a = 16.$

Entonces Ed bebió $16$ onzas y Ann bebió $24$ onzas, para un total de $40$ onzas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let a regular lemonade hold $a$ ounces, so Ann’s large holds $\tfrac32 a.$ After each drinks $\tfrac34,$ Ann has $\tfrac14\cdot\tfrac32 a = \tfrac38 a$ left, and she gives Ed $\tfrac13\cdot\tfrac38 a + 2 = \tfrac18 a + 2$ ounces.

Ed drinks his full $a$ ounces plus that gift, and Ann drinks her $\tfrac32 a$ minus the gift. Setting these equal, $a + \left(\tfrac18 a + 2\right) = \tfrac32 a - \left(\tfrac18 a + 2\right),$ which gives $4 = \tfrac14 a,$ so $a = 16.$

Then Ed drank $16$ ounces and Ann drank $24$ ounces, for a total of $40$ ounces.

Thus, the correct answer is D.

7.

¿Para cuántos enteros positivos $n$ el valor $\dfrac{n}{30-n}$ también es un entero positivo?

For how many positive integers $n$ is $\dfrac{n}{30-n}$ also a positive integer?

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

Conceptos:divisibilidad factor manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1520

Pista pequeña:

Reescribe $\dfrac{n}{30-n} = \dfrac{30}{30-n} - 1$ .

Rewrite $\dfrac{n}{30-n} = \dfrac{30}{30-n} - 1$

Pista grande:

Así que $30-n$ debe ser un divisor positivo de $30,$ y el cociente debe ser al menos $2$ .

So $30-n$ must be a positive divisor of $30,$ and the quotient must be at least $2$

Solución:

Escribe $\dfrac{n}{30-n} = \dfrac{30}{30-n} - 1.$

Para que esto sea un entero positivo, $30-n$ debe ser un divisor positivo de $30$ con $\dfrac{30}{30-n} \ge 2,$ es decir $30-n \le 15.$

Los divisores de $30$ que son a lo sumo $15$ son $1, 2, 3, 5, 6, 10, 15,$ lo que da $7$ valores de $n$ (a saber $15, 20, 24, 25, 27, 28, 29$ ).

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Write $\dfrac{n}{30-n} = \dfrac{30}{30-n} - 1.$

For this to be a positive integer, $30-n$ must be a positive divisor of $30$ with $\dfrac{30}{30-n} \ge 2,$ i.e. $30-n \le 15.$

The divisors of $30$ that are at most $15$ are $1, 2, 3, 5, 6, 10, 15,$ giving $7$ values of $n$ (namely $15, 20, 24, 25, 27, 28, 29$ ).

Thus, the correct answer is D.

8.

En la suma que se muestra a continuación, $A,$ $B,$ $C,$ y $D$ son dígitos distintos. ¿Cuántos valores diferentes son posibles para $D$ ?

$\begin{array}{cccccc} & A & B & B & C & B \\ + & B & C & A & D & A \\ \hline & D & B & D & D & D \end{array}$

In the addition shown below $A,$ $B,$ $C,$ and $D$ are distinct digits. How many different values are possible for $D?$

$\begin{array}{cccccc} & A & B & B & C & B \\ + & B & C & A & D & A \\ \hline & D & B & D & D & D \end{array}$

$2$

$4$

$7$

$8$

$9$

Conceptos:criptoaritmética valor posicional análisis por casos

Nivel de dificultad: 1580

Pista pequeña:

La columna más a la izquierda da $A+B=D$ sin acarreo, así que $A+B \le 9$ .

The leftmost column gives $A+B=D$ with no carry, so $A+B \le 9$

Pista grande:

La segunda y la cuarta columna obligan a que $C=0$ y a que no haya acarreos en ningún lugar.

The second and fourth columns force $C=0$ and no carries anywhere

Solución:

La columna más a la izquierda muestra $A+B = D$ sin acarreo de salida, así que $A+B \le 9.$ Examinar las columnas de las decenas y de los millares (cada una de la forma $C + \text{dígito} + \text{acarreo}$ que produce el mismo dígito) obliga a $C = 0$ y elimina todos los acarreos.

Cada columna se reduce entonces a $A+B = D,$ con $A, B, C=0$ distintos. Como $A$ y $B$ son dígitos positivos distintos, $D = A+B$ puede tomar cualquier valor desde $3$ hasta $9,$ lo que da $7$ posibilidades, por ejemplo $(A,B,C,D) = (1,2,0,3),$ $(1,3,0,4), \ldots,$ $(2,7,0,9).$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The leftmost column shows $A+B = D$ with no carry out, so $A+B \le 9.$ Examining the tens and thousands columns (each of the form $C + \text{digit} + \text{carry}$ producing the same digit) forces $C = 0$ and eliminates all carries.

Every column then reduces to $A+B = D,$ with $A, B, C=0$ distinct. Since $A$ and $B$ are distinct positive digits, $D = A+B$ can be any value from $3$ up to $9,$ giving $7$ possibilities, for example $(A,B,C,D) = (1,2,0,3),$ $(1,3,0,4), \ldots,$ $(2,7,0,9).$

Thus, the correct answer is C.

9.

El cuadrilátero convexo $ABCD$ tiene $AB = 3,$ $BC = 4,$ $CD = 13,$ $AD = 12,$ y $\angle ABC = 90^\circ,$ como se muestra. ¿Cuál es el área del cuadrilátero?

Convex quadrilateral $ABCD$ has $AB = 3,$ $BC = 4,$ $CD = 13,$ $AD = 12,$ and $\angle ABC = 90^\circ,$ as shown. What is the area of the quadrilateral?

$30$

$36$

$40$

$48$

$58.5$

Conceptos:Teorema de Pitágoras área del triángulo descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1560

Pista pequeña:

Usa el triángulo rectángulo $ABC$ para hallar la diagonal $AC$ .

Use right triangle $ABC$ to find diagonal $AC$

Pista grande:

Comprueba si $AC,$ $AD,$ $CD$ satisfacen $AC^2 + AD^2 = CD^2$ .

Check whether $AC,$ $AD,$ $CD$ satisfy $AC^2 + AD^2 = CD^2$

Solución:

Por el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo $ABC,$ $AC = \sqrt{3^2+4^2} = 5.$

Como $5^2 + 12^2 = 13^2,$ el recíproco del Teorema de Pitágoras muestra que $\angle DAC = 90^\circ,$ por lo que $\triangle DAC$ es rectángulo.

El área de $\triangle ABC$ es $\tfrac12\cdot3\cdot4 = 6$ y el área de $\triangle DAC$ es $\tfrac12\cdot5\cdot12 = 30.$ El cuadrilátero tiene área $6 + 30 = 36.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

By the Pythagorean Theorem in right triangle $ABC,$ $AC = \sqrt{3^2+4^2} = 5.$

Since $5^2 + 12^2 = 13^2,$ the converse of the Pythagorean Theorem shows $\angle DAC = 90^\circ,$ so $\triangle DAC$ is right.

The area of $\triangle ABC$ is $\tfrac12\cdot3\cdot4 = 6$ and the area of $\triangle DAC$ is $\tfrac12\cdot5\cdot12 = 30.$ The quadrilateral has area $6 + 30 = 36.$

Thus, the correct answer is B.

10.

Danica condujo su coche nuevo en un viaje durante un número entero de horas, con un promedio de $55$ millas por hora. Al comienzo del viaje, el odómetro mostraba $abc$ millas, donde $abc$ es un número de $3$ cifras con $a \ge 1$ y $a+b+c \le 7.$ Al final del viaje, el odómetro mostraba $cba$ millas. ¿Cuánto vale $a^2 + b^2 + c^2$ ?

Danica drove her new car on a trip for a whole number of hours, averaging $55$ miles per hour. At the beginning of the trip, $abc$ miles was displayed on the odometer, where $abc$ is a $3$ -digit number with $a \ge 1$ and $a+b+c \le 7.$ At the end of the trip, the odometer showed $cba$ miles. What is $a^2 + b^2 + c^2?$

$26$

$27$

$36$

$37$

$41$

Conceptos:valor posicional divisibilidad mínimo común múltiplo

Nivel de dificultad: 1680

Pista pequeña:

La distancia recorrida es $cba - abc = 99(c-a)$ .

The distance driven is $cba - abc = 99(c-a)$

Pista grande:

También es un múltiplo de $55,$ así que es un múltiplo de $\operatorname{lcm}(99,55)=495$ .

It is also a multiple of $55,$ so it is a multiple of $\operatorname{lcm}(99,55)=495$

Solución:

La distancia recorrida es $cba - abc = 99(c-a),$ un múltiplo de $9.$ Conducir un número entero de horas a $55$ mph también la hace un múltiplo de $55$ , y por tanto un múltiplo de $495.$

Como la diferencia del odómetro es a lo sumo un número de $3$ cifras y $a \ge 1,$ la distancia debe ser $495,$ así que $c - a = 5.$

Con $a \ge 1$ y $a+b+c \le 7,$ la única opción es $a=1,$ $c=6,$ $b=0.$ Entonces $a^2+b^2+c^2 = 1 + 0 + 36 = 37.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The distance driven is $cba - abc = 99(c-a),$ a multiple of $9.$ Driving a whole number of hours at $55$ mph makes it a multiple of $55$ too, hence a multiple of $495.$

Since the odometer difference is at most a $3$ -digit number and $a \ge 1,$ the distance must be $495,$ so $c - a = 5.$

With $a \ge 1$ and $a+b+c \le 7,$ the only choice is $a=1,$ $c=6,$ $b=0.$ Then $a^2+b^2+c^2 = 1 + 0 + 36 = 37.$

Thus, the correct answer is D.

11.

Una lista de $11$ enteros positivos tiene una media de $10,$ una mediana de $9,$ y una única moda de $8.$ ¿Cuál es el mayor valor posible de un entero de la lista?

A list of $11$ positive integers has a mean of $10,$ a median of $9,$ and a unique mode of $8.$ What is the largest possible value of an integer in the list?

$24$

$30$

$31$

$33$

$35$

Conceptos:media mediana (datos)moda optimización

Nivel de dificultad: 1690

Pista pequeña:

Los $11$ números suman $110$ .

The $11$ numbers sum to $110$

Pista grande:

Maximiza un número minimizando los otros diez, manteniendo el valor número $6$ en $9$ y a $8$ como la única moda.

Maximize one number by minimizing the other ten, keeping the $6$ th value $9$ and $8$ the unique mode

Solución:

La lista suma $11 \cdot 10 = 110.$ Para maximizar una entrada, minimiza la suma de las otras diez.

Ordenados, el sexto número debe ser $9$ (la mediana), y $8$ debe aparecer más veces que cualquier otro valor. Probando $8$ tres veces, los diez números más pequeños posibles son $1,1,8,8,8,9,9,10,10,11,$ que suman $75$ y mantienen a $8$ como la única moda.

La entrada más grande es entonces $110 - 75 = 35.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The list sums to $11 \cdot 10 = 110.$ To maximize one entry, minimize the sum of the other ten.

Sorted, the sixth number must be $9$ (the median), and $8$ must appear more often than any other value. Trying $8$ three times, the smallest possible ten numbers are $1,1,8,8,8,9,9,10,10,11,$ which sum to $75$ and keep $8$ the unique mode.

The largest entry is then $110 - 75 = 35.$

Thus, the correct answer is E.

12.

Un conjunto $S$ está formado por triángulos cuyos lados tienen longitudes enteras menores que $5,$ y no hay dos elementos de $S$ que sean congruentes o semejantes. ¿Cuál es el mayor número de elementos que $S$ puede tener?

A set $S$ consists of triangles whose sides have integer lengths less than $5,$ and no two elements of $S$ are congruent or similar. What is the largest number of elements that $S$ can have?

$8$

$9$

$10$

$11$

$12$

Conceptos:desigualdad triangular semejanza enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 1770

Pista pequeña:

Lista cada triángulo por sus lados en orden no creciente usando valores de $\{1,2,3,4\}$ .

List each triangle by its sides in nonincreasing order using values from $\{1,2,3,4\}$

Pista grande:

Descarta los que no cumplen la desigualdad triangular, y cuenta $2,2,1$ y $4,4,2$ solo una vez, ya que son semejantes.

Drop those failing the triangle inequality, and count $2,2,1$ and $4,4,2$ only once since they are similar

Solución:

Escribe cada triángulo por sus longitudes de lado en orden no creciente. Solo se permite un triángulo equilátero (todos son semejantes), y del par semejante $2,2,1$ y $4,4,2$ solo uno puede aparecer.

Los triángulos válidos restantes, no semejantes entre sí, son $\begin{gathered} 4\,4\,3,\ 4\,4\,1,\ 4\,3\,3,\ 4\,3\,2,\ \\ 3\,3\,2,\ 3\,3\,1,\ 3\,2\,2, \end{gathered}$ siete en total. Junto con uno equilátero y uno del par semejante, $S$ tiene a lo sumo $9$ elementos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Write each triangle by its side lengths in nonincreasing order. Only one equilateral triangle is allowed (all are similar), and of the similar pair $2,2,1$ and $4,4,2$ only one may appear.

The remaining valid, pairwise non-similar triangles are $\begin{gathered} 4\,4\,3,\ 4\,4\,1,\ 4\,3\,3,\ 4\,3\,2,\ \\ 3\,3\,2,\ 3\,3\,1,\ 3\,2\,2, \end{gathered}$ seven in all. Together with one equilateral and one of the similar pair, $S$ has at most $9$ elements.

Thus, the correct answer is B.

13.

Se eligen números reales $a$ y $b$ con $1 \lt a \lt b$ de modo que ningún triángulo de área positiva tenga longitudes de lado $1,$ $a,$ y $b$ o $\tfrac1b,$ $\tfrac1a,$ y $1.$ ¿Cuál es el menor valor posible de $b$ ?

Real numbers $a$ and $b$ are chosen with $1 \lt a \lt b$ such that no triangle with positive area has side lengths $1,$ $a,$ and $b$ or $\tfrac1b,$ $\tfrac1a,$ and $1.$ What is the smallest possible value of $b?$

$\dfrac{3+\sqrt{3}}{2}$

$\dfrac{5}{2}$

$\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$

$\dfrac{3+\sqrt{6}}{2}$

$3$

Conceptos:desigualdad triangular cuadrática acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1870

Pista pequeña:

Con $1 \lt a \lt b,$ que no exista un triángulo $1, a, b$ significa $b \ge a+1$ .

With $1 \lt a \lt b,$ no triangle $1, a, b$ means $b \ge a+1$

Pista grande:

Que no exista un triángulo $\tfrac1b, \tfrac1a, 1$ significa $1 \ge \tfrac1a + \tfrac1b,$ es decir $a \le \tfrac{b}{b-1}$ .

No triangle $\tfrac1b, \tfrac1a, 1$ means $1 \ge \tfrac1a + \tfrac1b,$ i.e. $a \le \tfrac{b}{b-1}$

Solución:

Como $b$ es el mayor de $1, a, b,$ no existe tal triángulo exactamente cuando $b \ge a+1.$ Como $1$ es el mayor de $\tfrac1b, \tfrac1a, 1,$ no existe tal triángulo exactamente cuando $1 \ge \tfrac1a + \tfrac1b,$ es decir $a \le \tfrac{b}{b-1}.$

Ambas condiciones se cumplen con $b$ mínimo cuando $a+1 = b$ y $a = \tfrac{b}{b-1}$ coinciden, lo que da $b - 1 = \tfrac{b}{b-1},$ o sea $b^2 - 3b + 1 = 0.$

La raíz mayor que $1$ es $b = \dfrac{3+\sqrt5}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since $b$ is the largest of $1, a, b,$ no such triangle exists exactly when $b \ge a+1.$ Since $1$ is the largest of $\tfrac1b, \tfrac1a, 1,$ no such triangle exists exactly when $1 \ge \tfrac1a + \tfrac1b,$ that is $a \le \tfrac{b}{b-1}.$

Both conditions hold with $b$ smallest when $a+1 = b$ and $a = \tfrac{b}{b-1}$ meet, giving $b - 1 = \tfrac{b}{b-1},$ or $b^2 - 3b + 1 = 0.$

The root larger than $1$ is $b = \dfrac{3+\sqrt5}{2}.$

Thus, the correct answer is C.

14.

Una caja rectangular tiene un área superficial total de $94$ pulgadas cuadradas. La suma de las longitudes de todas sus aristas es $48$ pulgadas. ¿Cuál es la suma, en pulgadas, de las longitudes de todas sus diagonales interiores?

A rectangular box has a total surface area of $94$ square inches. The sum of the lengths of all its edges is $48$ inches. What is the sum of the lengths in inches of all of its interior diagonals?

$8\sqrt{3}$

$10\sqrt{2}$

$16\sqrt{3}$

$20\sqrt{2}$

$40\sqrt{2}$

Conceptos:prisma rectangular área de superficie manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1840

Pista pequeña:

Sean las aristas $x, y, z,$ de modo que $2(xy+yz+zx)=94$ y $4(x+y+z)=48$ .

Let the edges be $x, y, z,$ so $2(xy+yz+zx)=94$ and $4(x+y+z)=48$

Pista grande:

Usa $(x+y+z)^2 =$ $x^2+y^2+z^2$ $+ 2(xy+yz+zx)$ para hallar cada diagonal $\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ .

Use $(x+y+z)^2 =$ $x^2+y^2+z^2$ $+ 2(xy+yz+zx)$ to find each diagonal $\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

Solución:

Sean las aristas $x, y, z.$ Entonces $xy+yz+zx = 47$ y $x+y+z = 12.$ Por lo tanto $\begin{gathered} x^2+y^2+z^2 = (x+y+z)^2 \\ {}- 2(xy+yz+zx) \\ = 144 - 94 \\ = 50. \end{gathered}$

Cada una de las $4$ diagonales interiores tiene longitud $\sqrt{x^2+y^2+z^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt2,$ así que su longitud total es $4 \cdot 5\sqrt2 = 20\sqrt2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let the edges be $x, y, z.$ Then $xy+yz+zx = 47$ and $x+y+z = 12.$ Therefore $\begin{gathered} x^2+y^2+z^2 = (x+y+z)^2 \\ {}- 2(xy+yz+zx) \\ = 144 - 94 \\ = 50. \end{gathered}$

Each of the $4$ interior diagonals has length $\sqrt{x^2+y^2+z^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt2,$ so their total length is $4 \cdot 5\sqrt2 = 20\sqrt2.$

Thus, the correct answer is D.

15.

Cuando $p = \sum_{k=1}^{6} k \ln k,$ el número $e^p$ es un entero. ¿Cuál es la mayor potencia de $2$ que es factor de $e^p$ ?

When $p = \sum_{k=1}^{6} k \ln k,$ the number $e^p$ is an integer. What is the largest power of $2$ that is a factor of $e^p?$

$2^{12}$

$2^{14}$

$2^{16}$

$2^{18}$

$2^{20}$

Conceptos:logaritmo factorización en primos

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

$k \ln k = \ln(k^k),$ así que $e^p = \prod_{k=1}^{6} k^k$ .

$k \ln k = \ln(k^k),$ so $e^p = \prod_{k=1}^{6} k^k$

Pista grande:

Solo $2^2,$ $4^4,$ y $6^6$ aportan factores de $2$ .

Only $2^2,$ $4^4,$ and $6^6$ contribute factors of $2$

Solución:

Como $k \ln k = \ln(k^k),$ la suma da $p = \ln\left(\prod_{k=1}^{6} k^k\right),$ así que $e^p = 1^1 \cdot 2^2 \cdot 3^3 \cdot 4^4 \cdot 5^5 \cdot 6^6.$

Los factores de $2$ provienen de $2^2$ (que aporta $2$ ), $4^4 = 2^8$ (que aporta $8$ ), y $6^6 = 2^6 \cdot 3^6$ (que aporta $6$ ). En total el exponente de $2$ es $2 + 8 + 6 = 16.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since $k \ln k = \ln(k^k),$ the sum gives $p = \ln\left(\prod_{k=1}^{6} k^k\right),$ so $e^p = 1^1 \cdot 2^2 \cdot 3^3 \cdot 4^4 \cdot 5^5 \cdot 6^6.$

The factors of $2$ come from $2^2$ (giving $2$ ), $4^4 = 2^8$ (giving $8$ ), and $6^6 = 2^6 \cdot 3^6$ (giving $6$ ). In total the exponent of $2$ is $2 + 8 + 6 = 16.$

Thus, the correct answer is C.

16.

Sea $P$ un polinomio cúbico con $P(0) = k,$ $P(1) = 2k,$ y $P(-1) = 3k.$ ¿Cuánto vale $P(2) + P(-2)$ ?

Let $P$ be a cubic polynomial with $P(0) = k,$ $P(1) = 2k,$ and $P(-1) = 3k.$ What is $P(2) + P(-2)?$

$0$

$k$

$6k$

$7k$

$14k$

Conceptos:polinomio sistema de ecuaciones simetría (álgebra)

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Escribe $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + k$ usando $P(0)=k$ .

Write $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + k$ using $P(0)=k$

Pista grande:

Sumar $P(1)$ y $P(-1)$ despeja $b,$ y $P(2)+P(-2) = 8b + 2k$ .

Adding $P(1)$ and $P(-1)$ isolates $b,$ and $P(2)+P(-2) = 8b + 2k$

Solución:

Como $P(0) = k,$ escribe $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + k.$

Entonces $P(1) = a+b+c+k = 2k$ y $P(-1) = -a+b-c+k = 3k.$ Sumando estas se obtiene $2b + 2k = 5k,$ así que $2b = 3k.$

Los términos de potencia impar se cancelan en la suma: $\begin{gathered} P(2)+P(-2) \\ = (8a+4b+2c+k) \\ {}+ (-8a+4b-2c+k) \\ = 8b + 2k. \end{gathered}$ Como $8b = 4(2b) = 12k,$ esto es igual a $12k + 2k = 14k.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since $P(0) = k,$ write $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + k.$

Then $P(1) = a+b+c+k = 2k$ and $P(-1) = -a+b-c+k = 3k.$ Adding these gives $2b + 2k = 5k,$ so $2b = 3k.$

The odd-power terms cancel in the sum: $\begin{gathered} P(2)+P(-2) \\ = (8a+4b+2c+k) \\ {}+ (-8a+4b-2c+k) \\ = 8b + 2k. \end{gathered}$ Since $8b = 4(2b) = 12k,$ this equals $12k + 2k = 14k.$

Thus, the correct answer is E.

17.

Sea $P$ la parábola con ecuación $y = x^2$ y sea $Q = (20, 14).$ Existen números reales $r$ y $s$ tales que la recta que pasa por $Q$ con pendiente $m$ no interseca a $P$ si y solo si $r \lt m \lt s.$ ¿Cuánto vale $r + s$ ?

Let $P$ be the parabola with equation $y = x^2$ and let $Q = (20, 14).$ There are real numbers $r$ and $s$ such that the line through $Q$ with slope $m$ does not intersect $P$ if and only if $r \lt m \lt s.$ What is $r + s?$

$1$

$26$

$40$

$52$

$80$

Conceptos:parábola cuadrática Fórmulas de Vieta

Nivel de dificultad: 2010

Pista pequeña:

La recta es $y = m(x-20) + 14;$ iguálala a $x^2$ .

The line is $y = m(x-20) + 14;$ set it equal to $x^2$

Pista grande:

Que no haya intersección significa que el discriminante $m^2 - 80m + 56 \lt 0;$ usa la suma de las raíces $r, s$ .

No intersection means the discriminant $m^2 - 80m + 56 \lt 0;$ use the sum of the roots $r, s$

Solución:

La recta que pasa por $Q$ es $y = m(x-20) + 14.$ Al sustituir en $y = x^2$ se obtiene $x^2 - mx + (20m - 14) = 0.$

No hay intersección exactamente cuando esto no tiene raíz real, es decir cuando el discriminante $m^2 - 4(20m-14)$ $= m^2 - 80m + 56$ es negativo. Eso ocurre entre las dos raíces $r$ y $s$ de $m^2 - 80m + 56 = 0.$

Por las fórmulas de Vieta, $r + s = 80.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The line through $Q$ is $y = m(x-20) + 14.$ Substituting into $y = x^2$ gives $x^2 - mx + (20m - 14) = 0.$

There is no intersection exactly when this has no real root, i.e. when the discriminant $m^2 - 4(20m-14)$ $= m^2 - 80m + 56$ is negative. That happens between the two roots $r$ and $s$ of $m^2 - 80m + 56 = 0.$

By Vieta’s formulas, $r + s = 80.$

Thus, the correct answer is E.

18.

Los números $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5$ se van a acomodar en un círculo. Un arreglo es malo si no es cierto que para cada $n$ desde $1$ hasta $15$ se pueda encontrar un subconjunto de los números que aparecen consecutivamente en el círculo cuya suma sea $n.$ Los arreglos que difieren solo por una rotación o una reflexión se consideran iguales. ¿Cuántos arreglos malos diferentes hay?

The numbers $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5$ are to be arranged in a circle. An arrangement is bad if it is not true that for every $n$ from $1$ to $15$ one can find a subset of the numbers that appear consecutively on the circle that sum to $n.$ Arrangements that differ only by a rotation or a reflection are considered the same. How many different bad arrangements are there?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Conceptos:arreglos circulares conteo complementario análisis por casos

Nivel de dificultad: 2150

Pista pequeña:

Las sumas $1$ hasta $5$ siempre se pueden lograr con un solo número.

Sums $1$ through $5$ are always achievable with a single number

Pista grande:

Si un bloque consecutivo suma $n,$ su complemento suma $15-n,$ así que solo $6$ y $7$ pueden fallar.

If a consecutive block sums to $n,$ its complement sums to $15-n,$ so only $6$ and $7$ can fail

Solución:

Cualquier número por sí solo cubre las sumas de $1$ a $5.$ Si un bloque consecutivo suma $n,$ los números restantes forman un bloque consecutivo que suma $15 - n,$ así que también quedan cubiertas automáticamente las sumas de $10$ a $14$ . Por tanto, un arreglo es malo solo si no produce $6$ o $7.$

Si no se puede formar $6$ , podemos rotar y reflejar para que el orden sea $1bc5e.$ El par $\{b,c\}$ no puede ser $\{2,3\}$ ni $\{2,4\},$ así que $e=2;$ evitar el bloque $213$ obliga entonces a $14352.$ Si no se puede formar $7$ , escribimos el orden como $2bc5e.$ Ahora $\{b,c\}$ no puede ser $\{3,4\}$ ni $\{1,4\},$ así que $e=4,$ y evitar $421$ obliga a $23154.$

Estos son los únicos dos arreglos malos salvo rotación y reflexión.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Any single number covers sums $1$ through $5.$ If a consecutive block sums to $n,$ the remaining numbers form a consecutive block summing to $15 - n,$ so sums $10$ through $14$ are automatically covered as well. Thus an arrangement is bad only if it fails to produce $6$ or $7.$

If $6$ cannot be formed, rotate and reflect so the order is $1bc5e.$ The pair $\{b,c\}$ cannot be $\{2,3\}$ or $\{2,4\},$ so $e=2;$ avoiding the block $213$ then forces $14352.$ If $7$ cannot be formed, write the order as $2bc5e.$ Now $\{b,c\}$ cannot be $\{3,4\}$ or $\{1,4\},$ so $e=4,$ and avoiding $421$ forces $23154.$

These are the only two bad arrangements up to rotation and reflection.

Thus, the correct answer is B.

19.

Una esfera está inscrita en un cono circular recto truncado, como se muestra. El volumen del cono truncado es el doble que el de la esfera. ¿Cuál es la razón entre el radio de la base inferior del cono truncado y el radio de la base superior del cono truncado?

A sphere is inscribed in a truncated right circular cone as shown. The volume of the truncated cone is twice that of the sphere. What is the ratio of the radius of the bottom base of the truncated cone to the radius of the top base of the truncated cone?

$\dfrac{3}{2}$

$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$

$\sqrt{3}$

$2$

$\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$

Conceptos:cono esfera volumen

Nivel de dificultad: 2220

Pista pequeña:

Toma una sección axial, normaliza el radio superior a $1,$ y llama $r$ y $a$ a los radios de la base inferior y de la esfera.

Take an axial cross-section, normalize the top radius to $1,$ and call the bottom and sphere radii $r$ and $a$

Pista grande:

Usa la distancia del centro de la esfera a un lado inclinado para relacionar $r$ y $a,$ y luego compara los volúmenes del tronco y de la esfera

Use the distance from the sphere center to a slanted side to relate $r$ and $a,$ then compare the frustum and sphere volumes

Solución:

Sea el radio superior $1,$ el radio inferior $r,$ y el radio de la esfera $a.$ La esfera toca ambas bases, así que la altura del tronco es $2a.$ En una sección axial, coloca el centro de la esfera en $(0,a)$ ; el lado inclinado derecho que pasa por $(r,0)$ y $(1,2a)$ tiene ecuación $2ax+(r-1)y-2ar=0.$ Su distancia a $(0,a)$ es $a,$ así que $(r+1)^2=4a^2+(r-1)^2,$ lo que da $r=a^2.$

El volumen del tronco es $\tfrac13 \pi (r^2 + r + 1)(2a).$ Igualarlo al doble del volumen de la esfera $\tfrac43 \pi a^3$ y usar $r = a^2$ da $a^4 - 3a^2 + 1 = 0,$ es decir $r^2 - 3r + 1 = 0.$

La raíz positiva es $r = \dfrac{3+\sqrt5}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let the top radius be $1,$ the bottom radius $r,$ and the sphere radius $a.$ The sphere touches both bases, so the frustum height is $2a.$ In an axial cross-section put the sphere center at $(0,a)$ ; the right slanted side through $(r,0)$ and $(1,2a)$ has equation $2ax+(r-1)y-2ar=0.$ Its distance from $(0,a)$ is $a,$ so $(r+1)^2=4a^2+(r-1)^2,$ giving $r=a^2.$

The frustum volume is $\tfrac13 \pi (r^2 + r + 1)(2a).$ Setting it equal to twice the sphere volume $\tfrac43 \pi a^3$ and using $r = a^2$ yields $a^4 - 3a^2 + 1 = 0,$ that is $r^2 - 3r + 1 = 0.$

The positive root is $r = \dfrac{3+\sqrt5}{2}.$

Thus, the correct answer is E.

20.

¿Para cuántos enteros positivos $x$ se cumple $\log_{10}(x - 40)$ $+ \log_{10}(60 - x) \lt 2$ ?

For how many positive integers $x$ is $\log_{10}(x - 40)$ $+ \log_{10}(60 - x) \lt 2?$

$10$

$18$

$19$

$20$

infinitos

infinitely many

Conceptos:logaritmo desigualdad cuadrática

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Ambos logaritmos requieren $40 \lt x \lt 60$ .

Both logarithms require $40 \lt x \lt 60$

Pista grande:

Combinando se obtiene $(x-40)(60-x) \lt 100,$ que equivale a $(x-50)^2 \gt 0$ .

Combining gives $(x-40)(60-x) \lt 100,$ which is $(x-50)^2 \gt 0$

Solución:

Los logaritmos están definidos solo cuando $x - 40 \gt 0$ y $60 - x \gt 0,$ así que $40 \lt x \lt 60.$

Dentro de este rango la desigualdad se convierte en $(x-40)(60-x) \lt 100,$ que se desarrolla como $x^2 - 100x + 2500 \gt 0,$ es decir $(x-50)^2 \gt 0.$ Esto se cumple para todo $x \ne 50.$

Los enteros estrictamente entre $40$ y $60$ excepto $50$ son $41, \ldots, 49$ y $51, \ldots, 59,$ lo que son $18$ valores.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The logarithms are defined only when $x - 40 \gt 0$ and $60 - x \gt 0,$ so $40 \lt x \lt 60.$

Within this range the inequality becomes $(x-40)(60-x) \lt 100,$ which expands to $x^2 - 100x + 2500 \gt 0,$ i.e. $(x-50)^2 \gt 0.$ This holds for every $x \ne 50.$

The integers strictly between $40$ and $60$ except $50$ are $41, \ldots, 49$ and $51, \ldots, 59,$ which is $18$ values.

Thus, the correct answer is B.

21.

En la figura, $ABCD$ es un cuadrado de lado $1.$ Los rectángulos $JKHG$ y $EBCF$ son congruentes. ¿Cuánto vale $BE$ ?

In the figure, $ABCD$ is a square of side length $1.$ The rectangles $JKHG$ and $EBCF$ are congruent. What is $BE?$

$\dfrac12(\sqrt{6} - 2)$

$\dfrac14$

$2 - \sqrt{3}$

$\dfrac{\sqrt{3}}{6}$

$1 - \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Conceptos:triángulo rectángulo trigonometría persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 2350

Pista pequeña:

Sea $\theta = \angle DHG;$ en el triángulo rectángulo $GDH,$ $BE = \dfrac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}$ .

Let $\theta = \angle DHG;$ in right triangle $GDH,$ $BE = \dfrac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}$

Pista grande:

A lo largo del lado superior, $CD = CF + FH + HD = 1$ se simplifica a $2\sin\theta = 1$ .

Along the top side, $CD = CF + FH + HD = 1$ simplifies to $2\sin\theta = 1$

Solución:

Sea $x = BE = GH = CF$ y $\theta = \angle DHG = \angle AGJ$ $= \angle FKH,$ con $AD = GJ = HK = 1.$ En el triángulo rectángulo $GDH,$ $x \sin\theta = DG = 1 - \cos\theta,$ así que $x = \dfrac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}.$

A lo largo del lado $CD,$ $\begin{gathered} 1 = CF + FH + HD \\ = x + \sin\theta + x\cos\theta. \end{gathered}$ Sustituyendo $x$ se obtiene $\begin{gathered} 1 = \dfrac{(1-\cos\theta)(1+\cos\theta)}{\sin\theta} \\ {}+ \sin\theta \\ = \dfrac{\sin^2\theta}{\sin\theta} \\ {}+ \sin\theta \\ = 2\sin\theta. \end{gathered}$

Por lo tanto $\sin\theta = \tfrac12,$ así que $\theta = 30^\circ$ y $x = \dfrac{1 - \frac{\sqrt3}{2}}{\frac12} = 2 - \sqrt3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $x = BE = GH = CF$ and $\theta = \angle DHG = \angle AGJ$ $= \angle FKH,$ with $AD = GJ = HK = 1.$ In right triangle $GDH,$ $x \sin\theta = DG = 1 - \cos\theta,$ so $x = \dfrac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}.$

Along side $CD,$ $\begin{gathered} 1 = CF + FH + HD \\ = x + \sin\theta + x\cos\theta. \end{gathered}$ Substituting for $x$ gives $\begin{gathered} 1 = \dfrac{(1-\cos\theta)(1+\cos\theta)}{\sin\theta} \\ {}+ \sin\theta \\ = \dfrac{\sin^2\theta}{\sin\theta} \\ {}+ \sin\theta \\ = 2\sin\theta. \end{gathered}$

Hence $\sin\theta = \tfrac12,$ so $\theta = 30^\circ$ and $x = \dfrac{1 - \frac{\sqrt3}{2}}{\frac12} = 2 - \sqrt3.$

Thus, the correct answer is C.

22.

En un pequeño estanque hay once nenúfares en fila, numerados de $0$ a $10.$ Una rana está sentada en el nenúfar $1.$ Cuando la rana está en el nenúfar $N,$ $0 \lt N \lt 10,$ saltará al nenúfar $N - 1$ con probabilidad $\dfrac{N}{10}$ y al nenúfar $N + 1$ con probabilidad $1 - \dfrac{N}{10}.$ Cada salto es independiente de los saltos anteriores. Si la rana llega al nenúfar $0$ será comida por una serpiente que espera pacientemente. Si la rana llega al nenúfar $10$ saldrá del estanque para no volver. ¿Cuál es la probabilidad de que la rana escape de ser comida por la serpiente?

In a small pond there are eleven lily pads in a row labeled $0$ through $10.$ A frog is sitting on pad $1.$ When the frog is on pad $N,$ $0 \lt N \lt 10,$ it will jump to pad $N - 1$ with probability $\dfrac{N}{10}$ and to pad $N + 1$ with probability $1 - \dfrac{N}{10}.$ Each jump is independent of the previous jumps. If the frog reaches pad $0$ it will be eaten by a patiently waiting snake. If the frog reaches pad $10$ it will exit the pond, never to return. What is the probability that the frog will escape being eaten by the snake?

$\dfrac{32}{79}$

$\dfrac{161}{384}$

$\dfrac{63}{146}$

$\dfrac{7}{16}$

$\dfrac{1}{2}$

Conceptos:camino aleatorio probabilidad recursiva simetría

Nivel de dificultad: 2450

Pista pequeña:

Por simetría, la probabilidad de escape desde el nenúfar $5$ es $\tfrac12$ .

By symmetry the escape probability from pad $5$ is $\tfrac12$

Pista grande:

Sea $p_j$ la probabilidad de escape desde el nenúfar $j$ y escribe cada $p_j$ en términos de sus vecinos.

Let $p_j$ be the escape probability from pad $j$ and write each $p_j$ in terms of its neighbors

Solución:

Sea $p_j$ la probabilidad de llegar finalmente al nenúfar $10$ partiendo del nenúfar $j.$ Por la simetría de la regla de salto en el centro, $p_5 = \tfrac12.$

Cada nenúfar interior satisface $p_j = \tfrac{10-j}{10}\,p_{j+1} + \tfrac{j}{10}\,p_{j-1},$ lo que da $\begin{gathered} p_4 = \tfrac25 p_3 + \tfrac35 p_5, \\ \quad p_3 = \tfrac{3}{10} p_2 + \tfrac{7}{10} p_4, \end{gathered}$ $p_2 = \tfrac15 p_1 + \tfrac45 p_3,\quad p_1 = \tfrac{9}{10} p_2.$

Sea $d_j=p_j-p_{j-1}.$ La recurrencia equivale a $(10-j)d_{j+1}=jd_j,$ así que $\begin{gathered} d_2=\dfrac{d_1}{9},\quad d_3=\dfrac{d_1}{36}, \\ d_4=\dfrac{d_1}{84},\quad d_5=\dfrac{d_1}{126}. \end{gathered}$ Como $p_0=0$ y $p_5=\frac{1}{2},$ $\begin{aligned} \dfrac12&=d_1\biggl(1+\dfrac19+\dfrac1{36} \\ &\qquad+\dfrac1{84}+\dfrac1{126}\biggr) \\ &=d_1\cdot\dfrac{73}{63}. \end{aligned}$ Por lo tanto, $p_1=d_1=\frac{63}{146}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $p_j$ be the probability of eventually reaching pad $10$ starting from pad $j.$ By the symmetry of the jump rule at the center, $p_5 = \tfrac12.$

Each interior pad satisfies $p_j = \tfrac{10-j}{10}\,p_{j+1} + \tfrac{j}{10}\,p_{j-1},$ which gives $\begin{gathered} p_4 = \tfrac25 p_3 + \tfrac35 p_5, \\ \quad p_3 = \tfrac{3}{10} p_2 + \tfrac{7}{10} p_4, \end{gathered}$ $p_2 = \tfrac15 p_1 + \tfrac45 p_3,\quad p_1 = \tfrac{9}{10} p_2.$

Put $d_j=p_j-p_{j-1}.$ The recurrence is equivalent to $(10-j)d_{j+1}=jd_j,$ so $\begin{gathered} d_2=\dfrac{d_1}{9},\quad d_3=\dfrac{d_1}{36}, \\ d_4=\dfrac{d_1}{84},\quad d_5=\dfrac{d_1}{126}. \end{gathered}$ Since $p_0=0$ and $p_5=\frac{1}{2},$ $\begin{aligned} \dfrac12&=d_1\biggl(1+\dfrac19+\dfrac1{36} \\ &\qquad+\dfrac1{84}+\dfrac1{126}\biggr) \\ &=d_1\cdot\dfrac{73}{63}. \end{aligned}$ Therefore $p_1=d_1=\frac{63}{146}.$

Thus, the correct answer is C.

23.

El número $2017$ es primo. Sea $S = \sum_{k=0}^{62} \binom{2014}{k}.$ ¿Cuál es el residuo cuando $S$ se divide entre $2017$ ?

The number $2017$ is prime. Let $S = \sum_{k=0}^{62} \binom{2014}{k}.$ What is the remainder when $S$ is divided by $2017?$

$32$

$684$

$1024$

$1576$

$2016$

Conceptos:combinaciones aritmética modular telescópica

Nivel de dificultad: 2560

Pista pequeña:

Módulo $2017,$ reduce $\binom{2014}{k}$ usando $2016 \equiv -1,$ $2015 \equiv -2,$ y así sucesivamente.

Modulo $2017,$ reduce $\binom{2014}{k}$ using $2016 \equiv -1,$ $2015 \equiv -2,$ and so on

Pista grande:

Esto da $\binom{2014}{k} \equiv (-1)^k \binom{k+2}{2},$ y la suma alternada se telescopa.

This gives $\binom{2014}{k} \equiv (-1)^k \binom{k+2}{2},$ and the alternating sum telescopes

Solución:

Trabajando módulo $2017,$ la identidad $\binom{2014}{k} \cdot k! \cdot (2014-k)! = 2014!$ junto con $2016 \cdot 2015 \cdots (2015-k)$ $\equiv (-1)^k (k+2)!$ lleva a $\begin{gathered} 2\binom{2014}{k} \equiv (-1)^k \\ {}\cdot (k+2)(k+1) \pmod{2017}, \end{gathered}$ así que $\binom{2014}{k} \equiv (-1)^k \binom{k+2}{2}.$

Entonces $\begin{gathered} S \equiv \sum_{k=0}^{62} (-1)^k \binom{k+2}{2} \\ = 1 \\ {}+ \sum_{k=1}^{31}\left[\binom{2k+2}{2} - \binom{2k+1}{2}\right] \\ = 1 + \sum_{k=1}^{31}(2k+1). \end{gathered}$

La suma restante es $3 + 5 + \cdots + 63 = 1023,$ así que $S \equiv 1 + 1023$ $= 1024 \pmod{2017}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Working modulo $2017,$ the identity $\binom{2014}{k} \cdot k! \cdot (2014-k)! = 2014!$ together with $2016 \cdot 2015 \cdots (2015-k)$ $\equiv (-1)^k (k+2)!$ leads to $\begin{gathered} 2\binom{2014}{k} \equiv (-1)^k \\ {}\cdot (k+2)(k+1) \pmod{2017}, \end{gathered}$ so $\binom{2014}{k} \equiv (-1)^k \binom{k+2}{2}.$

Then $\begin{gathered} S \equiv \sum_{k=0}^{62} (-1)^k \binom{k+2}{2} \\ = 1 \\ {}+ \sum_{k=1}^{31}\left[\binom{2k+2}{2} - \binom{2k+1}{2}\right] \\ = 1 + \sum_{k=1}^{31}(2k+1). \end{gathered}$

The remaining sum is $3 + 5 + \cdots + 63 = 1023,$ so $S \equiv 1 + 1023$ $= 1024 \pmod{2017}.$

Thus, the correct answer is C.

24.

Sea $ABCDE$ un pentágono inscrito en un círculo tal que $AB = CD = 3,$ $BC = DE = 10,$ y $AE = 14.$ La suma de las longitudes de todas las diagonales de $ABCDE$ es igual a $\dfrac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale $m + n$ ?

Let $ABCDE$ be a pentagon inscribed in a circle such that $AB = CD = 3,$ $BC = DE = 10,$ and $AE = 14.$ The sum of the lengths of all diagonals of $ABCDE$ is equal to $\dfrac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. What is $m + n?$

$129$

$247$

$353$

$391$

$421$

Conceptos:Teorema de Ptolomeo cuerda polinomio

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Cuerdas iguales subtienden arcos iguales, así que $AC = BD = CE;$ llama a esto $x$ .

Equal chords subtend equal arcs, so $AC = BD = CE;$ call this $x$

Pista grande:

Aplica el teorema de Ptolomeo a $ABCD,$ $BCDE,$ y $ABDE$ para obtener ecuaciones en $x, y = AD, z = BE$ .

Apply Ptolemy’s theorem to $ABCD,$ $BCDE,$ and $ABDE$ to get equations in $x, y = AD, z = BE$

Solución:

Como los arcos $AB, CD$ son iguales y los arcos $BC, DE$ son iguales, las cuerdas $AC, BD, CE$ son todas iguales; sean $x = AC = BD = CE,$ $y = AD,$ y $z = BE.$

El teorema de Ptolomeo en $ABCD,$ $BCDE,$ y $ABDE$ da $\begin{gathered} 10y + 9 = x^2, \\ \quad 100 + 3z = x^2, \\ \quad 30 + 14x = yz. \end{gathered}$ Resolver las dos primeras para $y$ y $z$ y sustituir en la tercera da $\begin{gathered} x^3 - 109x - 420 = 0 \\ = (x-12)(x+5)(x+7). \end{gathered}$

Así que $x = 12,$ $y = \tfrac{135}{10} = \tfrac{27}{2},$ y $z = \tfrac{44}{3}.$ Las cinco diagonales son $AC, BD, CE, AD, BE,$ que suman $\begin{gathered} 3x + y + z = 36 \\ {}+ \tfrac{27}{2} + \tfrac{44}{3} \\ = \tfrac{385}{6}. \end{gathered}$

Por lo tanto $m + n = 385 + 6 = 391,$ y la respuesta correcta es D.

Because arcs $AB, CD$ are equal and arcs $BC, DE$ are equal, the chords $AC, BD, CE$ are all equal; let $x = AC = BD = CE,$ $y = AD,$ and $z = BE.$

Ptolemy’s theorem on $ABCD,$ $BCDE,$ and $ABDE$ gives $\begin{gathered} 10y + 9 = x^2, \\ \quad 100 + 3z = x^2, \\ \quad 30 + 14x = yz. \end{gathered}$ Solving the first two for $y$ and $z$ and substituting into the third yields $\begin{gathered} x^3 - 109x - 420 = 0 \\ = (x-12)(x+5)(x+7). \end{gathered}$

So $x = 12,$ $y = \tfrac{135}{10} = \tfrac{27}{2},$ and $z = \tfrac{44}{3}.$ The five diagonals are $AC, BD, CE, AD, BE,$ summing to $\begin{gathered} 3x + y + z = 36 \\ {}+ \tfrac{27}{2} + \tfrac{44}{3} \\ = \tfrac{385}{6}. \end{gathered}$

Thus $m + n = 385 + 6 = 391,$ and the correct answer is D.

25.

¿Cuál es la suma de todas las soluciones reales positivas $x$ de la ecuación $\begin{gathered} \small 2\cos(2x)\left(\cos(2x) - \cos\left(\dfrac{2014\pi^2}{x}\right)\right) \\ = \cos(4x) - 1? \end{gathered}$

What is the sum of all positive real solutions $x$ to the equation $\begin{gathered} \small 2\cos(2x)\left(\cos(2x) - \cos\left(\dfrac{2014\pi^2}{x}\right)\right) \\ = \cos(4x) - 1? \end{gathered}$

$\pi$

$810\pi$

$1008\pi$

$1080\pi$

$1800\pi$

Conceptos:identidad trigonométrica suma de factores

Nivel de dificultad: 2890

Pista pequeña:

Sustituye $x = \tfrac{\pi y}{2}$ y usa $\tfrac12(1 - \cos(2\pi y)) = \sin^2(\pi y)$ .

Substitute $x = \tfrac{\pi y}{2}$ and use $\tfrac12(1 - \cos(2\pi y)) = \sin^2(\pi y)$

Pista grande:

La ecuación se reduce a $\cos(\pi y)\cos\left(\tfrac{4028\pi}{y}\right) = 1,$ lo que obliga a que $y$ y $\tfrac{4028}{y}$ sean enteros de la misma paridad.

The equation reduces to $\cos(\pi y)\cos\left(\tfrac{4028\pi}{y}\right) = 1,$ forcing $y$ and $\tfrac{4028}{y}$ to be integers of the same parity

Solución:

Sea $x = \tfrac{\pi y}{2}.$ Dividiendo entre $2$ y usando $\tfrac12(1 - \cos(2\pi y)) = \sin^2(\pi y),$ la ecuación se simplifica a $\cos(\pi y)\cos\left(\dfrac{4028\pi}{y}\right) = 1.$

Ambos cosenos deben ser iguales a $1$ o ambos iguales a $-1,$ así que $y$ y $\tfrac{4028}{y}$ son enteros de la misma paridad. Como $4028 = 2^2 \cdot 19 \cdot 53$ es par, ambos deben ser pares, así que $y = 2a$ con $a$ un divisor positivo impar de $2014 = 2 \cdot 19 \cdot 53,$ lo que da $a \in \{1, 19, 53, 19 \cdot 53\}.$

Cada uno de esos $a$ da $x = \tfrac{\pi y}{2} = \pi a,$ así que la suma de las soluciones es $\begin{gathered} \pi(1 + 19 + 53 + 19\cdot53) \\ = \pi(19+1)(53+1) \\ = 1080\pi. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $x = \tfrac{\pi y}{2}.$ Dividing by $2$ and using $\tfrac12(1 - \cos(2\pi y)) = \sin^2(\pi y),$ the equation simplifies to $\cos(\pi y)\cos\left(\dfrac{4028\pi}{y}\right) = 1.$

Both cosines must equal $1$ or both equal $-1,$ so $y$ and $\tfrac{4028}{y}$ are integers of the same parity. Since $4028 = 2^2 \cdot 19 \cdot 53$ is even, both must be even, so $y = 2a$ with $a$ a positive odd divisor of $2014 = 2 \cdot 19 \cdot 53,$ giving $a \in \{1, 19, 53, 19 \cdot 53\}.$

Each such $a$ gives $x = \tfrac{\pi y}{2} = \pi a,$ so the sum of solutions is $\begin{gathered} \pi(1 + 19 + 53 + 19\cdot53) \\ = \pi(19+1)(53+1) \\ = 1080\pi. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is D.