Logo para LIVE por Po-Shen Loh

LIVE

Problemas del 2014 AMC 12B

¡Desplázate hacia abajo y presiona Iniciar para intentar el examen! O ve al PDF imprimible, la clave de respuestas, o las soluciones profesionales preparadas por LIVE by Po-Shen Loh.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

O salta directamente a un solo problema con su solución: 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 · 11 · 12 · 13 · 14 · 15 · 16 · 17 · 18 · 19 · 20 · 21 · 22 · 23 · 24 · 25

¿Quieres aprender de forma profesional con clases interactivas en video?

Aprende con LIVE

Con tiempo

1:15:00

1.

Leah tiene 1313 monedas, todas de un centavo (pennies) y de cinco centavos (nickels). Si tuviera un nickel más de los que tiene ahora, entonces tendría la misma cantidad de pennies y de nickels. En centavos, ¿cuánto valen las monedas de Leah?
Leah has 1313 coins, all of which are pennies and nickels. If she had one more nickel than she has now, then she would have the same number of pennies and nickels. In cents, how much are Leah’s coins worth?
3333
3535
3737
3939
4141
Respuesta: C
Conceptos:ecuación linealdinero
Nivel de dificultad: 920
Pista pequeña:
Sea nn el número de nickels, de modo que hay 13−n13-n pennies.
Let nn be the number of nickels, so there are 13−n13-n pennies
Pista grande:
Agregar un nickel da n+1n+1 nickels, que debe ser igual a los 13−n13-n pennies.
Adding one nickel gives n+1n+1 nickels, which must equal the 13−n13-n pennies
Solución:
Sea nn el número de nickels, así que Leah tiene 13−n13-n pennies. Un nickel más le daría n+1n+1 nickels, y esto es igual al número de pennies: n+1=13−n. n+1 = 13-n. Al resolver se obtiene n=6,n=6, por lo que hay 66 nickels y 77 pennies.
El valor total es 6⋅5+7=376\cdot5 + 7 = 37 centavos.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Let nn be the number of nickels, so Leah has 13−n13-n pennies. One more nickel would give her n+1n+1 nickels, and this equals the number of pennies: n+1=13−n. n+1 = 13-n. Solving gives n=6,n=6, so there are 66 nickels and 77 pennies.
The total value is 6⋅5+7=376\cdot5 + 7 = 37 cents.
Thus, the correct answer is C.

2.

Orvin fue a la tienda con dinero justo para comprar 3030 globos. Al llegar descubrió que la tienda tenía una oferta especial en globos: compra 11 globo al precio regular y obtén un segundo con 13\tfrac13 de descuento sobre el precio regular. ¿Cuál es el mayor número de globos que Orvin podría comprar?
Orvin went to the store with just enough money to buy 3030 balloons. When he arrived he discovered that the store had a special sale on balloons: buy 11 balloon at the regular price and get a second at 13\tfrac13 off the regular price. What is the greatest number of balloons Orvin could buy?
3333
3434
3636
3838
3939
Respuesta: C
Conceptos:razón y proporcióndinero
Nivel de dificultad: 1070
Pista pequeña:
Agrupa los globos en parejas, uno a precio completo y otro a 23\tfrac23 del precio.
Group the balloons into pairs, one at full price and one at 23\tfrac23 of the price
Pista grande:
Cada pareja cuesta 53\tfrac53 del precio de un globo regular.
Each pair costs 53\tfrac53 of a regular balloon’s price
Solución:
Con la oferta, una pareja de globos cuesta 1+23=531 + \tfrac23 = \tfrac53 veces el precio regular de un globo.
El dinero de Orvin compra 3030 globos al precio regular, así que puede pagar 30÷53=18 30 \div \tfrac53 = 18 parejas, es decir 3636 globos.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Under the sale, a pair of balloons costs 1+23=531 + \tfrac23 = \tfrac53 times the regular price of one balloon.
Orvin’s money buys 3030 balloons at the regular price, so he can afford 30÷53=18 30 \div \tfrac53 = 18 pairs, which is 3636 balloons.
Thus, the correct answer is C.

3.

Randy condujo el primer tercio de su viaje por un camino de grava, las siguientes 2020 millas por pavimento, y el quinto restante por un camino de tierra. En millas, ¿qué tan largo fue el viaje de Randy?
Randy drove the first third of his trip on a gravel road, the next 2020 miles on pavement, and the remaining one-fifth on a dirt road. In miles, how long was Randy’s trip?
3030
40011\dfrac{400}{11}
752\dfrac{75}{2}
4040
3007\dfrac{300}{7}
Respuesta: E
Conceptos:fracciónecuación lineal
Nivel de dificultad: 1150
Pista pequeña:
El tramo pavimentado es la fracción del viaje que no está en grava ni en tierra.
The paved stretch is the fraction of the trip not on gravel or dirt
Pista grande:
Esa fracción pavimentada 1−13−151-\tfrac13-\tfrac15 es igual a 2020 millas.
That paved fraction 1−13−151-\tfrac13-\tfrac15 equals 2020 miles
Solución:
La fracción del viaje sobre pavimento es 1−13−15=715. 1 - \tfrac13 - \tfrac15 = \tfrac{7}{15}.
Como esto es igual a 2020 millas, el viaje completo mide 20÷715=3007 20 \div \tfrac{7}{15} = \tfrac{300}{7} millas.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
The fraction of the trip on pavement is 1−13−15=715. 1 - \tfrac13 - \tfrac15 = \tfrac{7}{15}.
Since this equals 2020 miles, the whole trip is 20÷715=3007 20 \div \tfrac{7}{15} = \tfrac{300}{7} miles.
Thus, the correct answer is E.

4.

Susie paga 44 muffins y 33 plátanos. Calvin gasta el doble pagando 22 muffins y 1616 plátanos. ¿Cuántas veces más caro es un muffin que un plátano?
Susie pays for 44 muffins and 33 bananas. Calvin spends twice as much paying for 22 muffins and 1616 bananas. A muffin is how many times as expensive as a banana?
32\dfrac{3}{2}
53\dfrac{5}{3}
74\dfrac{7}{4}
22
134\dfrac{13}{4}
Respuesta: B
Conceptos:ecuación linealrazón y proporción
Nivel de dificultad: 1230
Pista pequeña:
Sea mm el precio de un muffin y bb el de un plátano.
Let a muffin cost mm and a banana cost bb
Pista grande:
Que Calvin gaste el doble significa 2(4m+3b)=2m+16b2(4m+3b)=2m+16b.
Calvin spending twice as much means 2(4m+3b)=2m+16b2(4m+3b)=2m+16b
Solución:
El precio de un muffin es mm y el de un plátano es b.b. Entonces 2(4m+3b)=2m+16b. 2(4m+3b) = 2m+16b.
Al desarrollar se obtiene 8m+6b=2m+16b,8m+6b = 2m+16b, así que 6m=10b6m = 10b y m=53b.m = \tfrac53 b.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Let a muffin cost mm and a banana cost b.b. Then 2(4m+3b)=2m+16b. 2(4m+3b) = 2m+16b.
Expanding gives 8m+6b=2m+16b,8m+6b = 2m+16b, so 6m=10b6m = 10b and m=53b.m = \tfrac53 b.
Thus, the correct answer is B.

5.

Doug construye una ventana cuadrada usando 88 paneles de vidrio del mismo tamaño, como se muestra. La razón entre la altura y el ancho de cada panel es 5:2,5 : 2, y los bordes alrededor y entre los paneles tienen 22 pulgadas de ancho. En pulgadas, ¿cuál es la longitud del lado de la ventana cuadrada?
Doug constructs a square window using 88 equal-size panes of glass, as shown. The ratio of the height to width for each pane is 5:2,5 : 2, and the borders around and between the panes are 22 inches wide. In inches, what is the side length of the square window?
2626
2828
3030
3232
3434
Respuesta: A
Conceptos:razón y proporciónecuación linealrectángulo
Nivel de dificultad: 1400
Pista pequeña:
Sea cada panel de 2x2x de ancho y 5x5x de alto.
Let each pane be 2x2x wide and 5x5x tall
Pista grande:
El ancho de la ventana 4(2x)+5⋅24(2x)+5\cdot2 es igual a su altura 2(5x)+3⋅22(5x)+3\cdot2.
The window’s width 4(2x)+5⋅24(2x)+5\cdot2 equals its height 2(5x)+3⋅22(5x)+3\cdot2
Solución:
Sea cada panel de ancho 2x2x y de altura 5x.5x. La ventana tiene 44 paneles de ancho con 55 bordes verticales, así que su ancho es 4(2x)+5⋅2=8x+10.4(2x) + 5\cdot2 = 8x+10.
Tiene 22 paneles de alto con 33 bordes horizontales, así que su altura es 2(5x)+3⋅2=10x+6.2(5x) + 3\cdot2 = 10x+6.
Igualar el ancho con la altura da 8x+10=10x+6,8x+10 = 10x+6, así que x=2x=2 y la longitud del lado es 10⋅2+6=26.10\cdot2+6 = 26.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
Let each pane have width 2x2x and height 5x.5x. The window is 44 panes wide with 55 vertical borders, so its width is 4(2x)+5⋅2=8x+10.4(2x) + 5\cdot2 = 8x+10.
It is 22 panes tall with 33 horizontal borders, so its height is 2(5x)+3⋅2=10x+6.2(5x) + 3\cdot2 = 10x+6.
Setting width equal to height gives 8x+10=10x+6,8x+10 = 10x+6, so x=2x=2 and the side length is 10⋅2+6=26.10\cdot2+6 = 26.
Thus, the correct answer is A.

6.

Ed y Ann toman limonada con su almuerzo. Ed pide el tamaño regular. Ann pide la limonada grande, que es 50%50\% más que la regular. Después de que ambos consumen 34\tfrac34 de sus bebidas, Ann le da a Ed un tercio de lo que le queda, y 22 onzas adicionales. Cuando terminan sus limonadas se dan cuenta de que ambos bebieron la misma cantidad. ¿Cuántas onzas de limonada bebieron entre los dos?
Ed and Ann both have lemonade with their lunch. Ed orders the regular size. Ann gets the large lemonade, which is 50%50\% more than the regular. After both consume 34\tfrac34 of their drinks, Ann gives Ed a third of what she has left, and 22 additional ounces. When they finish their lemonades they realize that they both drank the same amount. How many ounces of lemonade did they drink together?
3030
3232
3636
4040
5050
Respuesta: D
Conceptos:fracciónecuación lineal
Nivel de dificultad: 1460
Pista pequeña:
Sea una limonada regular de aa onzas, de modo que la grande es 32a\tfrac32 a.
Let a regular lemonade be aa ounces, so the large is 32a\tfrac32 a
Pista grande:
Después de beber 34,\tfrac34, a Ann le quedan 38a\tfrac38 a y le entrega a Ed 13\tfrac13 de eso más 22.
After drinking 34,\tfrac34, Ann has 38a\tfrac38 a left and hands Ed 13\tfrac13 of that plus 22
Solución:
Sea una limonada regular de aa onzas, de modo que la grande de Ann contiene 32a.\tfrac32 a. Después de que cada uno bebe 34,\tfrac34, a Ann le quedan 14⋅32a=38a\tfrac14\cdot\tfrac32 a = \tfrac38 a, y le da a Ed 13⋅38a+2=18a+2\tfrac13\cdot\tfrac38 a + 2 = \tfrac18 a + 2 onzas.
Ed bebe sus aa onzas completas más ese regalo, y Ann bebe sus 32a\tfrac32 a menos el regalo. Igualando ambos, a+(18a+2)=32a−(18a+2), a + \left(\tfrac18 a + 2\right) = \tfrac32 a - \left(\tfrac18 a + 2\right), lo que da 4=14a,4 = \tfrac14 a, así que a=16.a = 16.
Entonces Ed bebió 1616 onzas y Ann bebió 2424 onzas, para un total de 4040 onzas.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Let a regular lemonade hold aa ounces, so Ann’s large holds 32a.\tfrac32 a. After each drinks 34,\tfrac34, Ann has 14⋅32a=38a\tfrac14\cdot\tfrac32 a = \tfrac38 a left, and she gives Ed 13⋅38a+2=18a+2\tfrac13\cdot\tfrac38 a + 2 = \tfrac18 a + 2 ounces.
Ed drinks his full aa ounces plus that gift, and Ann drinks her 32a\tfrac32 a minus the gift. Setting these equal, a+(18a+2)=32a−(18a+2), a + \left(\tfrac18 a + 2\right) = \tfrac32 a - \left(\tfrac18 a + 2\right), which gives 4=14a,4 = \tfrac14 a, so a=16.a = 16.
Then Ed drank 1616 ounces and Ann drank 2424 ounces, for a total of 4040 ounces.
Thus, the correct answer is D.

7.

¿Para cuántos enteros positivos nn el valor n30−n\dfrac{n}{30-n} también es un entero positivo?
For how many positive integers nn is n30−n\dfrac{n}{30-n} also a positive integer?
44
55
66
77
88
Respuesta: D
Conceptos:divisibilidadfactormanipulación algebraica
Nivel de dificultad: 1520
Pista pequeña:
Reescribe n30−n=3030−n−1\dfrac{n}{30-n} = \dfrac{30}{30-n} - 1.
Rewrite n30−n=3030−n−1\dfrac{n}{30-n} = \dfrac{30}{30-n} - 1
Pista grande:
Así que 30−n30-n debe ser un divisor positivo de 30,30, y el cociente debe ser al menos 22.
So 30−n30-n must be a positive divisor of 30,30, and the quotient must be at least 22
Solución:
Escribe n30−n=3030−n−1. \dfrac{n}{30-n} = \dfrac{30}{30-n} - 1.
Para que esto sea un entero positivo, 30−n30-n debe ser un divisor positivo de 3030 con 3030−n≥2,\dfrac{30}{30-n} \ge 2, es decir 30−n≤15.30-n \le 15.
Los divisores de 3030 que son a lo sumo 1515 son 1,2,3,5,6,10,15,1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, lo que da 77 valores de nn (a saber 15,20,24,25,27,28,2915, 20, 24, 25, 27, 28, 29).
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Write n30−n=3030−n−1. \dfrac{n}{30-n} = \dfrac{30}{30-n} - 1.
For this to be a positive integer, 30−n30-n must be a positive divisor of 3030 with 3030−n≥2,\dfrac{30}{30-n} \ge 2, i.e. 30−n≤15.30-n \le 15.
The divisors of 3030 that are at most 1515 are 1,2,3,5,6,10,15,1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, giving 77 values of nn (namely 15,20,24,25,27,28,2915, 20, 24, 25, 27, 28, 29).
Thus, the correct answer is D.

8.

En la suma que se muestra a continuación, A,A, B,B, C,C, y DD son dígitos distintos. ¿Cuántos valores diferentes son posibles para DD?
ABBCB+BCADADBDDD\begin{array}{cccccc} & A & B & B & C & B \\ + & B & C & A & D & A \\ \hline & D & B & D & D & D \end{array}
In the addition shown below A,A, B,B, C,C, and DD are distinct digits. How many different values are possible for D?D?
ABBCB+BCADADBDDD\begin{array}{cccccc} & A & B & B & C & B \\ + & B & C & A & D & A \\ \hline & D & B & D & D & D \end{array}
22
44
77
88
99
Respuesta: C
Conceptos:criptoaritméticavalor posicionalanálisis por casos
Nivel de dificultad: 1580
Pista pequeña:
La columna más a la izquierda da A+B=DA+B=D sin acarreo, así que A+B≤9A+B \le 9.
The leftmost column gives A+B=DA+B=D with no carry, so A+B≤9A+B \le 9
Pista grande:
La segunda y la cuarta columna obligan a que C=0C=0 y a que no haya acarreos en ningún lugar.
The second and fourth columns force C=0C=0 and no carries anywhere
Solución:
La columna más a la izquierda muestra A+B=DA+B = D sin acarreo de salida, así que A+B≤9.A+B \le 9. Examinar las columnas de las decenas y de los millares (cada una de la forma C+dıˊgito+acarreoC + \text{dígito} + \text{acarreo} que produce el mismo dígito) obliga a C=0C = 0 y elimina todos los acarreos.
Cada columna se reduce entonces a A+B=D,A+B = D, con A,B,C=0A, B, C=0 distintos. Como AA y BB son dígitos positivos distintos, D=A+BD = A+B puede tomar cualquier valor desde 33 hasta 9,9, lo que da 77 posibilidades, por ejemplo (A,B,C,D)=(1,2,0,3),(A,B,C,D) = (1,2,0,3), (1,3,0,4),…,(1,3,0,4), \ldots, (2,7,0,9).(2,7,0,9).
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
The leftmost column shows A+B=DA+B = D with no carry out, so A+B≤9.A+B \le 9. Examining the tens and thousands columns (each of the form C+digit+carryC + \text{digit} + \text{carry} producing the same digit) forces C=0C = 0 and eliminates all carries.
Every column then reduces to A+B=D,A+B = D, with A,B,C=0A, B, C=0 distinct. Since AA and BB are distinct positive digits, D=A+BD = A+B can be any value from 33 up to 9,9, giving 77 possibilities, for example (A,B,C,D)=(1,2,0,3),(A,B,C,D) = (1,2,0,3), (1,3,0,4),…,(1,3,0,4), \ldots, (2,7,0,9).(2,7,0,9).
Thus, the correct answer is C.

9.

El cuadrilátero convexo ABCDABCD tiene AB=3,AB = 3, BC=4,BC = 4, CD=13,CD = 13, AD=12,AD = 12, y ∠ABC=90∘,\angle ABC = 90^\circ, como se muestra. ¿Cuál es el área del cuadrilátero?
Convex quadrilateral ABCDABCD has AB=3,AB = 3, BC=4,BC = 4, CD=13,CD = 13, AD=12,AD = 12, and ∠ABC=90∘,\angle ABC = 90^\circ, as shown. What is the area of the quadrilateral?
3030
3636
4040
4848
58.558.5
Respuesta: B
Conceptos:Teorema de Pitágorasárea del triángulodescomposición de áreas
Nivel de dificultad: 1560
Pista pequeña:
Usa el triángulo rectángulo ABCABC para hallar la diagonal ACAC.
Use right triangle ABCABC to find diagonal ACAC
Pista grande:
Comprueba si AC,AC, AD,AD, CDCD satisfacen AC2+AD2=CD2AC^2 + AD^2 = CD^2.
Check whether AC,AC, AD,AD, CDCD satisfy AC2+AD2=CD2AC^2 + AD^2 = CD^2
Solución:
Por el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo ABC,ABC, AC=32+42=5.AC = \sqrt{3^2+4^2} = 5.
Como 52+122=132,5^2 + 12^2 = 13^2, el recíproco del Teorema de Pitágoras muestra que ∠DAC=90∘,\angle DAC = 90^\circ, por lo que △DAC\triangle DAC es rectángulo.
El área de △ABC\triangle ABC es 12⋅3⋅4=6\tfrac12\cdot3\cdot4 = 6 y el área de △DAC\triangle DAC es 12⋅5⋅12=30.\tfrac12\cdot5\cdot12 = 30. El cuadrilátero tiene área 6+30=36.6 + 30 = 36.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
By the Pythagorean Theorem in right triangle ABC,ABC, AC=32+42=5.AC = \sqrt{3^2+4^2} = 5.
Since 52+122=132,5^2 + 12^2 = 13^2, the converse of the Pythagorean Theorem shows ∠DAC=90∘,\angle DAC = 90^\circ, so △DAC\triangle DAC is right.
The area of △ABC\triangle ABC is 12⋅3⋅4=6\tfrac12\cdot3\cdot4 = 6 and the area of △DAC\triangle DAC is 12⋅5⋅12=30.\tfrac12\cdot5\cdot12 = 30. The quadrilateral has area 6+30=36.6 + 30 = 36.
Thus, the correct answer is B.

10.

Danica condujo su coche nuevo en un viaje durante un número entero de horas, con un promedio de 5555 millas por hora. Al comienzo del viaje, el odómetro mostraba abcabc millas, donde abcabc es un número de 33 cifras con a≥1a \ge 1 y a+b+c≤7.a+b+c \le 7. Al final del viaje, el odómetro mostraba cbacba millas. ¿Cuánto vale a2+b2+c2a^2 + b^2 + c^2?
Danica drove her new car on a trip for a whole number of hours, averaging 5555 miles per hour. At the beginning of the trip, abcabc miles was displayed on the odometer, where abcabc is a 33-digit number with a≥1a \ge 1 and a+b+c≤7.a+b+c \le 7. At the end of the trip, the odometer showed cbacba miles. What is a2+b2+c2?a^2 + b^2 + c^2?
2626
2727
3636
3737
4141
Respuesta: D
Conceptos:valor posicionaldivisibilidadmínimo común múltiplo
Nivel de dificultad: 1680
Pista pequeña:
La distancia recorrida es cba−abc=99(c−a)cba - abc = 99(c-a).
The distance driven is cba−abc=99(c−a)cba - abc = 99(c-a)
Pista grande:
También es un múltiplo de 55,55, así que es un múltiplo de lcm⁡(99,55)=495\operatorname{lcm}(99,55)=495.
It is also a multiple of 55,55, so it is a multiple of lcm⁡(99,55)=495\operatorname{lcm}(99,55)=495
Solución:
La distancia recorrida es cba−abc=99(c−a),cba - abc = 99(c-a), un múltiplo de 9.9. Conducir un número entero de horas a 5555 mph también la hace un múltiplo de 5555, y por tanto un múltiplo de 495.495.
Como la diferencia del odómetro es a lo sumo un número de 33 cifras y a≥1,a \ge 1, la distancia debe ser 495,495, así que c−a=5.c - a = 5.
Con a≥1a \ge 1 y a+b+c≤7,a+b+c \le 7, la única opción es a=1,a=1, c=6,c=6, b=0.b=0. Entonces a2+b2+c2=1+0+36=37.a^2+b^2+c^2 = 1 + 0 + 36 = 37.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
The distance driven is cba−abc=99(c−a),cba - abc = 99(c-a), a multiple of 9.9. Driving a whole number of hours at 5555 mph makes it a multiple of 5555 too, hence a multiple of 495.495.
Since the odometer difference is at most a 33-digit number and a≥1,a \ge 1, the distance must be 495,495, so c−a=5.c - a = 5.
With a≥1a \ge 1 and a+b+c≤7,a+b+c \le 7, the only choice is a=1,a=1, c=6,c=6, b=0.b=0. Then a2+b2+c2=1+0+36=37.a^2+b^2+c^2 = 1 + 0 + 36 = 37.
Thus, the correct answer is D.

11.

Una lista de 1111 enteros positivos tiene una media de 10,10, una mediana de 9,9, y una única moda de 8.8. ¿Cuál es el mayor valor posible de un entero de la lista?
A list of 1111 positive integers has a mean of 10,10, a median of 9,9, and a unique mode of 8.8. What is the largest possible value of an integer in the list?
2424
3030
3131
3333
3535
Respuesta: E
Conceptos:mediamediana (datos)modaoptimización
Nivel de dificultad: 1690
Pista pequeña:
Los 1111 números suman 110110.
The 1111 numbers sum to 110110
Pista grande:
Maximiza un número minimizando los otros diez, manteniendo el valor número 66 en 99 y a 88 como la única moda.
Maximize one number by minimizing the other ten, keeping the 66th value 99 and 88 the unique mode
Solución:
La lista suma 11⋅10=110.11 \cdot 10 = 110. Para maximizar una entrada, minimiza la suma de las otras diez.
Ordenados, el sexto número debe ser 99 (la mediana), y 88 debe aparecer más veces que cualquier otro valor. Probando 88 tres veces, los diez números más pequeños posibles son 1,1,8,8,8,9,9,10,10,11, 1,1,8,8,8,9,9,10,10,11, que suman 7575 y mantienen a 88 como la única moda.
La entrada más grande es entonces 110−75=35.110 - 75 = 35.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
The list sums to 11⋅10=110.11 \cdot 10 = 110. To maximize one entry, minimize the sum of the other ten.
Sorted, the sixth number must be 99 (the median), and 88 must appear more often than any other value. Trying 88 three times, the smallest possible ten numbers are 1,1,8,8,8,9,9,10,10,11, 1,1,8,8,8,9,9,10,10,11, which sum to 7575 and keep 88 the unique mode.
The largest entry is then 110−75=35.110 - 75 = 35.
Thus, the correct answer is E.

12.

Un conjunto SS está formado por triángulos cuyos lados tienen longitudes enteras menores que 5,5, y no hay dos elementos de SS que sean congruentes o semejantes. ¿Cuál es el mayor número de elementos que SS puede tener?
A set SS consists of triangles whose sides have integer lengths less than 5,5, and no two elements of SS are congruent or similar. What is the largest number of elements that SS can have?
88
99
1010
1111
1212
Respuesta: B
Conceptos:desigualdad triangularsemejanzaenumeración sistemática
Nivel de dificultad: 1770
Pista pequeña:
Lista cada triángulo por sus lados en orden no creciente usando valores de {1,2,3,4}\{1,2,3,4\}.
List each triangle by its sides in nonincreasing order using values from {1,2,3,4}\{1,2,3,4\}
Pista grande:
Descarta los que no cumplen la desigualdad triangular, y cuenta 2,2,12,2,1 y 4,4,24,4,2 solo una vez, ya que son semejantes.
Drop those failing the triangle inequality, and count 2,2,12,2,1 and 4,4,24,4,2 only once since they are similar
Solución:
Escribe cada triángulo por sus longitudes de lado en orden no creciente. Solo se permite un triángulo equilátero (todos son semejantes), y del par semejante 2,2,12,2,1 y 4,4,24,4,2 solo uno puede aparecer.
Los triángulos válidos restantes, no semejantes entre sí, son 4 4 3, 4 4 1, 4 3 3, 4 3 2, 3 3 2, 3 3 1, 3 2 2, \begin{gathered} 4\,4\,3,\ 4\,4\,1,\ 4\,3\,3,\ 4\,3\,2,\ \\ 3\,3\,2,\ 3\,3\,1,\ 3\,2\,2, \end{gathered} siete en total. Junto con uno equilátero y uno del par semejante, SS tiene a lo sumo 99 elementos.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Write each triangle by its side lengths in nonincreasing order. Only one equilateral triangle is allowed (all are similar), and of the similar pair 2,2,12,2,1 and 4,4,24,4,2 only one may appear.
The remaining valid, pairwise non-similar triangles are 4 4 3, 4 4 1, 4 3 3, 4 3 2, 3 3 2, 3 3 1, 3 2 2, \begin{gathered} 4\,4\,3,\ 4\,4\,1,\ 4\,3\,3,\ 4\,3\,2,\ \\ 3\,3\,2,\ 3\,3\,1,\ 3\,2\,2, \end{gathered} seven in all. Together with one equilateral and one of the similar pair, SS has at most 99 elements.
Thus, the correct answer is B.

13.

Se eligen números reales aa y bb con 1<a<b1 \lt a \lt b de modo que ningún triángulo de área positiva tenga longitudes de lado 1,1, a,a, y bb o 1b,\tfrac1b, 1a,\tfrac1a, y 1.1. ¿Cuál es el menor valor posible de bb?
Real numbers aa and bb are chosen with 1<a<b1 \lt a \lt b such that no triangle with positive area has side lengths 1,1, a,a, and bb or 1b,\tfrac1b, 1a,\tfrac1a, and 1.1. What is the smallest possible value of b?b?
3+32\dfrac{3+\sqrt{3}}{2}
52\dfrac{5}{2}
3+52\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}
3+62\dfrac{3+\sqrt{6}}{2}
33
Respuesta: C
Conceptos:desigualdad triangularcuadráticaacotación a casos límite
Nivel de dificultad: 1870
Pista pequeña:
Con 1<a<b,1 \lt a \lt b, que no exista un triángulo 1,a,b1, a, b significa b≥a+1b \ge a+1.
With 1<a<b,1 \lt a \lt b, no triangle 1,a,b1, a, b means b≥a+1b \ge a+1
Pista grande:
Que no exista un triángulo 1b,1a,1\tfrac1b, \tfrac1a, 1 significa 1≥1a+1b,1 \ge \tfrac1a + \tfrac1b, es decir a≤bb−1a \le \tfrac{b}{b-1}.
No triangle 1b,1a,1\tfrac1b, \tfrac1a, 1 means 1≥1a+1b,1 \ge \tfrac1a + \tfrac1b, i.e. a≤bb−1a \le \tfrac{b}{b-1}
Solución:
Como bb es el mayor de 1,a,b,1, a, b, no existe tal triángulo exactamente cuando b≥a+1.b \ge a+1. Como 11 es el mayor de 1b,1a,1,\tfrac1b, \tfrac1a, 1, no existe tal triángulo exactamente cuando 1≥1a+1b,1 \ge \tfrac1a + \tfrac1b, es decir a≤bb−1.a \le \tfrac{b}{b-1}.
Ambas condiciones se cumplen con bb mínimo cuando a+1=ba+1 = b y a=bb−1a = \tfrac{b}{b-1} coinciden, lo que da b−1=bb−1,b - 1 = \tfrac{b}{b-1}, o sea b2−3b+1=0.b^2 - 3b + 1 = 0.
La raíz mayor que 11 es b=3+52.b = \dfrac{3+\sqrt5}{2}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Since bb is the largest of 1,a,b,1, a, b, no such triangle exists exactly when b≥a+1.b \ge a+1. Since 11 is the largest of 1b,1a,1,\tfrac1b, \tfrac1a, 1, no such triangle exists exactly when 1≥1a+1b,1 \ge \tfrac1a + \tfrac1b, that is a≤bb−1.a \le \tfrac{b}{b-1}.
Both conditions hold with bb smallest when a+1=ba+1 = b and a=bb−1a = \tfrac{b}{b-1} meet, giving b−1=bb−1,b - 1 = \tfrac{b}{b-1}, or b2−3b+1=0.b^2 - 3b + 1 = 0.
The root larger than 11 is b=3+52.b = \dfrac{3+\sqrt5}{2}.
Thus, the correct answer is C.

14.

Una caja rectangular tiene un área superficial total de 9494 pulgadas cuadradas. La suma de las longitudes de todas sus aristas es 4848 pulgadas. ¿Cuál es la suma, en pulgadas, de las longitudes de todas sus diagonales interiores?
A rectangular box has a total surface area of 9494 square inches. The sum of the lengths of all its edges is 4848 inches. What is the sum of the lengths in inches of all of its interior diagonals?
838\sqrt{3}
10210\sqrt{2}
16316\sqrt{3}
20220\sqrt{2}
40240\sqrt{2}
Respuesta: D
Conceptos:prisma rectangularárea de superficiemanipulación algebraica
Nivel de dificultad: 1840
Pista pequeña:
Sean las aristas x,y,z,x, y, z, de modo que 2(xy+yz+zx)=942(xy+yz+zx)=94 y 4(x+y+z)=484(x+y+z)=48.
Let the edges be x,y,z,x, y, z, so 2(xy+yz+zx)=942(xy+yz+zx)=94 and 4(x+y+z)=484(x+y+z)=48
Pista grande:
Usa (x+y+z)2=(x+y+z)^2 = x2+y2+z2x^2+y^2+z^2 +2(xy+yz+zx)+ 2(xy+yz+zx) para hallar cada diagonal x2+y2+z2\sqrt{x^2+y^2+z^2}.
Use (x+y+z)2=(x+y+z)^2 = x2+y2+z2x^2+y^2+z^2 +2(xy+yz+zx)+ 2(xy+yz+zx) to find each diagonal x2+y2+z2\sqrt{x^2+y^2+z^2}
Solución:
Sean las aristas x,y,z.x, y, z. Entonces xy+yz+zx=47xy+yz+zx = 47 y x+y+z=12.x+y+z = 12. Por lo tanto x2+y2+z2=(x+y+z)2−2(xy+yz+zx)=144−94=50. \begin{gathered} x^2+y^2+z^2 = (x+y+z)^2 \\ {}- 2(xy+yz+zx) \\ = 144 - 94 \\ = 50. \end{gathered}
Cada una de las 44 diagonales interiores tiene longitud x2+y2+z2=50=52,\sqrt{x^2+y^2+z^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt2, así que su longitud total es 4⋅52=202.4 \cdot 5\sqrt2 = 20\sqrt2.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Let the edges be x,y,z.x, y, z. Then xy+yz+zx=47xy+yz+zx = 47 and x+y+z=12.x+y+z = 12. Therefore x2+y2+z2=(x+y+z)2−2(xy+yz+zx)=144−94=50. \begin{gathered} x^2+y^2+z^2 = (x+y+z)^2 \\ {}- 2(xy+yz+zx) \\ = 144 - 94 \\ = 50. \end{gathered}
Each of the 44 interior diagonals has length x2+y2+z2=50=52,\sqrt{x^2+y^2+z^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt2, so their total length is 4⋅52=202.4 \cdot 5\sqrt2 = 20\sqrt2.
Thus, the correct answer is D.

15.

Cuando p=∑k=16kln⁡k,p = \sum_{k=1}^{6} k \ln k, el número epe^p es un entero. ¿Cuál es la mayor potencia de 22 que es factor de epe^p?
When p=∑k=16kln⁡k,p = \sum_{k=1}^{6} k \ln k, the number epe^p is an integer. What is the largest power of 22 that is a factor of ep?e^p?
2122^{12}
2142^{14}
2162^{16}
2182^{18}
2202^{20}
Respuesta: C
Conceptos:logaritmofactorización en primos
Nivel de dificultad: 1950
Pista pequeña:
kln⁡k=ln⁡(kk),k \ln k = \ln(k^k), así que ep=∏k=16kke^p = \prod_{k=1}^{6} k^k.
kln⁡k=ln⁡(kk),k \ln k = \ln(k^k), so ep=∏k=16kke^p = \prod_{k=1}^{6} k^k
Pista grande:
Solo 22,2^2, 44,4^4, y 666^6 aportan factores de 22.
Only 22,2^2, 44,4^4, and 666^6 contribute factors of 22
Solución:
Como kln⁡k=ln⁡(kk),k \ln k = \ln(k^k), la suma da p=ln⁡(∏k=16kk),p = \ln\left(\prod_{k=1}^{6} k^k\right), así que ep=11⋅22⋅33⋅44⋅55⋅66. e^p = 1^1 \cdot 2^2 \cdot 3^3 \cdot 4^4 \cdot 5^5 \cdot 6^6.
Los factores de 22 provienen de 222^2 (que aporta 22), 44=284^4 = 2^8 (que aporta 88), y 66=26⋅366^6 = 2^6 \cdot 3^6 (que aporta 66). En total el exponente de 22 es 2+8+6=16.2 + 8 + 6 = 16.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Since kln⁡k=ln⁡(kk),k \ln k = \ln(k^k), the sum gives p=ln⁡(∏k=16kk),p = \ln\left(\prod_{k=1}^{6} k^k\right), so ep=11⋅22⋅33⋅44⋅55⋅66. e^p = 1^1 \cdot 2^2 \cdot 3^3 \cdot 4^4 \cdot 5^5 \cdot 6^6.
The factors of 22 come from 222^2 (giving 22), 44=284^4 = 2^8 (giving 88), and 66=26⋅366^6 = 2^6 \cdot 3^6 (giving 66). In total the exponent of 22 is 2+8+6=16.2 + 8 + 6 = 16.
Thus, the correct answer is C.

16.

Sea PP un polinomio cúbico con P(0)=k,P(0) = k, P(1)=2k,P(1) = 2k, y P(−1)=3k.P(-1) = 3k. ¿Cuánto vale P(2)+P(−2)P(2) + P(-2)?
Let PP be a cubic polynomial with P(0)=k,P(0) = k, P(1)=2k,P(1) = 2k, and P(−1)=3k.P(-1) = 3k. What is P(2)+P(−2)?P(2) + P(-2)?
00
kk
6k6k
7k7k
14k14k
Respuesta: E
Conceptos:polinomiosistema de ecuacionessimetría (álgebra)
Nivel de dificultad: 1950
Pista pequeña:
Escribe P(x)=ax3+bx2+cx+kP(x) = ax^3 + bx^2 + cx + k usando P(0)=kP(0)=k.
Write P(x)=ax3+bx2+cx+kP(x) = ax^3 + bx^2 + cx + k using P(0)=kP(0)=k
Pista grande:
Sumar P(1)P(1) y P(−1)P(-1) despeja b,b, y P(2)+P(−2)=8b+2kP(2)+P(-2) = 8b + 2k.
Adding P(1)P(1) and P(−1)P(-1) isolates b,b, and P(2)+P(−2)=8b+2kP(2)+P(-2) = 8b + 2k
Solución:
Como P(0)=k,P(0) = k, escribe P(x)=ax3+bx2+cx+k.P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + k.
Entonces P(1)=a+b+c+k=2kP(1) = a+b+c+k = 2k y P(−1)=−a+b−c+k=3k.P(-1) = -a+b-c+k = 3k. Sumando estas se obtiene 2b+2k=5k,2b + 2k = 5k, así que 2b=3k.2b = 3k.
Los términos de potencia impar se cancelan en la suma: P(2)+P(−2)=(8a+4b+2c+k)+(−8a+4b−2c+k)=8b+2k. \begin{gathered} P(2)+P(-2) \\ = (8a+4b+2c+k) \\ {}+ (-8a+4b-2c+k) \\ = 8b + 2k. \end{gathered} Como 8b=4(2b)=12k,8b = 4(2b) = 12k, esto es igual a 12k+2k=14k.12k + 2k = 14k.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
Since P(0)=k,P(0) = k, write P(x)=ax3+bx2+cx+k.P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + k.
Then P(1)=a+b+c+k=2kP(1) = a+b+c+k = 2k and P(−1)=−a+b−c+k=3k.P(-1) = -a+b-c+k = 3k. Adding these gives 2b+2k=5k,2b + 2k = 5k, so 2b=3k.2b = 3k.
The odd-power terms cancel in the sum: P(2)+P(−2)=(8a+4b+2c+k)+(−8a+4b−2c+k)=8b+2k. \begin{gathered} P(2)+P(-2) \\ = (8a+4b+2c+k) \\ {}+ (-8a+4b-2c+k) \\ = 8b + 2k. \end{gathered} Since 8b=4(2b)=12k,8b = 4(2b) = 12k, this equals 12k+2k=14k.12k + 2k = 14k.
Thus, the correct answer is E.

17.

Sea PP la parábola con ecuación y=x2y = x^2 y sea Q=(20,14).Q = (20, 14). Existen números reales rr y ss tales que la recta que pasa por QQ con pendiente mm no interseca a PP si y solo si r<m<s.r \lt m \lt s. ¿Cuánto vale r+sr + s?
Let PP be the parabola with equation y=x2y = x^2 and let Q=(20,14).Q = (20, 14). There are real numbers rr and ss such that the line through QQ with slope mm does not intersect PP if and only if r<m<s.r \lt m \lt s. What is r+s?r + s?
11
2626
4040
5252
8080
Respuesta: E
Conceptos:parábolacuadráticaFórmulas de Vieta
Nivel de dificultad: 2010
Pista pequeña:
La recta es y=m(x−20)+14;y = m(x-20) + 14; iguálala a x2x^2.
The line is y=m(x−20)+14;y = m(x-20) + 14; set it equal to x2x^2
Pista grande:
Que no haya intersección significa que el discriminante m2−80m+56<0;m^2 - 80m + 56 \lt 0; usa la suma de las raíces r,sr, s.
No intersection means the discriminant m2−80m+56<0;m^2 - 80m + 56 \lt 0; use the sum of the roots r,sr, s
Solución:
La recta que pasa por QQ es y=m(x−20)+14.y = m(x-20) + 14. Al sustituir en y=x2y = x^2 se obtiene x2−mx+(20m−14)=0. x^2 - mx + (20m - 14) = 0.
No hay intersección exactamente cuando esto no tiene raíz real, es decir cuando el discriminante m2−4(20m−14)m^2 - 4(20m-14) =m2−80m+56= m^2 - 80m + 56 es negativo. Eso ocurre entre las dos raíces rr y ss de m2−80m+56=0.m^2 - 80m + 56 = 0.
Por las fórmulas de Vieta, r+s=80.r + s = 80.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
The line through QQ is y=m(x−20)+14.y = m(x-20) + 14. Substituting into y=x2y = x^2 gives x2−mx+(20m−14)=0. x^2 - mx + (20m - 14) = 0.
There is no intersection exactly when this has no real root, i.e. when the discriminant m2−4(20m−14)m^2 - 4(20m-14) =m2−80m+56= m^2 - 80m + 56 is negative. That happens between the two roots rr and ss of m2−80m+56=0.m^2 - 80m + 56 = 0.
By Vieta’s formulas, r+s=80.r + s = 80.
Thus, the correct answer is E.

18.

Los números 1,1, 2,2, 3,3, 4,4, 55 se van a acomodar en un círculo. Un arreglo es malo si no es cierto que para cada nn desde 11 hasta 1515 se pueda encontrar un subconjunto de los números que aparecen consecutivamente en el círculo cuya suma sea n.n. Los arreglos que difieren solo por una rotación o una reflexión se consideran iguales. ¿Cuántos arreglos malos diferentes hay?
The numbers 1,1, 2,2, 3,3, 4,4, 55 are to be arranged in a circle. An arrangement is bad if it is not true that for every nn from 11 to 1515 one can find a subset of the numbers that appear consecutively on the circle that sum to n.n. Arrangements that differ only by a rotation or a reflection are considered the same. How many different bad arrangements are there?
11
22
33
44
55
Respuesta: B
Conceptos:arreglos circularesconteo complementarioanálisis por casos
Nivel de dificultad: 2150
Pista pequeña:
Las sumas 11 hasta 55 siempre se pueden lograr con un solo número.
Sums 11 through 55 are always achievable with a single number
Pista grande:
Si un bloque consecutivo suma n,n, su complemento suma 15−n,15-n, así que solo 66 y 77 pueden fallar.
If a consecutive block sums to n,n, its complement sums to 15−n,15-n, so only 66 and 77 can fail
Solución:
Cualquier número por sí solo cubre las sumas de 11 a 5.5. Si un bloque consecutivo suma n,n, los números restantes forman un bloque consecutivo que suma 15−n,15 - n, así que también quedan cubiertas automáticamente las sumas de 1010 a 1414. Por tanto, un arreglo es malo solo si no produce 66 o 7.7.
Si no se puede formar 66, podemos rotar y reflejar para que el orden sea 1bc5e.1bc5e. El par {b,c}\{b,c\} no puede ser {2,3}\{2,3\} ni {2,4},\{2,4\}, así que e=2;e=2; evitar el bloque 213213 obliga entonces a 14352.14352. Si no se puede formar 77, escribimos el orden como 2bc5e.2bc5e. Ahora {b,c}\{b,c\} no puede ser {3,4}\{3,4\} ni {1,4},\{1,4\}, así que e=4,e=4, y evitar 421421 obliga a 23154.23154.
Estos son los únicos dos arreglos malos salvo rotación y reflexión.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Any single number covers sums 11 through 5.5. If a consecutive block sums to n,n, the remaining numbers form a consecutive block summing to 15−n,15 - n, so sums 1010 through 1414 are automatically covered as well. Thus an arrangement is bad only if it fails to produce 66 or 7.7.
If 66 cannot be formed, rotate and reflect so the order is 1bc5e.1bc5e. The pair {b,c}\{b,c\} cannot be {2,3}\{2,3\} or {2,4},\{2,4\}, so e=2;e=2; avoiding the block 213213 then forces 14352.14352. If 77 cannot be formed, write the order as 2bc5e.2bc5e. Now {b,c}\{b,c\} cannot be {3,4}\{3,4\} or {1,4},\{1,4\}, so e=4,e=4, and avoiding 421421 forces 23154.23154.
These are the only two bad arrangements up to rotation and reflection.
Thus, the correct answer is B.

19.

Una esfera está inscrita en un cono circular recto truncado, como se muestra. El volumen del cono truncado es el doble que el de la esfera. ¿Cuál es la razón entre el radio de la base inferior del cono truncado y el radio de la base superior del cono truncado?
A sphere is inscribed in a truncated right circular cone as shown. The volume of the truncated cone is twice that of the sphere. What is the ratio of the radius of the bottom base of the truncated cone to the radius of the top base of the truncated cone?
32\dfrac{3}{2}
1+52\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}
3\sqrt{3}
22
3+52\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}
Respuesta: E
Conceptos:conoesferavolumen
Nivel de dificultad: 2220
Pista pequeña:
Toma una sección axial, normaliza el radio superior a 1,1, y llama rr y aa a los radios de la base inferior y de la esfera.
Take an axial cross-section, normalize the top radius to 1,1, and call the bottom and sphere radii rr and aa
Pista grande:
Usa la distancia del centro de la esfera a un lado inclinado para relacionar rr y a,a, y luego compara los volúmenes del tronco y de la esfera
Use the distance from the sphere center to a slanted side to relate rr and a,a, then compare the frustum and sphere volumes
Solución:
Sea el radio superior 1,1, el radio inferior r,r, y el radio de la esfera a.a. La esfera toca ambas bases, así que la altura del tronco es 2a.2a. En una sección axial, coloca el centro de la esfera en (0,a)(0,a); el lado inclinado derecho que pasa por (r,0)(r,0) y (1,2a)(1,2a) tiene ecuación 2ax+(r−1)y−2ar=0.2ax+(r-1)y-2ar=0. Su distancia a (0,a)(0,a) es a,a, así que (r+1)2=4a2+(r−1)2,(r+1)^2=4a^2+(r-1)^2, lo que da r=a2.r=a^2.
El volumen del tronco es 13π(r2+r+1)(2a).\tfrac13 \pi (r^2 + r + 1)(2a). Igualarlo al doble del volumen de la esfera 43πa3\tfrac43 \pi a^3 y usar r=a2r = a^2 da a4−3a2+1=0, a^4 - 3a^2 + 1 = 0, es decir r2−3r+1=0.r^2 - 3r + 1 = 0.
La raíz positiva es r=3+52.r = \dfrac{3+\sqrt5}{2}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
Let the top radius be 1,1, the bottom radius r,r, and the sphere radius a.a. The sphere touches both bases, so the frustum height is 2a.2a. In an axial cross-section put the sphere center at (0,a)(0,a); the right slanted side through (r,0)(r,0) and (1,2a)(1,2a) has equation 2ax+(r−1)y−2ar=0.2ax+(r-1)y-2ar=0. Its distance from (0,a)(0,a) is a,a, so (r+1)2=4a2+(r−1)2,(r+1)^2=4a^2+(r-1)^2, giving r=a2.r=a^2.
The frustum volume is 13π(r2+r+1)(2a).\tfrac13 \pi (r^2 + r + 1)(2a). Setting it equal to twice the sphere volume 43πa3\tfrac43 \pi a^3 and using r=a2r = a^2 yields a4−3a2+1=0, a^4 - 3a^2 + 1 = 0, that is r2−3r+1=0.r^2 - 3r + 1 = 0.
The positive root is r=3+52.r = \dfrac{3+\sqrt5}{2}.
Thus, the correct answer is E.

20.

¿Para cuántos enteros positivos xx se cumple log⁡10(x−40)\log_{10}(x - 40) +log⁡10(60−x)<2+ \log_{10}(60 - x) \lt 2?
For how many positive integers xx is log⁡10(x−40)\log_{10}(x - 40) +log⁡10(60−x)<2?+ \log_{10}(60 - x) \lt 2?
1010
1818
1919
2020
infinitos
infinitely many
Respuesta: B
Conceptos:logaritmodesigualdadcuadrática
Nivel de dificultad: 2110
Pista pequeña:
Ambos logaritmos requieren 40<x<6040 \lt x \lt 60.
Both logarithms require 40<x<6040 \lt x \lt 60
Pista grande:
Combinando se obtiene (x−40)(60−x)<100,(x-40)(60-x) \lt 100, que equivale a (x−50)2>0(x-50)^2 \gt 0.
Combining gives (x−40)(60−x)<100,(x-40)(60-x) \lt 100, which is (x−50)2>0(x-50)^2 \gt 0
Solución:
Los logaritmos están definidos solo cuando x−40>0x - 40 \gt 0 y 60−x>0,60 - x \gt 0, así que 40<x<60.40 \lt x \lt 60.
Dentro de este rango la desigualdad se convierte en (x−40)(60−x)<100,(x-40)(60-x) \lt 100, que se desarrolla como x2−100x+2500>0,x^2 - 100x + 2500 \gt 0, es decir (x−50)2>0.(x-50)^2 \gt 0. Esto se cumple para todo x≠50.x \ne 50.
Los enteros estrictamente entre 4040 y 6060 excepto 5050 son 41,…,4941, \ldots, 49 y 51,…,59,51, \ldots, 59, lo que son 1818 valores.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
The logarithms are defined only when x−40>0x - 40 \gt 0 and 60−x>0,60 - x \gt 0, so 40<x<60.40 \lt x \lt 60.
Within this range the inequality becomes (x−40)(60−x)<100,(x-40)(60-x) \lt 100, which expands to x2−100x+2500>0,x^2 - 100x + 2500 \gt 0, i.e. (x−50)2>0.(x-50)^2 \gt 0. This holds for every x≠50.x \ne 50.
The integers strictly between 4040 and 6060 except 5050 are 41,…,4941, \ldots, 49 and 51,…,59,51, \ldots, 59, which is 1818 values.
Thus, the correct answer is B.

21.

En la figura, ABCDABCD es un cuadrado de lado 1.1. Los rectángulos JKHGJKHG y EBCFEBCF son congruentes. ¿Cuánto vale BEBE?
In the figure, ABCDABCD is a square of side length 1.1. The rectangles JKHGJKHG and EBCFEBCF are congruent. What is BE?BE?
12(6−2)\dfrac12(\sqrt{6} - 2)
14\dfrac14
2−32 - \sqrt{3}
36\dfrac{\sqrt{3}}{6}
1−221 - \dfrac{\sqrt{2}}{2}
Respuesta: C
Conceptos:triángulo rectángulotrigonometríapersecución de ángulos
Nivel de dificultad: 2350
Pista pequeña:
Sea θ=∠DHG;\theta = \angle DHG; en el triángulo rectángulo GDH,GDH, BE=1−cos⁡θsin⁡θBE = \dfrac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}.
Let θ=∠DHG;\theta = \angle DHG; in right triangle GDH,GDH, BE=1−cos⁡θsin⁡θBE = \dfrac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}
Pista grande:
A lo largo del lado superior, CD=CF+FH+HD=1CD = CF + FH + HD = 1 se simplifica a 2sin⁡θ=12\sin\theta = 1.
Along the top side, CD=CF+FH+HD=1CD = CF + FH + HD = 1 simplifies to 2sin⁡θ=12\sin\theta = 1
Solución:
Sea x=BE=GH=CFx = BE = GH = CF y θ=∠DHG=∠AGJ\theta = \angle DHG = \angle AGJ =∠FKH,= \angle FKH, con AD=GJ=HK=1.AD = GJ = HK = 1. En el triángulo rectángulo GDH,GDH, xsin⁡θ=DG=1−cos⁡θ,x \sin\theta = DG = 1 - \cos\theta, así que x=1−cos⁡θsin⁡θ.x = \dfrac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}.
A lo largo del lado CD,CD, 1=CF+FH+HD=x+sin⁡θ+xcos⁡θ. \begin{gathered} 1 = CF + FH + HD \\ = x + \sin\theta + x\cos\theta. \end{gathered} Sustituyendo xx se obtiene 1=(1−cos⁡θ)(1+cos⁡θ)sin⁡θ+sin⁡θ=sin⁡2θsin⁡θ+sin⁡θ=2sin⁡θ. \begin{gathered} 1 = \dfrac{(1-\cos\theta)(1+\cos\theta)}{\sin\theta} \\ {}+ \sin\theta \\ = \dfrac{\sin^2\theta}{\sin\theta} \\ {}+ \sin\theta \\ = 2\sin\theta. \end{gathered}
Por lo tanto sin⁡θ=12,\sin\theta = \tfrac12, así que θ=30∘\theta = 30^\circ y x=1−3212=2−3. x = \dfrac{1 - \frac{\sqrt3}{2}}{\frac12} = 2 - \sqrt3.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Let x=BE=GH=CFx = BE = GH = CF and θ=∠DHG=∠AGJ\theta = \angle DHG = \angle AGJ =∠FKH,= \angle FKH, with AD=GJ=HK=1.AD = GJ = HK = 1. In right triangle GDH,GDH, xsin⁡θ=DG=1−cos⁡θ,x \sin\theta = DG = 1 - \cos\theta, so x=1−cos⁡θsin⁡θ.x = \dfrac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}.
Along side CD,CD, 1=CF+FH+HD=x+sin⁡θ+xcos⁡θ. \begin{gathered} 1 = CF + FH + HD \\ = x + \sin\theta + x\cos\theta. \end{gathered} Substituting for xx gives 1=(1−cos⁡θ)(1+cos⁡θ)sin⁡θ+sin⁡θ=sin⁡2θsin⁡θ+sin⁡θ=2sin⁡θ. \begin{gathered} 1 = \dfrac{(1-\cos\theta)(1+\cos\theta)}{\sin\theta} \\ {}+ \sin\theta \\ = \dfrac{\sin^2\theta}{\sin\theta} \\ {}+ \sin\theta \\ = 2\sin\theta. \end{gathered}
Hence sin⁡θ=12,\sin\theta = \tfrac12, so θ=30∘\theta = 30^\circ and x=1−3212=2−3. x = \dfrac{1 - \frac{\sqrt3}{2}}{\frac12} = 2 - \sqrt3.
Thus, the correct answer is C.

22.

En un pequeño estanque hay once nenúfares en fila, numerados de 00 a 10.10. Una rana está sentada en el nenúfar 1.1. Cuando la rana está en el nenúfar N,N, 0<N<10,0 \lt N \lt 10, saltará al nenúfar N−1N - 1 con probabilidad N10\dfrac{N}{10} y al nenúfar N+1N + 1 con probabilidad 1−N10.1 - \dfrac{N}{10}. Cada salto es independiente de los saltos anteriores. Si la rana llega al nenúfar 00 será comida por una serpiente que espera pacientemente. Si la rana llega al nenúfar 1010 saldrá del estanque para no volver. ¿Cuál es la probabilidad de que la rana escape de ser comida por la serpiente?
In a small pond there are eleven lily pads in a row labeled 00 through 10.10. A frog is sitting on pad 1.1. When the frog is on pad N,N, 0<N<10,0 \lt N \lt 10, it will jump to pad N−1N - 1 with probability N10\dfrac{N}{10} and to pad N+1N + 1 with probability 1−N10.1 - \dfrac{N}{10}. Each jump is independent of the previous jumps. If the frog reaches pad 00 it will be eaten by a patiently waiting snake. If the frog reaches pad 1010 it will exit the pond, never to return. What is the probability that the frog will escape being eaten by the snake?
3279\dfrac{32}{79}
161384\dfrac{161}{384}
63146\dfrac{63}{146}
716\dfrac{7}{16}
12\dfrac{1}{2}
Respuesta: C
Conceptos:camino aleatorioprobabilidad recursivasimetría
Nivel de dificultad: 2450
Pista pequeña:
Por simetría, la probabilidad de escape desde el nenúfar 55 es 12\tfrac12.
By symmetry the escape probability from pad 55 is 12\tfrac12
Pista grande:
Sea pjp_j la probabilidad de escape desde el nenúfar jj y escribe cada pjp_j en términos de sus vecinos.
Let pjp_j be the escape probability from pad jj and write each pjp_j in terms of its neighbors
Solución:
Sea pjp_j la probabilidad de llegar finalmente al nenúfar 1010 partiendo del nenúfar j.j. Por la simetría de la regla de salto en el centro, p5=12.p_5 = \tfrac12.
Cada nenúfar interior satisface pj=10−j10 pj+1+j10 pj−1,p_j = \tfrac{10-j}{10}\,p_{j+1} + \tfrac{j}{10}\,p_{j-1}, lo que da p4=25p3+35p5,p3=310p2+710p4, \begin{gathered} p_4 = \tfrac25 p_3 + \tfrac35 p_5, \\ \quad p_3 = \tfrac{3}{10} p_2 + \tfrac{7}{10} p_4, \end{gathered} p2=15p1+45p3,p1=910p2. p_2 = \tfrac15 p_1 + \tfrac45 p_3,\quad p_1 = \tfrac{9}{10} p_2.
Sea dj=pj−pj−1.d_j=p_j-p_{j-1}. La recurrencia equivale a (10−j)dj+1=jdj,(10-j)d_{j+1}=jd_j, así que d2=d19,d3=d136,d4=d184,d5=d1126. \begin{gathered} d_2=\dfrac{d_1}{9},\quad d_3=\dfrac{d_1}{36}, \\ d_4=\dfrac{d_1}{84},\quad d_5=\dfrac{d_1}{126}. \end{gathered} Como p0=0p_0=0 y p5=12,p_5=\frac{1}{2}, 12=d1(1+19+136+184+1126)=d1⋅7363. \begin{aligned} \dfrac12&=d_1\biggl(1+\dfrac19+\dfrac1{36} \\ &\qquad+\dfrac1{84}+\dfrac1{126}\biggr) \\ &=d_1\cdot\dfrac{73}{63}. \end{aligned} Por lo tanto, p1=d1=63146.p_1=d_1=\frac{63}{146}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Let pjp_j be the probability of eventually reaching pad 1010 starting from pad j.j. By the symmetry of the jump rule at the center, p5=12.p_5 = \tfrac12.
Each interior pad satisfies pj=10−j10 pj+1+j10 pj−1,p_j = \tfrac{10-j}{10}\,p_{j+1} + \tfrac{j}{10}\,p_{j-1}, which gives p4=25p3+35p5,p3=310p2+710p4, \begin{gathered} p_4 = \tfrac25 p_3 + \tfrac35 p_5, \\ \quad p_3 = \tfrac{3}{10} p_2 + \tfrac{7}{10} p_4, \end{gathered} p2=15p1+45p3,p1=910p2. p_2 = \tfrac15 p_1 + \tfrac45 p_3,\quad p_1 = \tfrac{9}{10} p_2.
Put dj=pj−pj−1.d_j=p_j-p_{j-1}. The recurrence is equivalent to (10−j)dj+1=jdj,(10-j)d_{j+1}=jd_j, so d2=d19,d3=d136,d4=d184,d5=d1126. \begin{gathered} d_2=\dfrac{d_1}{9},\quad d_3=\dfrac{d_1}{36}, \\ d_4=\dfrac{d_1}{84},\quad d_5=\dfrac{d_1}{126}. \end{gathered} Since p0=0p_0=0 and p5=12,p_5=\frac{1}{2}, 12=d1(1+19+136+184+1126)=d1⋅7363. \begin{aligned} \dfrac12&=d_1\biggl(1+\dfrac19+\dfrac1{36} \\ &\qquad+\dfrac1{84}+\dfrac1{126}\biggr) \\ &=d_1\cdot\dfrac{73}{63}. \end{aligned} Therefore p1=d1=63146.p_1=d_1=\frac{63}{146}.
Thus, the correct answer is C.

23.

El número 20172017 es primo. Sea S=∑k=062(2014k).S = \sum_{k=0}^{62} \binom{2014}{k}. ¿Cuál es el residuo cuando SS se divide entre 20172017?
The number 20172017 is prime. Let S=∑k=062(2014k).S = \sum_{k=0}^{62} \binom{2014}{k}. What is the remainder when SS is divided by 2017?2017?
3232
684684
10241024
15761576
20162016
Respuesta: C
Conceptos:combinacionesaritmética modulartelescópica
Nivel de dificultad: 2560
Pista pequeña:
Módulo 2017,2017, reduce (2014k)\binom{2014}{k} usando 2016≡−1,2016 \equiv -1, 2015≡−2,2015 \equiv -2, y así sucesivamente.
Modulo 2017,2017, reduce (2014k)\binom{2014}{k} using 2016≡−1,2016 \equiv -1, 2015≡−2,2015 \equiv -2, and so on
Pista grande:
Esto da (2014k)≡(−1)k(k+22),\binom{2014}{k} \equiv (-1)^k \binom{k+2}{2}, y la suma alternada se telescopa.
This gives (2014k)≡(−1)k(k+22),\binom{2014}{k} \equiv (-1)^k \binom{k+2}{2}, and the alternating sum telescopes
Solución:
Trabajando módulo 2017,2017, la identidad (2014k)⋅k!⋅(2014−k)!=2014!\binom{2014}{k} \cdot k! \cdot (2014-k)! = 2014! junto con 2016⋅2015⋯(2015−k)2016 \cdot 2015 \cdots (2015-k) ≡(−1)k(k+2)!\equiv (-1)^k (k+2)! lleva a 2(2014k)≡(−1)k⋅(k+2)(k+1)(mod2017), \begin{gathered} 2\binom{2014}{k} \equiv (-1)^k \\ {}\cdot (k+2)(k+1) \pmod{2017}, \end{gathered} así que (2014k)≡(−1)k(k+22).\binom{2014}{k} \equiv (-1)^k \binom{k+2}{2}.
Entonces S≡∑k=062(−1)k(k+22)=1+∑k=131[(2k+22)−(2k+12)]=1+∑k=131(2k+1). \begin{gathered} S \equiv \sum_{k=0}^{62} (-1)^k \binom{k+2}{2} \\ = 1 \\ {}+ \sum_{k=1}^{31}\left[\binom{2k+2}{2} - \binom{2k+1}{2}\right] \\ = 1 + \sum_{k=1}^{31}(2k+1). \end{gathered}
La suma restante es 3+5+⋯+63=1023,3 + 5 + \cdots + 63 = 1023, así que S≡1+1023S \equiv 1 + 1023 =1024(mod2017).= 1024 \pmod{2017}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Working modulo 2017,2017, the identity (2014k)⋅k!⋅(2014−k)!=2014!\binom{2014}{k} \cdot k! \cdot (2014-k)! = 2014! together with 2016⋅2015⋯(2015−k)2016 \cdot 2015 \cdots (2015-k) ≡(−1)k(k+2)!\equiv (-1)^k (k+2)! leads to 2(2014k)≡(−1)k⋅(k+2)(k+1)(mod2017), \begin{gathered} 2\binom{2014}{k} \equiv (-1)^k \\ {}\cdot (k+2)(k+1) \pmod{2017}, \end{gathered} so (2014k)≡(−1)k(k+22).\binom{2014}{k} \equiv (-1)^k \binom{k+2}{2}.
Then S≡∑k=062(−1)k(k+22)=1+∑k=131[(2k+22)−(2k+12)]=1+∑k=131(2k+1). \begin{gathered} S \equiv \sum_{k=0}^{62} (-1)^k \binom{k+2}{2} \\ = 1 \\ {}+ \sum_{k=1}^{31}\left[\binom{2k+2}{2} - \binom{2k+1}{2}\right] \\ = 1 + \sum_{k=1}^{31}(2k+1). \end{gathered}
The remaining sum is 3+5+⋯+63=1023,3 + 5 + \cdots + 63 = 1023, so S≡1+1023S \equiv 1 + 1023 =1024(mod2017).= 1024 \pmod{2017}.
Thus, the correct answer is C.

24.

Sea ABCDEABCDE un pentágono inscrito en un círculo tal que AB=CD=3,AB = CD = 3, BC=DE=10,BC = DE = 10, y AE=14.AE = 14. La suma de las longitudes de todas las diagonales de ABCDEABCDE es igual a mn,\dfrac{m}{n}, donde mm y nn son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale m+nm + n?
Let ABCDEABCDE be a pentagon inscribed in a circle such that AB=CD=3,AB = CD = 3, BC=DE=10,BC = DE = 10, and AE=14.AE = 14. The sum of the lengths of all diagonals of ABCDEABCDE is equal to mn,\dfrac{m}{n}, where mm and nn are relatively prime positive integers. What is m+n?m + n?
129129
247247
353353
391391
421421
Respuesta: D
Conceptos:Teorema de Ptolomeocuerdapolinomio
Nivel de dificultad: 2650
Pista pequeña:
Cuerdas iguales subtienden arcos iguales, así que AC=BD=CE;AC = BD = CE; llama a esto xx.
Equal chords subtend equal arcs, so AC=BD=CE;AC = BD = CE; call this xx
Pista grande:
Aplica el teorema de Ptolomeo a ABCD,ABCD, BCDE,BCDE, y ABDEABDE para obtener ecuaciones en x,y=AD,z=BEx, y = AD, z = BE.
Apply Ptolemy’s theorem to ABCD,ABCD, BCDE,BCDE, and ABDEABDE to get equations in x,y=AD,z=BEx, y = AD, z = BE
Solución:
Como los arcos AB,CDAB, CD son iguales y los arcos BC,DEBC, DE son iguales, las cuerdas AC,BD,CEAC, BD, CE son todas iguales; sean x=AC=BD=CE,x = AC = BD = CE, y=AD,y = AD, y z=BE.z = BE.
El teorema de Ptolomeo en ABCD,ABCD, BCDE,BCDE, y ABDEABDE da 10y+9=x2,100+3z=x2,30+14x=yz. \begin{gathered} 10y + 9 = x^2, \\ \quad 100 + 3z = x^2, \\ \quad 30 + 14x = yz. \end{gathered} Resolver las dos primeras para yy y zz y sustituir en la tercera da x3−109x−420=0=(x−12)(x+5)(x+7). \begin{gathered} x^3 - 109x - 420 = 0 \\ = (x-12)(x+5)(x+7). \end{gathered}
Así que x=12,x = 12, y=13510=272,y = \tfrac{135}{10} = \tfrac{27}{2}, y z=443.z = \tfrac{44}{3}. Las cinco diagonales son AC,BD,CE,AD,BE,AC, BD, CE, AD, BE, que suman 3x+y+z=36+272+443=3856. \begin{gathered} 3x + y + z = 36 \\ {}+ \tfrac{27}{2} + \tfrac{44}{3} \\ = \tfrac{385}{6}. \end{gathered}
Por lo tanto m+n=385+6=391,m + n = 385 + 6 = 391, y la respuesta correcta es D.
Because arcs AB,CDAB, CD are equal and arcs BC,DEBC, DE are equal, the chords AC,BD,CEAC, BD, CE are all equal; let x=AC=BD=CE,x = AC = BD = CE, y=AD,y = AD, and z=BE.z = BE.
Ptolemy’s theorem on ABCD,ABCD, BCDE,BCDE, and ABDEABDE gives 10y+9=x2,100+3z=x2,30+14x=yz. \begin{gathered} 10y + 9 = x^2, \\ \quad 100 + 3z = x^2, \\ \quad 30 + 14x = yz. \end{gathered} Solving the first two for yy and zz and substituting into the third yields x3−109x−420=0=(x−12)(x+5)(x+7). \begin{gathered} x^3 - 109x - 420 = 0 \\ = (x-12)(x+5)(x+7). \end{gathered}
So x=12,x = 12, y=13510=272,y = \tfrac{135}{10} = \tfrac{27}{2}, and z=443.z = \tfrac{44}{3}. The five diagonals are AC,BD,CE,AD,BE,AC, BD, CE, AD, BE, summing to 3x+y+z=36+272+443=3856. \begin{gathered} 3x + y + z = 36 \\ {}+ \tfrac{27}{2} + \tfrac{44}{3} \\ = \tfrac{385}{6}. \end{gathered}
Thus m+n=385+6=391,m + n = 385 + 6 = 391, and the correct answer is D.

25.

¿Cuál es la suma de todas las soluciones reales positivas xx de la ecuación 2cos⁡(2x)(cos⁡(2x)−cos⁡(2014π2x))=cos⁡(4x)−1? \begin{gathered} \small 2\cos(2x)\left(\cos(2x) - \cos\left(\dfrac{2014\pi^2}{x}\right)\right) \\ = \cos(4x) - 1? \end{gathered}
What is the sum of all positive real solutions xx to the equation 2cos⁡(2x)(cos⁡(2x)−cos⁡(2014π2x))=cos⁡(4x)−1? \begin{gathered} \small 2\cos(2x)\left(\cos(2x) - \cos\left(\dfrac{2014\pi^2}{x}\right)\right) \\ = \cos(4x) - 1? \end{gathered}
π\pi
810π810\pi
1008π1008\pi
1080π1080\pi
1800π1800\pi
Respuesta: D
Conceptos:identidad trigonométricasuma de factores
Nivel de dificultad: 2890
Pista pequeña:
Sustituye x=πy2x = \tfrac{\pi y}{2} y usa 12(1−cos⁡(2πy))=sin⁡2(πy)\tfrac12(1 - \cos(2\pi y)) = \sin^2(\pi y).
Substitute x=πy2x = \tfrac{\pi y}{2} and use 12(1−cos⁡(2πy))=sin⁡2(πy)\tfrac12(1 - \cos(2\pi y)) = \sin^2(\pi y)
Pista grande:
La ecuación se reduce a cos⁡(πy)cos⁡(4028πy)=1,\cos(\pi y)\cos\left(\tfrac{4028\pi}{y}\right) = 1, lo que obliga a que yy y 4028y\tfrac{4028}{y} sean enteros de la misma paridad.
The equation reduces to cos⁡(πy)cos⁡(4028πy)=1,\cos(\pi y)\cos\left(\tfrac{4028\pi}{y}\right) = 1, forcing yy and 4028y\tfrac{4028}{y} to be integers of the same parity
Solución:
Sea x=πy2.x = \tfrac{\pi y}{2}. Dividiendo entre 22 y usando 12(1−cos⁡(2πy))=sin⁡2(πy),\tfrac12(1 - \cos(2\pi y)) = \sin^2(\pi y), la ecuación se simplifica a cos⁡(πy)cos⁡(4028πy)=1. \cos(\pi y)\cos\left(\dfrac{4028\pi}{y}\right) = 1.
Ambos cosenos deben ser iguales a 11 o ambos iguales a −1,-1, así que yy y 4028y\tfrac{4028}{y} son enteros de la misma paridad. Como 4028=22⋅19⋅534028 = 2^2 \cdot 19 \cdot 53 es par, ambos deben ser pares, así que y=2ay = 2a con aa un divisor positivo impar de 2014=2⋅19⋅53,2014 = 2 \cdot 19 \cdot 53, lo que da a∈{1,19,53,19⋅53}.a \in \{1, 19, 53, 19 \cdot 53\}.
Cada uno de esos aa da x=πy2=πa,x = \tfrac{\pi y}{2} = \pi a, así que la suma de las soluciones es π(1+19+53+19⋅53)=π(19+1)(53+1)=1080π. \begin{gathered} \pi(1 + 19 + 53 + 19\cdot53) \\ = \pi(19+1)(53+1) \\ = 1080\pi. \end{gathered}
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Let x=πy2.x = \tfrac{\pi y}{2}. Dividing by 22 and using 12(1−cos⁡(2πy))=sin⁡2(πy),\tfrac12(1 - \cos(2\pi y)) = \sin^2(\pi y), the equation simplifies to cos⁡(πy)cos⁡(4028πy)=1. \cos(\pi y)\cos\left(\dfrac{4028\pi}{y}\right) = 1.
Both cosines must equal 11 or both equal −1,-1, so yy and 4028y\tfrac{4028}{y} are integers of the same parity. Since 4028=22⋅19⋅534028 = 2^2 \cdot 19 \cdot 53 is even, both must be even, so y=2ay = 2a with aa a positive odd divisor of 2014=2⋅19⋅53,2014 = 2 \cdot 19 \cdot 53, giving a∈{1,19,53,19⋅53}.a \in \{1, 19, 53, 19 \cdot 53\}.
Each such aa gives x=πy2=πa,x = \tfrac{\pi y}{2} = \pi a, so the sum of solutions is π(1+19+53+19⋅53)=π(19+1)(53+1)=1080π. \begin{gathered} \pi(1 + 19 + 53 + 19\cdot53) \\ = \pi(19+1)(53+1) \\ = 1080\pi. \end{gathered}
Thus, the correct answer is D.