Question

Sea $P$ la parábola con ecuación $y = x^2$ y sea $Q = (20, 14).$ Existen números reales $r$ y $s$ tales que la recta que pasa por $Q$ con pendiente $m$ no interseca a $P$ si y solo si $r \lt m \lt s.$ ¿Cuánto vale $r + s$ ?

Let $P$ be the parabola with equation $y = x^2$ and let $Q = (20, 14).$ There are real numbers $r$ and $s$ such that the line through $Q$ with slope $m$ does not intersect $P$ if and only if $r \lt m \lt s.$ What is $r + s?$

$1$

$26$

$40$

$52$

$80$

Solución:

La recta que pasa por $Q$ es $y = m(x-20) + 14.$ Al sustituir en $y = x^2$ se obtiene $x^2 - mx + (20m - 14) = 0.$

No hay intersección exactamente cuando esto no tiene raíz real, es decir cuando el discriminante $m^2 - 4(20m-14)$ $= m^2 - 80m + 56$ es negativo. Eso ocurre entre las dos raíces $r$ y $s$ de $m^2 - 80m + 56 = 0.$

Por las fórmulas de Vieta, $r + s = 80.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The line through $Q$ is $y = m(x-20) + 14.$ Substituting into $y = x^2$ gives $x^2 - mx + (20m - 14) = 0.$

There is no intersection exactly when this has no real root, i.e. when the discriminant $m^2 - 4(20m-14)$ $= m^2 - 80m + 56$ is negative. That happens between the two roots $r$ and $s$ of $m^2 - 80m + 56 = 0.$

By Vieta's formulas, $r + s = 80.$

Thus, the correct answer is E.

2014 AMC 12B Problema 17

Solución:

El Problema 17 en otros años