Question

Supongamos que $\sin a+\sin b=\sqrt{\tfrac53}$ y $\cos a+\cos b=1.$ ¿Cuánto vale $\cos(a-b)$ ?

Suppose that $\sin a+\sin b=\sqrt{\tfrac53}$ and $\cos a+\cos b=1.$ What is $\cos(a-b)?$

$\sqrt{\dfrac53}-1$

$\dfrac13$

$\dfrac12$

$\dfrac23$

$1$

Al elevar al cuadrado ambas ecuaciones se obtiene $\sin^2 a+2\sin a\sin b+\sin^2 b=\tfrac53$ y $\cos^2 a+2\cos a\cos b$ $+\cos^2 b=1.$

Sumando y usando $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ dos veces, $\begin{aligned} &2+2(\sin a\sin b+\cos a\cos b) \\ &=\tfrac83. \end{aligned}$

Así que $\cos(a-b)=\sin a\sin b$ $+\cos a\cos b$ $=\tfrac13.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Squaring both equations gives $\sin^2 a+2\sin a\sin b+\sin^2 b=\tfrac53$ and $\cos^2 a+2\cos a\cos b$ $+\cos^2 b=1.$

Adding and using $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ twice, $\begin{aligned} &2+2(\sin a\sin b+\cos a\cos b) \\ &=\tfrac83. \end{aligned}$

So $\cos(a-b)=\sin a\sin b$ $+\cos a\cos b$ $=\tfrac13.$

Thus, the correct answer is B.