Question

Una caja rectangular de $4\times4\times h$ contiene una esfera de radio $2$ y ocho esferas más pequeñas de radio $1.$ Cada una de las esferas pequeñas es tangente a tres caras de la caja, y la esfera mayor es tangente a cada una de las esferas pequeñas. ¿Cuánto vale $h$ ?

A $4\times4\times h$ rectangular box contains a sphere of radius $2$ and eight smaller spheres of radius $1.$ The smaller spheres are each tangent to three sides of the box, and the larger sphere is tangent to each of the smaller spheres. What is $h?$

$2+2\sqrt7$

$3+2\sqrt5$

$4+2\sqrt7$

$4\sqrt5$

$4\sqrt7$

Respuesta: A

Conceptos:Geometría 3D esfera Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Los centros de las cuatro esferas pequeñas superiores forman un cuadrado de lado $2$ , justo debajo del centro de la esfera grande.

The four top small-sphere centers form a square of side $2$ , directly below the big sphere’s center

Pista grande:

Con una distancia entre centros de $3$ (suma de radios) y un desplazamiento horizontal de $\sqrt2$ , la separación vertical es $\sqrt{3^2-\sqrt2^2}=\sqrt7$ ; luego suma $1$ arriba y abajo.

With center distance $3$ (sum of radii) and horizontal offset $\sqrt2$ , the vertical gap is $\sqrt{3^2-\sqrt2^2}=\sqrt7$ ; then add $1$ at the top and bottom

Solución:

Coloquemos la caja con una esquina en el origen. Cada esfera pequeña ocupa una esquina y su centro está a $1$ unidad de tres caras. Los centros de las cuatro esferas pequeñas superiores forman un cuadrado de lado $2,$ cuyo centro está sobre el eje de la caja; cada vértice de ese cuadrado está a $\sqrt2$ del centro.

El centro de la esfera grande está sobre el eje, a una distancia $2+1=3$ de cada centro pequeño superior. La separación vertical entre ellos es $\sqrt{3^2-\sqrt2^2}=\sqrt7.$

El centro grande está a una altura $\dfrac h2$ , y los centros pequeños superiores están a una altura $h-1,$ así que $(h-1)-\dfrac h2=\sqrt7,$ de donde $\dfrac h2=1+\sqrt7$ y $h=2+2\sqrt7.$

Así, la respuesta correcta es A.

Place the box with a corner at the origin. Each small sphere sits in a corner with center $1$ unit from three faces. The four top small-sphere centers form a square of side $2,$ whose center lies on the box axis; a corner of that square is $\sqrt2$ from the center.

The big sphere’s center is on the axis, at distance $2+1=3$ from each top small center. The vertical gap between them is $\sqrt{3^2-\sqrt2^2}=\sqrt7.$

The big center is at height $\dfrac h2$ and the top small centers at height $h-1,$ so $(h-1)-\dfrac h2=\sqrt7,$ giving $\dfrac h2=1+\sqrt7$ and $h=2+2\sqrt7.$

Thus, the correct answer is A.

2014 AMC 12A Problema 17

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 17 en otros años