Question

Sea $a_1,$ $a_2,$ $\ldots$ una sucesión de enteros determinada por la regla $a_n = \frac{a_{n-1}}{2}$ si $a_{n-1}$ es par y $a_n = 3a_{n-1} + 1$ si $a_{n-1}$ es impar. ¿Para cuántos enteros positivos $a_1 \le 2008$ es cierto que $a_1$ es menor que cada uno de $a_2,$ $a_3,$ y $a_4$ ?

Let $a_1,$ $a_2,$ $\ldots$ be a sequence of integers determined by the rule $a_n = \frac{a_{n-1}}{2}$ if $a_{n-1}$ is even and $a_n = 3a_{n-1} + 1$ if $a_{n-1}$ is odd. For how many positive integers $a_1 \le 2008$ is it true that $a_1$ is less than each of $a_2,$ $a_3,$ and $a_4?$

$250$

$251$

$501$

$502$

$1004$

Respuesta: D

Conceptos:recursión aritmética modular análisis por casos

Nivel de dificultad: 1870

Pista pequeña:

Si $a_1$ es par entonces $a_2 \lt a_1,$ así que $a_1$ debe ser impar.

If $a_1$ is even then $a_2 \lt a_1,$ so $a_1$ must be odd

Pista grande:

Divide el caso impar según si $a_1 \equiv 1$ o $a_1 \equiv 3 \pmod 4$ .

Split the odd case according to whether $a_1 \equiv 1$ or $a_1 \equiv 3 \pmod 4$

Solución:

Si $a_1$ es par, entonces $a_2 = \frac{a_1}{2} \lt a_1,$ así que la condición falla.

Si $a_1 \equiv 1 \pmod 4,$ entonces $a_2 = 3a_1 + 1$ es un múltiplo de $4,$ así que $a_3 = \frac{3a_1 + 1}{2}$ y $a_4 = \frac{3a_1 + 1}{4} \le a_1,$ y de nuevo la condición falla.

Si $a_1 \equiv 3 \pmod 4,$ entonces $a_2$ es par pero no un múltiplo de $4,$ así que $a_3 = \frac{3a_1 + 1}{2} \gt a_1,$ y $a_3$ es impar, lo que da $a_4 = 3a_3 + 1 \gt a_3 \gt a_1.$ La condición se cumple.

Exactamente $\tfrac{2008}{4} = 502$ valores de $a_1 \le 2008$ satisfacen $a_1 \equiv 3 \pmod 4.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

If $a_1$ is even, then $a_2 = \frac{a_1}{2} \lt a_1,$ so the condition fails.

If $a_1 \equiv 1 \pmod 4,$ then $a_2 = 3a_1 + 1$ is a multiple of $4,$ so $a_3 = \frac{3a_1 + 1}{2}$ and $a_4 = \frac{3a_1 + 1}{4} \le a_1,$ and again the condition fails.

If $a_1 \equiv 3 \pmod 4,$ then $a_2$ is even but not a multiple of $4,$ so $a_3 = \frac{3a_1 + 1}{2} \gt a_1,$ and $a_3$ is odd, giving $a_4 = 3a_3 + 1 \gt a_3 \gt a_1.$ The condition holds.

Exactly $\tfrac{2008}{4} = 502$ values of $a_1 \le 2008$ satisfy $a_1 \equiv 3 \pmod 4.$

Thus, D is the correct answer.

2008 AMC 12A Problema 17

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1870

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 17 en otros años