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1985 AMC 12 Problema 17

Intenta el Problema 17 del 1985 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1985 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

17.

La diagonal DBDB del rectángulo ABCDABCD está dividida en tres segmentos de longitud 11 por las rectas paralelas LL y L′L', que pasan por AA y CC y son perpendiculares a DB.DB. El área de ABCD,ABCD, redondeada a una cifra decimal, es

Diagonal DBDB of rectangle ABCDABCD is divided into three segments of length 11 by parallel lines LL and L′L' that pass through AA and CC and are perpendicular to DB.DB. The area of ABCD,ABCD, rounded to one decimal place, is

4.14.1

4.24.2

4.34.3

4.44.4

4.54.5

Respuesta: B
Conceptos:áreadiagonalrectángulovector
Nivel de dificultad: 2240
Pista pequeña:

Sean w,hw,h las longitudes de los lados del rectángulo; entonces su diagonal mide 33

Let the rectangle’s side lengths be w,h;w,h; then its diagonal has length 33

Pista grande:

Proyecta los lados vertical y horizontal sobre la diagonal para obtener h23=1\frac{h^2}{3}=1 y w23=2\frac{w^2}{3}=2

Project the vertical and horizontal sides onto the diagonal to obtain h23=1\frac{h^2}{3}=1 and w23=2\frac{w^2}{3}=2

Solución:

Sean D=(0,0),D=(0,0), B=(w,h),B=(w,h), A=(0,h)A=(0,h) y C=(w,0).C=(w,0). Como DB=3,DB=3, tenemos w2+h2=9.w^2+h^2=9. La proyección de DADA sobre DBDB mide h23,\frac{h^2}{3}, y el primer segmento marcado mide 1,1, así que h2=3.h^2=3. Del mismo modo, la proyección de DCDC llega al segundo punto de división, por lo que w23=2\frac{w^2}{3}=2 y w2=6.w^2=6. El área es wh=18=32≈4.2426, wh=\sqrt{18}=3\sqrt2\approx4.2426, que se redondea a 4.2.4.2.

La respuesta correcta es B.

Let D=(0,0),D=(0,0), B=(w,h),B=(w,h), A=(0,h)A=(0,h) and C=(w,0).C=(w,0). Since DB=3,DB=3, we have w2+h2=9.w^2+h^2=9. The projection of DADA onto DBDB has length h23,\frac{h^2}{3}, and the first marked segment has length 1,1, so h2=3.h^2=3. Similarly, the projection of DCDC reaches the second division point, so w23=2\frac{w^2}{3}=2 and w2=6.w^2=6. Hence the area is wh=18=32≈4.2426, wh=\sqrt{18}=3\sqrt2\approx4.2426, which rounds to 4.2.4.2.

Therefore the correct answer is B.

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