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1968 AMC 12 Problema 17

Intenta el Problema 17 del 1968 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1968 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

17.

Sea f(n)=x1+x2+⋯+xnn,f(n)=\dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}, donde nn es un entero positivo. Si xk=(−1)k,x_k=(-1)^k, para k=1,k=1, 2,2, …,\ldots, n,n, el conjunto de valores posibles de f(n)f(n) es:

Let f(n)=x1+x2+⋯+xnn,f(n)=\dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}, where nn is a positive integer. If xk=(−1)k,x_k=(-1)^k, k=1,k=1, 2,2, …,\ldots, n,n, the set of possible values of f(n)f(n) is:

{0}\{0\}

{1n}\left\{\dfrac1n\right\}

{0,−1n}\left\{0,-\dfrac1n\right\}

{0,1n}\left\{0,\dfrac1n\right\}

{1,1n}\left\{1,\dfrac1n\right\}

Respuesta: C
Conceptos:paridadsumatoriamedia
Nivel de dificultad: 1470
Pista pequeña:

Agrupa términos consecutivos como −1+1-1+1

Pair consecutive terms −1+1-1+1

Pista grande:

Considera por separado los valores pares e impares de nn

Separate even and odd values of nn

Solución:

Si nn es par, los términos se agrupan para dar suma 0,0, así que f(n)=0.f(n)=0. Si nn es impar, queda un último −1,-1, así que f(n)=−1n.f(n)=-\frac{1}{n}. Por lo tanto, los valores posibles son {0,−1n}.\{0,-\frac{1}{n}\}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

If nn is even, the terms pair to give sum 0,0, so f(n)=0.f(n)=0. If nn is odd, one final −1-1 remains, so f(n)=−1n.f(n)=-\frac{1}{n}. The possible values are therefore {0,−1n}.\{0,-\frac{1}{n}\}.

Therefore, the correct answer is C.

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